Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm - Đinh Ngọc Thanh

(c) Cho M ⊂ H. Chứng tỏ
M⊥ =
⋂
x∈M
x⊥.
(d) Chứng tỏ M⊥ là một không gian vectơ con đóng của H.
(e) Chứng tỏ M⊥ =
(
M
)⊥
.
4.7.9. Cho M là một không gian vectơ con đóng của không gian Hilbert H. Chứng tỏ x ⊥ M khi và chỉ khi
‖x‖ = d(x,M). Kết quả này còn đúng không nếu bỏ giả thiết M là đóng?
4.7.10. Cho M là một không gian vectơ con đóng của không gian Hilbert H. Chứng tỏ M = (M⊥)⊥. Kết
quả này còn đúng không nếu bỏ giả thiết M là đóng?
4.7.11. Trong không gian Hilbert H cho a , 0. Chứng tỏ
d(x,a⊥) = | 〈x,a〉 |‖a‖ .
Ứng dụng, hãy tìm lại công thức cho khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng trong không gian Euclid
R3.
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 46
4.7.12. X Với n ∈ Z+ cố định gọi M là tập tất cả các dãy số thực bằng 0 từ phần tử thứ (n+ 1) trở đi, tức
M = {(x1, x2, . . ., xn,0,0, . . . ) | x1, . . ., xn ∈ R}.
(a) Hãy kiểm M là một không gian vectơ con của `2, do đó là một không gian định chuẩn con của `2.
Hãy xác định số chiều của M .
(b) Chứng minh M là một tập con đóng của `2. Hỏi M có là một không gian Hilbert không?
(c) Xét ánh xạ
PM : `2 → M
x = (x1, x2, . . ., xn, . . . ) 7→ (x1, x2, . . ., xn,0, . . . ).
Như vậy ánh xạ PM chỉ giữ lại n tọa độ đầu tiên của x, các tọa độ còn lại được gán thành 0. Hãy kiểm
PM là một ánh xạ tuyến tính.
(d) Hãy kiểm rằng với mọi x ∈ `2 thì (x−PM x) ⊥ M . Vậy PM chính là phép chiếu từ `2 xuống M .
(e) Chứng tỏ ‖PM x‖ ≤ ‖x‖. Hãy tìm ý nghĩa hình học hình học của bất đẳng thức này.
(f) Chứng tỏ PM là một ánh xạ tuyến tính liên tục.
(g) Hãy tìm không gian trực giao của M , tức M⊥.
(h) Hãy tìm ImPM và kerPM , tức tập ảnh và tập nhân của PM .
4.7.13. Chứng minh mệnh đề 4.3.5.
4.7.14. X Cho H là một không gian Hilbert. Cho ∅ , M,N ⊂ H. Điều nào sau đây là đúng?
(a) M⊥ , ∅.
(b) M ⊂ N =⇒ M⊥ ⊂ N⊥.
(c) M ⊂ N =⇒ N⊥ ⊂ M⊥.
(d) M $ N =⇒ N⊥ $ M⊥.
(e) M⊥ = M⊥.
(f) M⊥ = 〈M〉⊥.
4.7.15. Cho (a1, · · · ,an) là một cơ sở tuyến tính của Rn và α1, · · · , αn là n số thực dương. Với mọi x =∑n
i=1 xiai và y =
∑n
i=1 yiai trong R
n ta đặt
f (x, y) =
n∑
i=1
αi xiyi .
Chứng minh f là một tích vô hướng trên Rn, với tích vô hướng này thì Rn là một không gian Hilbert,
(a1, · · · ,an) là một họ trực giao, và (α−1/21 a1, · · · , α−1/2n an) là một họ trực chuẩn.
4.7.16. Cho (ei)i=1,...,n là một họ trực chuẩn trong một không gian tích trong H và một họ (ci)i=1,...,n trong
F. Chứng minh


∑n
i=1 ciei


2 =∑ni=1 |ci |2.
4.7.17. Chứng tỏ trong một không gian tích trong thì một họ trực chuẩn bất kì là một họ độc lập tuyến tính.
4.7.18. Cho (en)n∈Z+ là một họ trực chuẩn trong một không gian Hilbert H và (cn)n∈Z+ ∈ `2. Chứng minh:
(a) Chuỗi
∑∞
n=1 cnen hội tụ trong H.
(b)


∑∞
n=1 cnen


2 =∑∞n=1 |cn |2.
4.7.19. Cho (en)n∈Z+ là một họ trực chuẩn trong một không gian HilbertH. Cho x ∈H. Chứng tỏ limn→∞ 〈x, en〉 =
0.
4.7.20. Giả sử E là một họ trực chuẩn cực đại trong không gian Hilbert H, và x, y ∈ H. Chứng tỏ nếu ∀e ∈ E ,
〈x, e〉 = 〈y, e〉 thì x = y.
4.7.21. Xét không gian Hilbert H = L2([0,1],R). Gọi M là tập hợp tất cả các hàm hằng trên [0,1].
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 47
(a) Chứng tỏ M là một không gian vectơ con của H.
(b) Chứng tỏ {1} là một cơ sở trực chuẩn của M .
(c) Vì sao M là không gian vectơ con đóng của H?
(d) Cho hàm f (x) = x. Tìm PM f .
4.7.22. X Trong không gian Hilbert L2([0,1],R) cho f (t) = t2. Tìm hình chiếu của f và khoảng cách từ f
tới các không gian vectơ con M với:
(a) M = {x ∈ L2([0,1]) | ∫ 10 x(t) dt = 0},
(b) M là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 1.
4.7.23. Xét không gian Hilbert L2([0,1],R) trên trường thực. Cho f (x) = x và g(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Tính ‖ f ‖L2 và ‖g‖L2 .
(b) Tính 〈 f ,g〉L2 .
(c) Tính Pg f .
(d) Tìm h ∈ L2([0,1],R) sao cho h , 0 và h ⊥ g.
4.7.24. X Trong không gian Hilbert L2([0,1],R) hãy tìm một cơ sở trực chuẩn cho không gian vectơ con
sinh bởi các hàm 1, t, t2.
4.7.25. Cho M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Cho x ∈ H. Chứng tỏ chiếu của x
xuống M là duy nhất. Cụ thể hãy chứng tỏ nếu y1 và y2 thuộc M thỏa (x − y1) ⊥ M và (x − y2) ⊥ M thì
y1 = y2, theo các bước sau:
(a) Chứng tỏ (y1− y2) ⊥ M .
(b) Chứng tỏ (y1− y2) ⊥ (y1− y2).
(c) Chứng tỏ y1− y2 = 0.
4.7.26. Trong không gian định chuẩn `2 gọi e1 = (1,0, . . . ), e2 = (0,1,0, . . . ). Chứng tỏ tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f trên `2 sao cho f (e1) = 1 và f (e2) = 0, bằng một trong hai cách sau:
(a) Dùng định lý Hahn–Banach.
(b) Xét phiếm hàm tuyến tính trong không gian tích trong đại diện bởi e1.
4.7.27. X Trên L2([0,2pi],R), với n ∈ Z+, đặt
en(t) = 1√
pi
cos(nt),
fn(t) = 1√
pi
sin(nt).
Hãy kiểm trực tiếp rằng họ {en, fn | n ∈ Z+} là một họ trực chuẩn trong L2([0,2pi],R).
4.7.28. Tìm khai triển Fourier của hàm:
(a) f (x) =

0, 0 ≤ x < pi2 ,
1, pi2 ≤ x ≤ 3pi2 ,
0, 3pi2 < x ≤ 2pi.
(b) f (x) =

x, 0 ≤ x < pi2 ,
pi− x, pi2 ≤ x ≤ 3pi2 ,
x−2pi, 3pi2 < x ≤ 2pi.
4.7.29. Cho f ∈ L2([0,2pi]) và a0+∑∞n=1 (an cos(nt)+ bn sin(nt)) là chuỗi Fourier của f . Áp dụng đẳng thức
Parseval, chứng tỏ
a20
2
+
∞∑
n=1
(
a2n + b
2
n
)
=
1
pi
∫ 2pi
0
f (x)2 dx.
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 48
4.7.30. Áp dụng đẳng thức Parseval cho hàm f (x) = x trên [0,2pi] (xem 4.6.2), tính
∞∑
n=1
1
n2
.
4.7.31. Tìm khai triển Fourier của hàm
f (x) =
{
x2, 0 ≤ x ≤ pi,
(x−2pi)2, pi ≤ x ≤ 2pi.
Áp dụng đẳng thức Parseval, tính
∞∑
n=1
1
n4
.
4.7.32. Đây là một kết quả về tính toán chuẩn của ánh xạ tuyến tính trên Rn. Cho T : Rn→ Rn. Gọi T∗ là
toán tử liên hợp của T , được định nghĩa bởi
〈T x, y〉 = 〈x,T∗y〉
với tích vô hướng Euclid. Chứng tỏ:
(a) Ma trận biểu diễn [T∗] là ma trận liên hợp của ma trận [T].
(b) Ánh xạ tuyến tính T∗T có n giá trị riêng thực không âm.
(c) Gọi {ei | 1 ≤ i ≤ n} là một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của T∗T . Khi đó
‖T x‖22 = 〈T x,T x〉 = 〈T∗T x, x〉
=
〈
n∑
i=1
xi(T∗T)(ei),
n∑
i=1
xiei
〉
=
n∑
i=1
λi x2i ≤ max
i
λi ‖x‖22 .
Nếu λi0 = maxi λi thì đẳng thức xảy ra khi x = ei0 .
(d) Với chuẩn Euclid ‖·‖2 thì ‖T ‖ =
√
max1≤i≤n λi trong đó λi là các giá trị riêng của T∗T .
Gợi ý cho một số bài tập
2.8.15 Không gian định chuẩn là liên thông nên tập vừa đóng vừa mở phải là ∅ hoặc cả không gian.
3.8.14 Tham khảo mục 3.5.
2.8.20 Dùng bất đẳng thức Holder.
3.8.12 Dùng định lý Ascoli.
2.8.18 Dùng tính liên tục đều, hoặc Định lý hội tụ bị chặn của tích phân Lebesgue. Để chứng tỏ f liên tục
tại x0, xét hàm g trên A×[−(‖x0‖+1), ‖x0‖+1].
4.7.15 Các chuẩn trên Rn đều tương đương.
3.8.25 Dùng 3.8.15.
4.7.9 Dùng ý chứng minh của mệnh đề 4.3.1.
4.7.28 (a) 12 +
2
pi
∑∞
k=0(−1)k+1 12k+1 cos(2k +1)x.
4.7.30
∑∞
n=1
1
n2
= pi
2
6 .
4.7.31 pi
2
3 +
∑∞
n=1
(−1)n4
n2
cos(nx). ∑∞n=1 1n4 = pi490 .
49
Tài liệu tham khảo
[1] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer,
2011. Giáo trình cho bậc sau đại học.
[2] Dương Minh Đức, Giáo trình Toán Giải Tích 1 (Toán vi tích phân A1), NXB Thống kê, Tp.
Hồ Chí Minh, 2006.
[3] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2005.
[4] Dương Minh Đức, Lý thuyết độ đo và tích phân, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh,
2006.
[5] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Introductory real analysis, Dover, 1975. Dành cho bậc đại
học. Có bản dịch tiếng Việt.
[6] Erwin Kreyszig, Introductory functional analysis and applications, John Wiley and sons,
1978. Tương đối dễ hiểu cho bậc đại học, gần với giáo trình này.
[7] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997. Có phần về không gian định
chuẩn. Kiến thức giải tích bậc đại học.
[8] Peter D. Lax, Functional analysis, Wiley-Interscience, 2002. Sách tham khảo cho trình độ
sau đại học.
[9] W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1986.
[10] Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Princeton University
Press, 2002.
[11] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Lý thuyết độ đo và xác suất, NXB Đại Học Quốc Gia
Tp. Hồ Chí Minh, 2015.
[12] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giải tích hàm,
NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2011.
[13] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giáo trình Giải
tích 2, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2011.
[14] Hoàng Tụy, Hàm thực & Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005.
50
Chỉ mục
E∗, 25
L(E,F), 25
ánh xạ co, 9
ánh xạ tuyến tính bị chặn, 24
đầy đủ, 7
đồng phôi, 13
độ đo Lebesgue, 17
độ đo đếm, 17
độc lập tuyến tính, 11
định lí Hahn–Banach, 29
định lý Ascoli, 19
định lý Bolzano-Weierstrass, 8
định lý Stone–Weierstrass, 20
định lý hội tụ bị chặn, 18
đẳng cấu tích trong, 42
đẳng cấu tôpô, 13
đẳng thức Parseval, 41
điểm, 4
điểm bất động, 9
điểm dính, 5
điểm trong, 5
bất đẳng thức Bessel, 40
bất đẳng thức Minkowski, 12
bị chặn, 8
bổ đề Zorn, 30
bao đóng, 5
cơ sở tuyến tính, 11
cơ sở vectơ, 11
C, Cn, 7
chiếu, 37
chuẩn, 11
chuẩn Euclid, 11
compắc, 8
dày đặc, 9
dãy Cauchy, 7
dãy hội tụ, 6
giới hạn, 6
hầu khắp, 18
hàm đo được, 17
hệ trực giao, 39
họ trực chuẩn, 39
họ trực chuẩn cực đại, 41
không gian (mêtríc) con, 6
không gian đối ngẫu, 25
không gian đầy đủ hóa, 9
không gian định chuẩn, 11
không gian định chuẩn con, 12
không gian đo, 17
không gian Banach, 12
không gian có khoảng cách, 4
không gian Euclid phức n-chiều, 7
không gian Euclid thực n-chiều, 5
không gian Hilbert, 36
không gian mêtríc, 4
không gian tách được, 41
không gian vectơ, 10
không gian vectơ con, 10
không gian vectơ vô hạn chiều, 11
liên tục, 6
liên tục đều, 8
mêtríc, 4
mêtric Euclid, 5
nhân, 32
nhân của toán tử tích phân, 28
phép đồng phôi, 13
phép đẳng cấu metric, 27
phép đẳng cấu tôpô, 13
phép đẳng cự, 27
phần trong, 5
phiếm hàm, 25
tích phân, 17
tích phân Lebesgue, 18
tích trong, 34
tập đóng, 5
tập mở, 5
tập trực giao, 36
toán tử compắc, 32
51
CHỈ MỤC 52
toán tử liên hợp, 48
trù mật, 9
vectơ, 10
vuông góc, 36