Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Chương 5: Ổn định các hệ thống điện cơ - Nguyễn Quang Nam

 nếu biết điểm cân bằng tĩnh là ổn định hay 
không. Với các nhiễu mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u, 
luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian. 
 Với các thay đổi nhỏ quanh điểm cân bằng, một phân tích 
tuyến tính hóa là đủ để xác định điểm cân bằng là ổn định 
hay không. 
 Đôi khi, các hàm năng lượng có thể được dùng để đánh 
giá tính ổn định của hệ thống đối với nhiễu mạnh mà không 
cần các mô phỏng trong miền thời gian. 
Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt) 
4 Ổn định các hệ thống điện cơ 
 Điểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập 
của hệ thống, chẳng hạn một lưới điện. Hệ vật lý có thể có 
thay đổi nhỏ (ví dụ thay đổi tải), vốn có thể dẫn đến dao động 
hay thậm chí sụp đổ hệ thống, hoặc gặp các nhiễu mạnh (ví 
dụ, sự cố hay sét đánh). 
 Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là 
Tuyến tính hóa 
 uxfx ,
5 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Tuyến tính hóa (tt) 
 Để tuyến tính hóa, khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor 
quanh điểm cân bằng xe và ngõ vào không đổi, và chỉ giữ 
lại các số hạng bậc nhất 
uˆ
          u
u
f
x
x
f
uxfuu
u
f
xx
x
f
uxfuxf eee 












0000
ˆ,ˆˆ,,
Hay 
    u
u
f
x
x
f
uxfuxfx e 






00
ˆ,,
6 Ổn định các hệ thống điện cơ 
 Gọi , , và . Tuyến 
tính hóa hệ quanh điểm cân bằng dẫn đến 
Tuyến tính hóa hệ bậc hai 
 uxxfx ,, 2111 
 uxxfx ,, 2122 
exxx 111 
exxx 222  uuu ˆ
u
u
f
u
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x

























































0
2
0
1
2
1
02
2
01
2
02
1
01
1
2
1


A 
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 
2 
7 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Tuyến tính hóa hệ bậc hai 
 Để xét tính ổn định của hệ, cần tìm trị riêng của ma trận A. 
 Trị riêng của ma trận A có được bằng cách giải phương 
trình det(A – lI) = 0. 
 Hệ thống là ổn định nếu tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái 
của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0). 
8 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ổn định của hệ bậc hai 
 
xx
x
xf
M
x
dt
d
M
B
dt
xd




 2
0
0
2
2 1

 Xét mô hình một hệ bậc hai 
 uxf
dt
dx
B
dt
xd
M ,
2
2

có dạng tuyến tính hóa 
 Định nghĩa và , dạng không gian trạng 
thái trở thành 
1xx  2xx 























2
1
2
02
1 10
x
x
MBx
x


9 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ổn định của hệ bậc hai (tt) 
 Phương trình đặc tính (để tìm trị riêng) có được 
0
1
2
0



l
l
MB
020
2  ll
M
B
 Trường hợp I (B > 0, M > 0, ) 020 
2
02
2
4

M
B 2
02
2
4

M
B 2
02
2
4

M
B
 Nghiệm tổng quát của phương trình đặc tính 
2
02
2
21
42
, ll 
M
B
M
B
Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn định. 
10 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ổn định của hệ bậc hai (tt) 
 Trường hợp II (B > 0, M > 0, ): hệ không ổn định 
 Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn định 
nếu , hay ở biên ổn định nếu . 020 0
2
0 
020 
11 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.1 
 Cho mạch từ giống như bài tập 4.15, với đồng năng lượng 
và phương trình chuyển động 
Hãy tìm các điểm cân bằng xe > 0, giá trị tối thiểu của I0 để tồn 
tại điểm cân bằng, và xác định tính ổn định của điểm cân bằng. 
 Lực điện từ fe 
 
0 ,
12
1 2
0
0 

 xI
L
W
a
xm
efMg
dt
xd
M 
2
2
  a
IL
x
W
f
a
x
me 1
12
1
2
2
00





 Để tìm điểm cân bằng, đặt các đạo hàm bằng 0, dẫn đến 
12 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.1 (tt) 
 Giải theo x 
  a
IL
Mg
a
x
1
12
1
2
2
00











Mga
IL
axe
2
1
2
00
 Chọn x > 0 như yêu cầu 









Mga
IL
axe
2
1
2
00
 Để tồn tại xe > 0, I0 cần thỏa điều kiện 
0
0
2
L
Mga
I 
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 
3 
13 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.1 (tt) 
 Đây là trường hợp có B = 0, M > 0, và . Do đó, hệ 
thống nằm trên biên ổn định tại x = xe. 
 
x
a
IL
x
x
f
dt
xd
M
a
x
xx
e
e
e








23
2
00
2
2 1
1
 Để xét tính ổn định tại xe, tuyến tính hóa pt chuyển động 
020 
14 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến 
 Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn định của hệ phi tuyến 
có thể cần đến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức 
mạnh tính toán. 
 Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu được 
bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích 
phân số. 
 Kỹ thuật này dựa trên các hàm năng lượng, và được gọi là 
phương pháp Lyapunov. 
 Có thể thu được các lời giải tốt với các hệ bảo toàn. 
15 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến 
 Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không đổi, và 
điều này được dùng trong phân tích ổn định các hệ này. 
 Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối lượng M nối vào 
một điểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng. 
 Coi V(q) = 0 tại q = 0, khi đó tại vị trí bất kỳ q, thế năng 
được cho bởi 
    qq cos1 MglV
16 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Hệ bảo toàn 
 Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, 
vậy 
  q
q
sin
2
2
lMg
dt
d
J 
 Vế phải có thể được biểu diễn như một đạo hàm âm của 
một hàm thế vô hướng. Trong trường hợp này, 
       
q
q
q
q
q






V
MglMgl cos1sin
17 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Hệ bảo toàn (tt) 
 
q
qq



V
dt
d
J
2
2
Dẫn đến 
 Các điểm cân bằng là nghiệm của 
 
  0sin 


 q
q
q
Mgl
V
 Dựa vào lược đồ, chỉ xét trong khoảng –p đến +p, 
0 ,pq e
18 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Năng lượng của hệ 
 Xét 
 
0
2
2




q
qq V
dt
d
J
 Nhân với dq/dt để có 
  EVdt
d
J 





energy Potential
energy Kinetic
2
2
1
q
q

 
0
2
2




dt
dV
dt
d
dt
d
J
q
q
qqq
 Tích phân theo t để thu được 
 Việc phân tích ổn định có thể được thực hiện cho 3 trường 
hợp (xem sách), bằng khái niệm giếng thế năng. 
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 
4 
19 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Hàm năng lượng trong hệ điện cơ 
 Xét hệ trong hình vẽ bên dưới, giả thiết cả hệ điện lẫn hệ 
cơ đều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng. 
Mech. 
system 
Ghép 
điện 
cơ 
Te or fe 
q or x 
+ 
_ 
+ 
_ 
+ 
_ 
I2 
I1 
l1 
l2 
 Nếu l hoặc i ở mỗi cửa 
được giữ không đổi, có thể 
dự đoán một dịch chuyển đều 
trong hệ cơ. Không có dòng 
chảy năng lượng hay đồng 
năng lượng vào cửa điện. Ở 
hệ cơ, giả thiết không có 
phần tử tiêu tán năng lượng. 
20 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Hàm năng lượng trong hệ điện cơ 
 Thế năng tổng quát hóa: 
     qqq ,, 21
' IIWUV m
     qqq ,, 21  mWUV
(dòng hằng i1 và i2) 
(từ thông móc vòng hằng l1 và l2) 
 
q
q



U
T m
 Lực cơ học gây tác động 
21 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Quan hệ giữa ổn định tuyến tính hóa và thế năng 
 Phương trình mômen 
 
0
2
2




q
qq V
dt
d
J
 Các điểm cân bằng có được bằng cách giải 
 
0


q
qV
 Tuyến tính hóa quanh một điểm cân bằng qe cho ta 
 
0
2
2
2
2






q
q
qq
qq e
V
dt
d
J
 qe là ổn định nếu , qe là không ổn định nếu 
 
0
2
2



 e
V
qq
q
q
 
0
2
2



 e
V
qq
q
q
22 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.2 và 5.3 
 Cho hệ phương trình 
với R = 1 W và v(t) = 2 V. 
Hãy tìm các điểm cân bằng, tuyến tính hóa hệ phương trình, 
biểu diễn dưới dạng không gian trạng thái và tìm trị riêng. 
 Đặt các đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cân bằng, rút ra 
   tviRi
dt
d
i
dt
d


q
q
q
2
4 2
2
2
 Vậy, hệ có 1 điểm cân bằng (qe, ie) = (1, 2). 
  1/4 ,2/ 2  iRtvi q
23 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt) 
 Tuyến tính hóa hệ phương trình tại điểm cân bằng 
 Phương trình đầu có bậc là 2, do đó sẽ dẫn đến hệ bậc 3. 
 
  022
442
00
00
2
2
2



iii
dt
d
iiii
dt
d
qq
qqq
q
 Định nghĩa các biến trạng thái x1, x2, x3 lần lượt là q, , 
và i, ta có mô hình không gian trạng thái như sau 
q
24 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt) 
 Dẫn đến phương trình đặc trưng để tìm trị riêng như sau 
































3
2
1
3
2
1
5.020
404
010
x
x
x
x
x
x



 Giải ra ta được 3 trị riêng: 
0245.0 23  lll
0502,24578,0 ,4515,0 3,21 j ll
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 
5 
25 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.4 
 Cho quan hệ dòng điện – từ thông của hệ trong hình 
Hãy viết phương trình chuyển động. Với l = 1, M = 1, và Mg = 
2 trong một hệ đơn vị nhất quán nào đó, tìm điểm cân bằng. 
Viết phương trình thế năng của hệ và xác định tính ổn định 
của hệ tại điểm cân bằng trên. 
 22 12 xi  ll
 Tính lực điện từ theo hàm năng lượng 
    22
3
0
22 1
3
12 xdxWm   l
l
lll
l
26 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.4 (tt) 
    xx
x
W
f me 


 1221 22 ll
 Phương trình chuyển động 
  2 0212  exx
  MgxMgf
dt
xd
M e  12 2
2
2
l
 Điểm cân bằng sẽ thỏa mãn (với l, M, và Mg đã cho) 
 Hàm năng lượng tại l đã cho 
   2
1
13/1, xxWm ll
27 Ổn định các hệ thống điện cơ 
Ví dụ 5.4 (tt) 
 
  MgxxUMg
x
xU



 
 Chọn U(x) 
  022
2
2
2
2





e
e
x
x
x
V
       2
1
13/12, xxxWxUxV m  ll
 Xây dựng hàm thế năng V(x) 
 Vậy hệ đã cho ổn định tại điểm cân bằng xe = 2. 
 Tính đạo hàm cấp 2 của V(x)