Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng

‘ Phaàn lụựn caực ủoỏi tửụng trong tử nhieõn mang tớnh phi tuyeỏnù ù .
Ž Heọ thoỏng thuỷy khớ (TD: boàn chửựa chaỏt loỷng,),
Ž Heọ thoỏng nhieọt ủoọng hoùc (TD: loứ nhieọt,),
ỏŽ Heọ thong cụ khớ (TD: caựnh tay maựy,.),
Ž Heọ thoỏng ủieọn – tửứ (TD: ủoọng cụ, maùch khueỏch ủaùi,)
Ž Heọ thoỏng vaọt lyự coự caỏu truực hoón hụp,ù
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 100
Moõ taỷ toaựn hoùc heọ phi tuyeỏn duứng phửụng trỡnh vi phaõn
‘ Q h ọ ứ ỷ h ọ hi t ỏ li õ t ự th ồ bi ồ di ó dửụựiuan e vao – ra cua e p uyen en uùc co e eu en
daùng phửụng trỡnh vi phaõn phi tuyeỏn baọc n:
⎞⎛ − )()()()()( 1 tdtdtdtdtd mnn
⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
= − )(,,,),(,,,1 tudt
u
dt
uty
dt
y
dt
yg
dt
y
mnn LL
trong ủoự: u(t) laứ tớn hieọu vaứo,
y(t) laứ tớn hieọu ra,
g(.) laứ haứm phi tuyeỏn
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 101
Moõ taỷ heọ phi tuyeỏn duứng phửụng trỡnh vi phaõn – Thớ duù 1
ti ỏt di ọ ỷa: e en van xa
A: tieỏt dieọn ngang cuỷa boàn
g: gia toỏc troùng trửụứng
( )
u(t)
qin
k: heọ soỏ tổ leọ vụựi coõng suaỏt bụm
CD: heọ soỏ xaỷ
y t qout
‘ Phửụng trỡnh caõn baống: )()()( tqtqtyA outin −=&
)()( tkutqi =trong ủoự: n
)(2)( tgyaCtq Dout =
⇒ (heọ phi tuyeỏn baọc 1)( ))(2)(1)( tgyaCtkuty D−=&
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 102
A
Moõ taỷ heọ phi tuyeỏn duứng phửụng trỡnh vi phaõn – Thớ duù 2
J: moment quaựn tớnh cuỷa caựnh tay maựy 
M: khoỏi lửụùng cuỷa caựnh tay maựy
m: khoỏi lửụùng vaọt naởng
l hi à d ứi ự h ựl : c eu a can tay may
lC : khoaỷng caựch tửứ troùng taõm tay maựy ủeỏn truùc quay 
B: heọ soỏ ma saựt nhụựt 
m
u θ
g: gia toỏc troùng trửụứng
u(t): moment taực ủoọng leõn truùc quay cuỷa caựnh tay maựy 
θ(t): goực quay (vũ trớ) cuỷa caựnh tay maựy 
‘ Theo ủũnh luaọt Newton
)(cos)()()()( 2 tugMlmltBtmlJ C =++++ θθθ &&&
⇒ )(
)(
1cos
)(
)()(
)(
)( 222 tumlJ
g
mlJ
Mlmlt
mlJ
Bt C +++
+−+−= θθθ &&&
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 103
(heọ phi tuyeỏn baọc 2)
Moõ taỷ heọ phi tuyeỏn duứng phửụng trỡnh vi phaõn – Thớ duù 3
δ: goực baựnh laựi
ψ: hửụựng chuyeồn ủoọng
cuỷa taứu
k: heọ soỏ
τi: heọ soỏψ(t)
δ(t)
Hửụựng chuyeồn ủoọng 
ỷ ỏ‘ Phửụng trỡnh vi phaõn moõ ta ủaởc tớnh ủoọng hoùc heọ thong laựi taứu
( ) ( ))()()()(1)(11)( 33 ttktttt δδτψψψψ +⎟⎟⎞⎜⎜⎛++⎟⎟⎞⎜⎜⎛−⎟⎟⎞⎜⎜⎛ +−= &&&&&&&&
(heọ phi tuyeỏn baọc 3)
212121 ττττττ ⎠⎝⎠⎝⎠⎝
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 104
Moõ taỷ toaựn hoùc heọ phi tuyeỏn duứng phửụng trỡnh traùng thaựi
‘ Heọ phi tuyeỏn lieõn tuùc coự theồ moõ taỷ baống phửụng trỡnh traùng thaựi:
⎧ = ))()(()( tutt xfx&
⎩⎨ = ))(),(()(
,
tuthty x
trong ủoự: u(t) laứ tớn hieọu vaứo,
y(t) laứ tớn hieọu ra,
x(t) laứ vector traùng thaựi,
x(t) = [x1(t), x2(t),,xn(t)]T
f(.), h(.) laứ caực haứm phi tuyeỏn
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 105
Moõ taỷ heọ phi tuyeỏn duứng phửụng trỡnh traùng thaựi – Thớ duù 1
‘ PTVP:
( )
u(t)
qin ( ))(2)(1)( tgyaCtku
A
ty D−=&
‘ ẹaởt bieỏn traùng thaựi: )()(1 tytx =
y t qout
‘ PTTT:
⎩⎨
⎧
=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx&
)(
)(2
)( 1 tuk
tgxaC
u D +−=xf
trong ủoự:
,
AA
)())(),(( 1 txtuth =x
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 106
Moõ taỷ heọ phi tuyeỏn duứng phửụng trỡnh traùng thaựi – Thớ duù 2
‘ PTVP:
m
l )(
)(
1cos
)(
)()(
)(
)( 222 tumlJ
g
mlJ
Mlmlt
mlJ
Bt C +++
+−+−= θθθ &&&
‘ ẹaởt bieỏn traùng thaựi:
⎩⎨
⎧
=
=
)()(
)()(
2
1
ttx
ttx
θ
θ
&
u θ
‘ PTTT:
⎩⎨
⎧ =
))()(()(
))(),(()(
h
tutt xfx&
= , tutty x
⎥⎤⎢⎡
)(2 tx
trong ủoự:
⎥⎦⎢⎣ +
++−+
+−= )(
)(
1)(
)(
)(cos
)(
)(),(
22212 tumlJ
tx
mlJ
Btx
mlJ
gMlmlu Cxf
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 107
)())(),(( 1 txtuth =x
ẹieồm dửứng cuỷa heọ phi tuyeỏn
⎧ ))()(()( ttt f&
⎩⎨ =
=
))(),(()(
,
tuthty
u
x
xx‘ Xeựt heọ phi tuyeỏn moõ taỷ bụỷi PTTT phi tuyeỏn:
‘ ẹieồm traùng thaựi ủửụùc goùi laứ ủieồm dửứng cuỷa heọ phi tuyeỏn neỏu
nhử heọ ủang ụỷ traùng thaựi vaứ vụựi taực ủoọng ủieàu khieồn coỏ ủũnh,
kh õ ủ ồi h ự hỡ h ọ ừ ố õ i h ựi ủ ự
x
x u
‘ Neỏu laứ ủieồm dửứng cuỷa heọ phi tuyeỏn thỡ:),( ux
ong o c o trửục t e se nam nguyen taù traùng t a o.
0))(),(( , === uutut xxxf
‘ ẹieồm dửứng coứn ủửụùc goùi laứ ủieồm laứm vieọc túnh cuỷa heọ phi tuyeỏn
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 108
ẹieồm dửứng cuỷa heọ phi tuyeỏn – Thớ dụ 1
⎤⎡ +⎤⎡ )()()( ttt& ⎥⎦⎢⎣ +=⎥⎦⎢⎣ )(2)(
.
)( 21
21
2
1
txtx
uxx
tx
x
&
‘ Cho heọ phi tuyeỏn moõ taỷ bụỷi PTTT:
ồ ỏXaực ủũnh ủiem dửứng cuỷa heọ thong khi 1)( == utu
‘ Giaỷi:
ồ ỷ
0))(),(( , === uutut xxxf
ẹiem dửứng laứ nghieọm cua phửụng trỡnh:
⎩⎨
⎧
=+
=+
02
01.
21
21
xx
xx⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
2
2
2
1
x
x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−=
2
2
2
1
x
x
⇔ hoaởc
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 109
2 2
ẹieồm dửứng cuỷa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 2
‘ Cho heọ phi tuyeỏn moõ taỷ bụỷi PTTT:
⎥⎤⎢⎡ +++⎤⎡ uxxx
2
3
2
21 1&
⎥⎦⎢⎣ +
−+=⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣ ux
xxx
x
x
2
3
313
3
2 )sin(
&
&
Xaực ủũnh ủieồm dửứng cuỷa heọ thoỏng khi 0)( == utu
1xy =
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 110
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn xung quanh ủieồm laứm vieọc túnh
‘ Xeựt heọ phi tuyeỏn moõ taỷ bụỷi PTTT phi tuyeỏn:
⎩⎨
⎧
=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx&
‘ Khai trieồn Taylor f(x,u) vaứ h(x,u) xung quanh ủieồm laứm vieọc túnh
ta coự theồ moõ taỷ heọ thoỏng baống PTTT tuyeỏn tớnh:
⎨⎧ += )(
~)(~)(~ tutt BxAx& (*)
),( ux
ủ ự tt )()(~ xxx
⎩ += )(~)(~)(~ tutty DxC
trong o:
ytyty
ututu
−=
−=
−=
)()(~
)()(~
))(( uhy x=
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 111
,
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn xung quanh ủieồm laứm vieọc túnh
‘ Caực ma traọn traùng thaựi cuỷa heọ tuyeỏn tớnh quanh ủieồm laứm vieọc
túnh ủửụùc tớnh nhử sau:
1
2
1
1
1
n
fff
x
f
x
f
x
f
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
∂∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ L 1
f
u
f
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
∂∂
∂
2
2
2
1
2
nxxxA
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢ ∂∂∂=
MOMM
L 2
nf
uB
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢
∂
∂=
M
)(21 un
nnn
x
f
x
f
x
f
,x
⎥⎦⎢⎣ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ K )( uu ,x⎥⎦⎢⎣ ∂
x
h
x
h
x
hC ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂= K
u
hD ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂=
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 112
)(21 un ,x )( u,x
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 1
Thoõng soỏ heọ boàn chửựa :
u(t)
qin
3
22
80/150
100 ,1
CVk
cmAcma ==
y(t) qout 2sec/981
. ,.sec
cmg
cm D
=
==
‘ PTTT:
⎩⎨
⎧
=
=
))()(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx&
,
)(94650)(35440)(
)(2
)( 1 k
tgxaCDf
trong ủoự:
.., 1 tutxtuAA
u +−=+−=x
)())(),(( 1 txtuth =x
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 113
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 1 (tt)
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ boàn chửựa quanh ủieồm y = 20cm:
‘ Xaực ủũnh ủieồm laứm vieọc túnh:
201 =x
05.13544.0),( 1 =+−= uxuxf 9465.0=u⇒
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 114
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 1 (tt)
‘ X ự ủũ h ự t ọ t th ựi t i ủi ồ l ứ i ọ tú h
0396.0
2
21 −=−=∂
∂= D
xA
gaC
x
fA 5.11 ==∂
∂=
A
k
u
fB
ac n cac ma ran raùng a aù em am v ec n :
)(1)(1 uu ,x,x )()( uu ,x,x
1=∂= hC 0=∂
∂= hD
)(1∂ ux ,x )( uu ,x
‘ V ọ PTTT õ t ỷ h ọ b à hửự h ủi ồ l ứ i ọ 20 l ứay mo a e on c a quan em am v ec y= cm a:
⎩⎨
⎧ +−=
)(~)(~
)(~5.1)(~0396.0)(~
tt
tutt xx&
)(
)(2
),( 1 tu
A
k
A
tgxaC
u D +−=xf=y x
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 115
)())(),(( 1 txtuth =x
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 2
Thoõng soỏ caựnh tay maựy :
2
C
02050
1.0,2.0 ,5.0
mkgJkgM
kgmmlml ===
m
l
2sec/81.9 ,005.0
..,.
mgB ==
==u θ
‘ PTTT:
⎩⎨
⎧
=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx&
⎥⎤⎢⎡
)(2 tx
trong ủoự:
⎥⎦⎢⎣ +
++−+
+−= )(
)(
1)(
)(
)(cos
)(
)(),(
22212 tumlJ
tx
mlJ
Btx
mlJ
gMlmlu Cxf
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 116
)())(),(( 1 txtuth =x
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 2 (tt)
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ tay maựy quanh ủieồm laứm vieọc y = π/6 (rad):
‘ Xaực ủũnh ủieồm laứm vieọc túnh:
6/1 π=x
01)()(
2 ⎥⎤⎢⎡ + BgMlml
x
uxf ⇒ ⎨⎧ = 02x
)()(
cos
)(
,
22212
=⎥⎦⎢⎣ +
++−+−
= u
mlJ
x
mlJ
x
mlJ
C ⎩ = 2744.1u
Do ủoự ủieồm laứm vieọc túnh caàn xaực ủũnh laứ:
⎥⎤⎢⎡=⎥⎤⎢⎡=
6/1 πxx ⎦⎣⎦⎣ 02x
2744.1=u
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 117
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 2 (tt)
‘ X ự ủũ h ự t ọ t th ựi t i ủi ồ l ứ i ọ tú hac n cac ma ran raùng a aù em am v ec n :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
aa
aa
A
0
)(1
1
11 =∂
∂=
ux
fa
,x
1
)(2
1
12 =∂
∂=
ux
fa
,x
)(
12
)(1
2
21 )(sin)(
)(
u
C
u
tx
mlJ
Mlml
x
fa
xx +
+=∂
∂=
,,
)(
2
)(2
2
22 )( mlJ
B
x
fa +−=∂
∂=
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
+= )(1)()()(
)(
)(
2
BgMlml
tx
u Cxf
uu ,x,x
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 118
⎦⎣ +
++−+− )()(cos)(
,
22212 tumlJ
tx
mlJ
tx
mlJ
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 2 (tt)
‘ X ự ủũ h ự t ọ t th ựi t i ủi ồ l ứ i ọ tú hac n cac ma ran raùng a aù em am v ec n :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 1
b
b
B
01∂fb
2
)(
1 =∂= uu ,x
1f∂
2
)(
2
2 mlJu
b
u +
=∂= ,x
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
+= )(1)()()(
)(
)(
2
BgMlml
tx
u Cxf
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 119
⎦⎣ +
++−+− )()(cos)(
,
22212 tumlJ
tx
mlJ
tx
mlJ
Tuyeỏn tớnh hoựa heọ phi tuyeỏn – Thớ duù 2 (tt)
‘ X ự ủũ h ự t ọ t th ựi t i ủi ồ l ứ i ọ tú hac n cac ma ran raùng a aù em am v ec n :
1
1
1 =∂
∂=
x
hc[ ]21 cc=C 0
)(2
2 =∂
∂=
x
hc
)( u,x u,x
1d=D 0
)(
1 =∂
∂=
u
hd
u,x
‘ Vaọy phửụng trỡnh traùng thaựi caàn tỡm laứ:
⎩⎨
⎧ +=
)(~)(~)(~
)(~)(~)(~
ttt
tutt
DC
BxAx&
+= uy x
⎥⎤⎢⎡=
10
A ⎥⎤⎢⎡=
0
B [ ]01=C 0=D⎦⎣ 2221 aa ⎦⎣ 2b
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 120
)(),( 1 txuh =x
ẹieàu khieồn oồn ủũnh hoựa heọ phi tuyeỏn quanh ủieồm laứm vieọc túnh
‘ ẹửa heọ phi tuyeỏn veà mieàn xung quanh ủieồm laứm vieọc túnh (ủụn
giaỷn nhaỏt coự theồ duứng boọ ủieàu khieồn ON-OFF)
‘ Xung quanh ủieồm laứm vieọc, duứng boọ ủieàu khieồn tuyeỏn tớnh
ẹK
r(t) ẹoỏi tửụùng 
phi tuyeỏn
+−
y(t)
tuyeỏn tớnh u(t)e(t)
ON-OFF
Choùn
boọ ẹK
7 September 2010 â H. T. Hoàng - éHBK TPHCM 121