Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và GMRES (m)

aser với chiều dài 
xung là 12 sf và năng lượng photon là 1.49 eV , mật độ hạt tải quang là 
16 35 10exN cm
−= × sau thời gian 1 ps . Kích thước theo ba chiều không gian của đi-ốt là 
440 100 100x y zL L L nm nm nm× × = × × , giả sử đi-ốt được nuôi cấy theo phương Ox . 
Linh kiện được chia thành các ô lưới không gian với 1050 10x y z m−Δ = Δ = Δ = × . Như 
vậy ta sẽ có 89xN = nút 
lưới theo phương Ox , 
21yN = nút lưới theo 
phương Oy và 21zN = nút 
lưới theo phương Oz . Điện 
trường ngoài được đặt vào 
linh kiện dọc theo phương 
Ox và đi-ốt được phân cực 
nghịch, xem Hình 1. 
Hình 2 mô tả sự thay đổi 
vận tốc trôi dạt của điện tử theo các phương Ox , Oy và Oz và vận tốc trôi dạt toàn 
phần ứng với điện trường ngoài 100extE kV cm= , được tính toán với hai giải thuật giải 
phương trình Poisson khác nhau: Hình 2a) là kết quả tính toán với giải thuật 
GMRES(m) còn Hình 2b) là kết quả tính toán với giải thuật TFQMR. Cả hai giải thuật 
đều cho những kết quả tương tự nhau. 
Hình 1. Mô hình đi-ốt p-i-n GaAs 
ĐÀO HỮU HÀ - ĐINH NHƯ THẢO 
8 
Hình 3 mô tả sự phụ thuộc của vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với các giá 
trị điện trường ngoài 100extE kV cm= và 150kV cm , cũng được tính toán với hai giải 
thuật giải phương trình Poisson khác nhau và hai giải thuật cho những kết quả gần như 
trùng khớp. 
Hình 2. Vận tốc trôi dạt của điện tử theo các phương khác nhau và vận tốc trôi dạt toàn phần 
như là hàm của thời gian ứng với 100extE kV cm= được tính toán với hai giải thuật giải 
phương trình Poisson khác nhau: a) GMRES(m), b) TFQMR 
Hình 4 cho kết quả so sánh vận tốc của điện tử thu được bằng ba chương trình mô 
phỏng ba chiều sử dụng thuật toán GMRES(m), thuật toán TFQMR và thuật toán 
BICGSTAB(3) [8], ba đồ thị gần như trùng nhau hoàn toàn, đặc biệt chương trình dùng 
thuật toán TFQMR cho kết quả trùng hoàn toàn với kết quả thu được khi sử dụng thuật 
Hình 3. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện tử 
như là hàm của thời gian ứng với các điện 
trường ngoài khác nhau và được tính toán với 
hai giải thuật khác nhau 
Hình 4. Vận tốc trôi dạt của điện tử theo 
phương Ox như là hàm của thời gian thu 
được bằng ba chương trình mô phỏng khác 
nhau ứng với 100extE kV cm= 
TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP... 
9 
toán BICGSTAB(3). Điều đó cho thấy phương pháp TFQMR hoạt động hiệu quả hơn 
phương pháp GMRES(m) do chương trình ba chiều sử dụng thuật toán BICGSTAB(3) 
đã được chứng minh là cho kết quả phù hợp với thực nghiệm [8]. 
Hình 5 mô tả sự phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai 
phương Ox , Oy tại mặt cắt 50z nm= ứng với điện trường ngoài 100extE kV cm= được 
tính toán bằng ba chương trình mô phỏng ba chiều sử dụng ba thuật toán GMRES(m), 
TFQMR và BICGSTAB(3). Ba đồ thị trong hình 5 đều gần như trùng nhau hoàn toàn. 
Kết quả này cũng phù hợp với các kết quả đã được công bố trước đây [1], [8]. 
Hình 5. Phân bố điện thế không gian trong đi-ốt 
p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox, Oy tại 
mặt cắt 50z nm= ứng với 100extE kV cm= , 
được tính toán bằng ba chương trình mô phỏng 
khác nhau 
Hình 6. Sự phụ thuộc của chuẩn Euclid của 
vectơ thặng dư vào số vòng lặp của chương 
trình con Poisson ứng với 100extE kV cm= 
Để so sánh tốc độ hội tụ và tính ổn định của hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) với 
các đặc trưng tương ứng của thuật toán BICGSTAB(3), chúng tôi đã tiến hành khảo sát 
sự phụ thuộc của chuẩn Euclid của vectơ thặng dư vào số vòng lặp của chương trình con 
Poisson, Hình 6. Chuẩn Euclid của vectơ thặng dư được tính theo công thức [4]. 
2
Tr r r= , (7) 
với r b Aϕ= − là vectơ thặng dư. Từ đồ thị ta thấy rằng, cả hai thuật toán TFQMR và 
GMRES(m) đều cần số vòng lặp lớn hơn rất nhiều để tìm ra nghiệm có cùng chuẩn 
Euclid của vector thặng dư so với nghiệm tìm được bằng thuật toán BICGSTAB(3). 
Điều này có nghĩa là cả hai thuật toán này có tốc độ hội tụ chậm hơn thuật toán 
BICGSTAB(3). Tuy nhiên, đồ thị tương ứng với hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) 
trơn hơn đồ thị tương ứng với thuật toán BICGSTAB(3), hàm ý rằng hai thuật toán này 
cho kết quả ổn định hơn thuật toán BICGSTAB(3). 
ĐÀO HỮU HÀ - ĐINH NHƯ THẢO 
10 
Trong Bảng 2 chúng tôi so sánh chi phí tính toán trong một vòng lặp của chương trình 
con Poisson gồm có số phép nhân ma trận-vectơ (MVS), số lần cập nhật vectơ 
(AXPYS), số lần tính tích nội của hai vectơ (DOTS) [8] của ba thuật toán GMRES(m), 
TFQMR và BiCGSTAB(3). 
Bảng 2. Bảng so sánh chi phí tính toán trong một vòng lặp của chương trình con Poisson 
Thuật toán MVS AXPYS DOTS 
GMRES(m) 3 10 6 
TFQMR 2 10 4 
BiCGSTAB(3) 6 24 16 
Ta thấy rằng số phép nhân ma trận-vectơ của thuật toán GMRES(m) chỉ bằng một nửa 
so với thuật toán BiCGSTAB(3) và gấp 1.5 lần so với thuật toán TFQMR, còn số lần 
tính tích nội thì ít hơn khoảng 2.7 lần so với thuật toán BiCGSTAB(3) và chỉ hơn 1.5 
lần so với thuật toán TFQMR. Riêng số lần cập nhật vectơ thì bằng với thuật toán 
TFQMR và ít hơn 2.4 lần so với thuật toán BiCGSTAB(3). Kết quả cho thấy thuật toán 
TFQMR yêu cầu chi phí tính toán ít hơn các phương pháp khác. 
Bảng 3. Bảng so sánh số vòng lặp trung bình của chương trình con Poisson, thời gian trung 
bình trong một vòng lặp của chương trình mô phỏng và tổng thời gian mô phỏng 
Thuật toán loop T/loops T 
GMRES(m) 48706 264.4 giây 53.1 giờ 
TFQMR 317 1.43 giây 17.2 phút 
BiCGSTAB(3) 62 2.75 giây 33.1 phút 
Bảng 3 so sánh trung bình số vòng lặp của chương trình con Poisson (loop), thời gian 
trung bình trong một vòng lặp của chương trình mô phỏng (T/loops), tổng thời gian mô 
phỏng (T). Số liệu cho thấy số vòng lặp của chương trình con Poisson và thời gian mô 
phỏng đối với thuật toán GMRES(m) là rất lớn so với các giải thuật khác và là một hạn 
chế của thuật toán này. Ngược lại, mặc dù số vòng lặp của chương trình con Poisson sử 
dụng thuật toán TFQMR gấp khoảng 5 lần so với chương trình sử dụng thuật toán 
BiCGSTAB(3) nhưng thời gian mô phỏng trung bình trên một vòng lặp chỉ bằng một nửa 
so với thuật toán BiCGSTAB(3), dẫn đến việc tổng thời gian mô phỏng được rút ngắn. 
Đây chính là ưu thế của thuật toán TFQMR trong việc giải phương trình Poisson ba chiều. 
4. KẾT LUẬN 
Chúng tôi đã xây dựng thành công hai chương trình giải phương trình Poisson ba chiều 
dựa trên hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) dùng để tích hợp trong chương trình mô 
phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Để 
khảo sát các đặc trưng của phương pháp chúng tôi đã áp dụng để mô phỏng động lực 
học ba chiều của hạt tải trong các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs và so sánh với các kết quả 
mô phỏng đã được công bố trước đây. Các kết quả chỉ ra rằng chương trình giải phương 
trình Poisson dựa trên hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) có tốc độ hội tụ chậm hơn 
nhưng cho kết quả ổn định hơn chương trình giải phương trình Poisson dựa trên thuật 
toán BICGSTAB(3). 
TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP... 
11 
LỜI CẢM ƠN 
Các tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Hồng Quang, Ban Hợp 
tác Quốc tế, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, chủ nhiệm đề tài NAFOSTED 
(103.02.109.09) đã hỗ trợ mọi mặt cho các tác giả trong quá trình hoàn thành bài báo 
này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] D. N. Thao, S. Katayama, and K. Tomizawa (2004). Numerical simulation of 
THz radiation by coherent LO phonons in GaAs p-i-n diodes under high 
electric fields. Journal of the Physical Society of Japan 73, 3177–3181. 
[2] G. Klatt et al. (2011). Photo-Dember terahertz emitter excited with an Er: fiber 
laser, Appl. Phys. Lett. 98, 021114–021114-3. 
[3] K. Tomizawa (1993)., Numerical simulation of submicron semiconductor 
devices. Artech House, Boston London. 
[4] H. A. Vorst (2003). Iterative Krylov methods for large linear systems. 
Cambridge University. 
[5] Y. Saad (2000). Iterative Methods for Sparse Linear Systems. SIAM. 
[6] Shao-Liang Zhang (1997). GPBi-CG: Generalized product-type methods 
based on Bi-CG for solving nonsymmetric linear systems. SIAM J. Sci. 
Comput., Vol 18, No. 2, 537 – 551. 
[7] G. Speyer, D. Vasileska and S. M. Goodnick (2001). Efficient Poisson 
equation solvers for large scale 3D simulations. Technical Proceedings of the 
2001 International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems, 
Nanotech 2001, Vol. 1, 23 – 26. 
[8] D. N. Thao and L. H. Hai (2010). 3D simulation of semiconductor devices 
using BICGSTAB (3) for the solution of Poisson’s equation. Journal of 
Science and Education 15, 19-26. 
[9] D. N. Thao and N. T. Ngoc (2010). 3D simulation of semiconductor devices 
using preconditioned BICGSTAB algorithm with Jacobi preconditioner for the 
solution of Poisson’s equation. Journal of Science and Education, 16, 34-41. 
[10] D. N. Thao, D. T. D. My, N. C. P. Thi and N. T. Thuy (2011). Three-
dimensional simulation of nano semiconductor devices using GPBICG 
algorithm for the solution of the Poisson's equation. Journal of Science 65, 
215-223. 
ĐÀO HỮU HÀ - ĐINH NHƯ THẢO 
12 
Title: OBTAINING THE SOLUTION OF THE 3D POISSON’S EQUATION BY MEANS OF 
THE TFQMR AND GMRES(m) METHODS 
Abstract: The paper presents building approach for 3D Poisson solvers based on GMRES(m) 
and TFQMR algorithms for incorporating into self-consistent ensemble Monte Carlo simulation 
programs of nano semiconductor devices. In order to test the efficiency, the programs are used 
to simulate the well-known GaAs p-i-n diodes. The obtained results show that the TFQMR 
based Poisson solver owns much higher convergent rate compared to the GMRES(m) based 
solver. Both algorithms run more slowly than BICGSTAB(3) algorithm but in return, have 
much higher stability. 
TS. ĐINH NHƯ THẢO 
Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế 
ĐT: 0996.867.668. Email: dnthao@gmail.com 
ThS. ĐÀO HỮU HÀ 
Trường Phổ thông Dân tộc Nội trú Tỉnh Kon Tum 
ĐT: 0984.797.370. Email: dhha80@gmail.com