Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

Wn, ‘s’) 
 %Loc ellip
 [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’)
 [num, den]= ellip (n, -Gp, -Gs, Wn, ‘s’) 
Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5 
Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo
Mục đích của mạch lọc là loại bỏ các thành phần tần số không mong muốn và truyền không méo các thành phần tần số mong muốn. Trong phần 4.4, ta đã thấy là yêu cầu là đáp ứng biên độ phải là hằng và đáp ứng pha là hàm tuyến tính theo w trong suốt dải thông 
 Từ trước đến nay, các mạch lọc đều được nhấn mạnh đến tính ổn định của đáp ứng biên độ. Độ tuyến tính của đáp ứng pha đã bị bỏ qua. Như đã nói thì tai người nhạy cảm với méo biên độ và trong một chừng mực nào đó, không nhạy cảm với méo pha. Do đó, các thiết bị âm thanh thường chỉ được thiết kế để có đáp ứng biên độ là hằng, và đáp ứng pha chỉ là xem xét phụ.
 Ta cũng đã thấy là mắt người thì nhạy cảm với méo pha và tương đối không nhạy cảm với méo biên độ. Do đó, trong các thiết bị hình ảnh, ta không thể bỏ qua mép pha. Trong thông tin xung, cả mép biên độ và mép pha đều quan trọng để sửa lổi cho thông tin truyền đi. Ta sẽ thảo luận ngắn gọn về một vài xu hướng và dáng vẽ của các thiết kế mạch lọc dạng này. 
 Ta đã thấy là (xem phương trình 4.59) khi truyền qua mạch lọc, thì thời gian trễ td theo đáp ứng pha là:
 (7.64)
 Nếu độ dốc của là hằng trong dải tần mong muốn (tức là nếu tuyến tính với w), thì mọi thành phần đều bị trễ với cùng thời gian td . Trong trường hợp ngõ ra lặp lại ngõ vào, giả sử là tất cả các thành phần đều suy giảm như nhau; tức là = hằng số trong dải thông. 
 Nếu độ dốc của đáp ứng pha không là hằng số, thì thời gian trễ td thay đổi theo tần số. Thay đổi này có nghĩa là các thành phần tần số khác nhau có thời gian trễ khác nhau, làm cho ngõ ra không thể lặp lại dạng sóng tín hiệu vào ngay cả khi đáp ứng biên độ là hằng trong dải thông. Một phương pháp tốt để xét tính tuyến tính của pha là vẽ td theo tần số. Trong hệ truyền không méo, td (độ dốc âm của ) cần là hằng số trong dải tần công tác. Đây còn là yêu cầu về tính ổn định của đáp ứng biên độ. 
 Nói chung thì có sự xung đột giữa hai yêu cầu về truyền không méo. Khi ta cố tiệm cận với đáp ứng biên độ lý tưởng, là lúc mà đáp ứng pha càng lệch khỏi đáp ứng pha lý tưởng. Tần số cắt càng sắc nét (dải chuyển tiếp càng bé) thì đáp ứng pha càng tăng tính phi tuyến khi ở gần vùng chuyển tiếp. Ta có thể kiểm nghiệm lại từ hình 7.34, vẽ đặc tính trễ của các họ mạch lọc Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Chebyshev có tần số cắt sắc nét hơn so với Butterworth, cho thấy có sự thay đổi lớn về thời gian trễ của nhiều thành phần tần số so với Butterworth.
 Trong các ứng dụng khi yếu tố tuyến tính về pha là quan trọng, có thể có hai xu hướng:
Nếu td = hằng số (pha tuyến tính) là quan trọng nhất, ta thiết kế bộ lọc để td tạo phẳng tối đa quanh và chấp nhận kết quả là đáp ứng biên độ sẽ không phẳng hay tần số cắt không còn sắc nét.
Khác với mạch lọc Butterworth, được thiết kế để có biên độ phẳng tối đa tại mà không làm suy giảm đáp ứng pha. Họ các mạch lọc phẳng tối đa td được gọi là mạch lọc Bessel – Thomson, là họ có mẫu số của H(s) bậc n là đa thức Bessel. 
Nếu cả đáp ứng biên độ và đáp ứng pha đều quan trọng, ta bắt đầu với mạch lọc thỏa các đặc tính về đáp ứng biên độ, bỏ qua các đặc tính về đáp ứng pha. Ta ghép nối tiếp mạch lọc này với mạch lọc khác, mạch cân bằng (equalizer), có đáp ứng biên độ phẳng với mọi tần số (mạch lọc thông hết allpass) với td có đặc tính bù với đặc tính của mạch lọc chính sao cho đặc tính pha tổng là xấp xỉ tuyến tính. Dạng nối đuôi này cho pha tuyến tính và đáp ứng biên độ của mạch lọc chính (theo yêu cầu)
Lọc thông hết
 Lọc thông hết có số cực và zêrô bằng nhau. Tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức để mạch ổn định. Các zêrô là ảnh phản chiếu của cực qua trục ảo. Nói cách khác, với mỗi cực , ta có zêrô tại . Do đó, các zêrô đều nằm bên phải mặt phẳng phức. Các mạch lọc với cấu hình cực – zêrô này được gọi là mạch lọc thông hết; tức là đáp ứng biên độ là hằng với mọi tần số. Ta có thể kiểm nghiệm qua xem xét hàm truyền có cực tại và zêrô tại :
 và , do đó:
 (7.65)
 (7.66)
Ta thấy là dù đáp ứng biên độ là đơn vị bất chấp vị trí cực và zêrô, đáp ứng pha phụ thuộc vào vị trí cực (hay zêrô). Thông qua chỉnh định cực hợp lý, ta có thể có đáp ứng pha cần thiết là bù của đáp ứng pha của mạch lọc chính.
Tóm tắt
Đáp ứng của hệ LT – TT – BB có hàm truyền với tín hiệu sin không dừng, tần số w cũng là tín hiệu sin có cùng tần số. Biên độ ngõ ra là nhân với biên độ vào, và sóng sin ra bị dời pha một góc so với tín hiệu vào. Đồ thị theo w cho thấy độ lợi biên độ của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng biên độ của hệ thống. Đồ thị theo w cho thấy góc dời pha của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng pha.
 Vẽ đáp ứng tần số được đơn giản hóa bằng cách dùng đơn vị logarithm cho trục biên độ và trục tần số, và được gọi là giảm đồ Bode. Dùng đơn vị logarithm cho phép thực hiện phép cộng (thay vì nhân) đáp ứng biên độ của bốn dạng thừa số trong hàm truyền là (1) hằng số (2) có cực hay zêrô tại gốc (3) có cực hay zêrô bậc nhất (4) có các cực hay zêrô dạng phức. Vẽ đáp ứng pha thì dùng đơn vị tuyến tính cho cho goác pha và đơn vị logarithm cho trục tần số. Đặc tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha cho phép vẽ dễ dàng các hàm truyền ngay cả với bậc cao hơn. 
 Đáp ứng tần số của hệ thống được xác định từ vị trí các cực và zêrô của hàm truyền trên mặt phẳng phức. Ta có thể thiết kế bộ lọc có tính tuyển chọn tần số bằng cách sắp xếp thích hợp vị trí các cực và zêrô trong hàm truyền. Sắp xếp vị trí cực (hay zêrô) gần trục trong mặt phẳng phức làm tăng (hay giảm) đáp ứng tần số tại tần số . Từ ý niệm này, kết hợp đúng để đặt thích hợp vị trí các cực và zêrô giúp ta có được đặc tính mạch lọc cần có.
 Phần này xét hai loại mạch lọc analog là Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Butterworth có đáp ứng biên độ phẳng trong băng thông. Đáp ứng biên độ của lọc Chebyshev có nhấp nhô trong băng thông. Mặt khác, đáp ứng của lọc Chebyshev ở stopband tốt hơn so với lọc Butterworth. Các bước thiết kế lọc thông thấp có thể dùng cho trường hợp thông cao, thông dải và triệt dải thông qua việc dùng các biến đổi tần số thích hợp trong phần 7.7.
 Mạch lọc allpass có độ lợi là hằng số nhưng pha thay đổi theo tần số. Do đó, khi đặt mạch lọc allpass nối đuôi với hệ thống sẽ làm đáp ứng biên độ không đổi nhưng có pha thay đổi. Do đó, dạng lọc allpass được dùng thay đổi đáp ứng pha của hệ thống. 
 Tham khảo 
Wai-Kai Chen, Passive and active Filters, Wiley, New York, 1986.
Van Valkenberg, M.E., Analog Filter Design, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1982. 
Christian E. Eisenmann, Filter Design Tables and Graphs, Transmission Networks International, Inc., Knightdale, N.C., 1977. 
 Bài tập 
Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền
 Tìm đáp ứng với các ngõ vào sin không dừng: (a) (b) (c) . Quan sát thấy chúng đều là sóng sin không dừng. 
Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền
 Tìm đáp ứng xác lập của hệ thống với các ngõ vào sau: (a) (b) (c) (d) .
Bộ lọc allpass mô tả bằng hàm truyền
 Tìm đáp ứng với các ngõ vào không dừng: (a) (b) (c) (d) (e) (f) . Nhận xét về đáp ứng mạch lọc. 
Vẽ giản đồ Bode của các hàm truyền sau:
(a) (b) (c) 
Làm lại bài tập 7.2-1 nếu 
(a) (b) (c) 
Phản hồi có thể dùng để tăng (hay giảm) băng thông của hệ thống. Xét hệ thống trong hình 7.3-1a có hàm truyền .
Chứng tõ khổ sóng 3 dB của hệ thống là 
Để giảm băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với , như vẽ trong hình P7.3-1c. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là .
Để tăng băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với , như vẽ trong hình P7.3-1b. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là .
Độ lợi của hệ thống tại dc nhân với băng thông 3dB gọi là tích số độ lợi – băng thông của hệ thống. Chứng tõ là tích này là giống nhau cho ba hệ thống trong hình P7.3-1. Kết quả này cho thấy khi tăng băng thông thì độ lợi giảm và ngược lại.
Dùng phương pháp đồ thị của phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ LT – TT – BB mô tả bởi hàm truyền
 Cho biết đây là dạng mạch lọc gì?
Dùng phương pháp đồ thị trong phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và pha của hệ LT –TT – BB có các cực và zêrô vẽ trong hình P7.4-2.
Thiết kế bộ lọc bandpass bậc hai với tần số trung tâm . Độ lợi là zêrô tại và . Chọn vị trí cực là . Biện luận về ảnh hưởng của a lên đápứng tần số.
Tìm hàm truyền và đáp ứng biên độ của mạch lọc Butterworth thông thấp bậc ba có tần số cắt 3dB tại . Tìm kết quả không dùng bảng 7.1 hay 7.2. Dùng các bảng này để kiểm nghiệm lại kết quả
Xác định bậc n, là bậc của mạch lọc thông thấp Butterworth, tương ứng với tần số cắt cần thiết thỏa được các tiêu chí của mạch lọc thông thấp. Tìm các giá trị của , một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của passband, và một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của stopband trong các trường hợp:
(a) , , rad/s và rad/s
(b) , , rad/s và rad/s
 (c) Độ lợi tại 3 cần lớn hơn 
Tìm hàm truyền và đáp ứng biên độ của mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các tiêu chí , , rad/s và rad/s . Cần thỏa quá (nếu có thể) các yêu cầu của . Xác định và của thiết kế.
Làm lại bài tập 7.5-1 cho mạch lọc Chebyshev, không dùng bảng
Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau , , rad/s và rad/s.
Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau , , rad/s và rad/s.
Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev có tần số cắt 3 dB là , và độ lợi giảm - 50 dB tại 3. 
Tìm hàm truyền của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 , , rad/s và rad/s. 
Tìm hàm truyền của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 , , rad/s và rad/s.
Tìm hàm truyền của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 , , rad/s, rad/s và rad/s, rad/s.
Tìm hàm truyền của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 , , rad/s, rad/s và rad/s, rad/s.
Tìm hàm truyền của mạch lọc triệt dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 , , rad/s, rad/s và rad/s, rad/s.