Signal & Systems - Lecture 7 - Trần Quang Việt

tuần hoàn dùng biến đổi Fourier
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier
4.1.1. Biến đổi Fourier
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.1. Biến đổi Fourier
0
( )Tf t
0T

 Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có
chu kỳ dài vô hạn
Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn:
( )f t
Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau: 0
0
TT
f(t)= lim f (t)
→∞
  
và fT0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với
chu kỳ T0:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
0 02 /Tω pi=
0nω
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
0 02 /Tω pi=
0nω
4.1.1. Biến đổi Fourier

 Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier
0
0 0
0
0
T /2 S
-jnω t -jnω t 0
n T
-T /2 -S
0 0 0 0
sinnω S1 1 2D = f (t)e dt= e dt=
T T T nω∫ ∫

 Gấp đôi T0:
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
0 nT D 2sin Sω
ω 0 0
2
n n
T
pi
ω ω= =
0 02 /Tω pi=
0nω
4.1.1. Biến đổi Fourier

 Tiếp tục tăng T0
[ ] 0 0
000 0
T /2
-jnω t -jωt
0 n T
-T /2 -T T
lim T .D = lim f (t)e dt = f(t)e dt=F(ω)∞
∞→∞ →∞
 
  ∫ ∫

 Khi T0∞, T0Dn  hàm liên tục

 Phổ của tín hiệu không tuần hoàn:
0 0
0
nT T ∆ω 0
0
F(nω ) 1D(ω)= lim [D ] lim F(ω) lim [∆ω]
T 2pi→∞ →∞ →
= = 0=
 Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có tính chất phân bố
 Hàm mật độ phổ tín hiệu, F(ω), được xem là phổ tín hiệu
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.1. Biến đổi Fourier

 Tích phân Fourier 
0
0
TT
f(t) lim f (t)
→∞
=
jn ωt
n
1lim F(n ω)e ω
2ω pi
∞
∆
∆ →∞
=−∞
= ∆ ∆∑0
0
jnω t
nT
n
lim D e
∞
→∞
=−∞
= ∑
jωt1f(t) F(ω)e dω
2pi
∞
−∞
= ∫

 Tóm lại ta có kết quả: f(t) F(ω)↔
jω tF(ω )= f(t)e dt∞ −
−∞
∫
Phương trình phân tích – Biến
đổi Fourier thuận
jωt1f(t)= F(ω)e dω
2pi
∞
−∞
∫
Phương trình tổng hợp – Biến
đổi Fourier ngược
Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ các thành
phần tần số, ejωt
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier

 Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F(ω) hữu hạn và
năng lượng sai số bằng 0. 

 Điều kiện Dirichlet:
 Điều kiện 1: 
T
|f(t)|dt<∞∫
 Điều kiện 2: f(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng thời
gian hữu hạn
 Điều kiện 3: f(t) có hữu hạn số gián đoạn trong khoảng thời gian
hữu hạn và gián đoạn phải có độ lớn là hữu hạn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

 f(t)=δ(t):
-jωtF(ω)= δ(t)e dt= δ(t)dt=1∞ ∞
−∞ −∞
∫ ∫ δ(t) 1↔
( )tδ
t
0
ω
0
↔
1

 f(t)=e-atu(t); a>0:
at jωt (a+jω)t (a+jω)t
0
0
1 1F(ω)= e u(t)e dt= e dt= e =
a+jω a+jω
∞
∞ ∞
− − − −
−∞
−∫ ∫
at 1e u(t); a>0
a+jω
− ↔
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
2 2
1( )F
a
ω
ω
=
+
1( ) tan ( / )F aω ω−∠ = −
( )F ω
1/ a
ω
ω
/ 2pi
/ 2pi−
( )F ω∠
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

 f(t)=u(t):
0
0
1( ) ( ) ?j t j t j tF u t e dt e dt ej
ω ω ωω
ω
+∞
+∞ +∞
− − −
−∞
= = = − =∫ ∫
( )ate u t−
( )u t
t0
1
2 20 0 0
1( ) lim ( ) lim limat j t
a a a
a jF e u t e dt
a j a
ω ωω
ω ω
+∞
− −
−∞→ → →
− 
⇒ = = =  + + ∫
0
( ) lim ( )at
a
u t e u t−
→
=
2 20
1( ) lim
a
aF
a jω ω ω→⇒ = ++ Diện tích bằng pi
1( ) ( )F jω piδ ω ω⇒ = +
( ) ( ) 1/u t jpiδ ω ω↔ +
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

 f(t) xung cổng đơn vị:
( )e tr ct τ = 0 / 21 / 2
t
t
τ
τ
>
<
/ 2 / 2 / 2/ 2
/ 2
/ 2
1( ) ( )
j j
j t j t j tt e eF rect e dt e dt ej j
τ ωτ ωτ
τω ω ω
τ τ
τ
ω
ω ω
−
+∞
− −
−∞ −
−
−
= = = − =∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2sin sin( ) sinjF cj
ωτ ωτ
ωτ
ωτ
ω τ τ
ω
⇔ = = = ⇒ ( )2( ) sintrect c ωττ τ↔
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tính chất tuyến tính:
1 1 2 2f (t) F (ω); f (t) F (ω)↔ ↔ 1 1 2 2 1 1 2 2a f (t)+a f (t) a F(ω)+a F (ω)↔

 Phép dịch thời gian:
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt∞ −
−∞
↔ ∫
0
0( ) ( ) j tf t t F e ωω −− ↔ Linear phase shift
jωt
1 0 1 0f (t)=f(t t ) F (ω)= f(t t )e dt
∞
−
−∞
− ↔ −∫
0jω( +t )
= f( )e dττ τ∞ −
−∞
∫ 0jωt=F(ω)e−
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Ví dụ:
/ 2ωτ−
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Phép dịch tần số (điều chế):
0jω t
0f(t)e F(ω ω )↔ −
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt∞ −
−∞
↔ ∫
0 0jω t jω t jωt
1 1f (t)=f(t)e F (ω)= f(t)e e dt
∞
−
−∞
↔ ∫ 0
j(ω ω )t
0= f(t)e dt F(ω ω )
∞
− −
−∞
= −∫
Ví dụ: 0 0 0
1 1f(t)cosω t F(ω ) F(ω+ )
2 2
ω ω↔ − +
0 0 0
1 1f(t)sinω t F(ω ) F(ω+ )j2 j2ω ω↔ − −
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tính đối ngẫu:
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt∞ −
−∞
↔ ∫
jωt1f(t)= F(ω)e dω
2pi
∞
−∞
∫ jωt
1f( t)= F(ω)e dω
2pi
∞
−
−∞
− ∫
jωt1f( ω)= F(t)e dt
2pi
∞
−
−∞
− ∫
jωt2pif( ω)= F(t)e dt∞ −
−∞
− ∫
F(t) 2pif( ω)↔ −
Ví dụ: δ(t) 1↔ 1 2piδ( ω)=2piδ(ω)↔ −
t ωτ
rect τsinc
τ 2
   
↔   
   
( )0
0 0
pi ω
sinc ω t rect
ω 2ω
 
↔  
 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Phép tỷ lệ thời gian:
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt∞ −
−∞
↔ ∫
jωt
1 1f (t)=f(at) F (ω)= f(at)e dt
∞
−
−∞
↔ ∫
ωj τ
a
1
10 : F (ω)= f(τ)e dτ
a
a
−∞
−∞
> ∫
1 ω
= F
a a
 
 
 
ωj τ
a
1
10 : F (ω)= f(τ)e dτ
a
a
−∞
−∞
<
−
∫
1 ω
= F
a a
 
 
−  
1 ωf(at) F|a| a
 
↔  
 

 Phép đảo thời gian:
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt∞ −
−∞
↔ ∫ f( t) F( ω)− ↔ −
ate u( t) 1/(a jω)− ↔ −Ví dụ: ate u(t) 1/(a jω)− ↔ +
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
1 1 2 2f (t) F (ω); f (t) F (ω)↔ ↔
jωt
1 2 1 2f(t)=f (t) f (t) F(ω)= f (t) f (t)e dt
+∞
−
−∞
∗ ↔ ∗∫
+ jωt
1 2
- -
= f (τ) f (t τ)e dt dτ∞ +∞ −
∞ ∞
 
−
  ∫ ∫
jωτ
1 2f (τ)F (ω)e dτ
+∞
−
−∞
= ∫
jωτ
2 1 1 2F (ω) f (τ)e dτ F (ω)F (ω)
+∞
−
−∞
= =∫
1 2 1 2f (t) f (t) F (ω)F (ω)∗ ↔
( ) ( )2 22t 2t t ωTT TT T 2 T 4 4rect( ) rect( )= sinc∗ ∆ ↔
( )2t ωTTT 2 4rect( ) sinc↔
( ) ( )2t ωTTT 2 4sinc∆ ↔
Ví dụ:
jωt
1 2F(ω)= f (τ)f (t τ)dτ e dt
+∞ +∞
−
−∞ −∞
 
−
  ∫ ∫
Có:

 Tích chập trong miền thời gian:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tích chập trong miền tần số:
1 1 2 2f (t) F (ω); f (t) F (ω)↔ ↔
jωt
1 2
1f(t)= [F (ω) F (ω)]e dω
2pi
+∞
−∞
∗∫
jωt
1 2
1 [ F (τ)F (ω-τ)dτ]e dω
2pi
+∞ +∞
−∞ −∞
= ∫ ∫
jωt
1 2
1 F (τ)[ F (ω-τ)e dω]dτ
2pi
+∞ +∞
−∞ −∞
= ∫ ∫
jτt jxt
1 2
1 F (τ)e [ F (x)e dx]dτ
2pi
+∞ +∞
−∞ −∞
= ∫ ∫
jτt
2 1f (t) F (τ)e dτ
+∞
−∞
= ∫ 1 22pif (t)f (t)=
1 2 1 22pif (t)f (t) F (ω) F (ω)↔ ∗
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Đạo hàm trong miền thời gian:
jωt1
2pif(t) F(ω)e dω
+∞
−∞
= ∫
n
n
n
d f(t) (jω) F(ω)
dt
↔
f(t) F(ω)↔
jωt1
2pi
df(t) jωF(ω)e dω
dt
+∞
−∞
= ∫
df(t) jωF(ω)
dt
↔

 Tích phân trong miền thời gian:
f(t) u(t) f(τ)u(t τ)dτ+∞
−∞
∗ = −∫ f(τ)dτ
t
−∞
= ∫
f(t) u(t) F(ω)[piδ(ω)+1/jω]∗ ↔ = piF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
f(τ)dτ piF(0)δ(ω)+F(ω)/jωt
−∞
↔∫
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Liên hiệp phức và tính đối xứng liên hiệp phức:
jωtf(t) F(ω)= f(t)e dt∞ −
−∞
↔ ∫
jωt1
2pif(t) F(ω)e dω
+∞
−∞
= ∫
* jωt * * jωt1 1
2pi 2pif (t) [ F(ω)e dω] F (ω)e dω
+∞ +∞
−
−∞ −∞
= =∫ ∫
* jωt1
2pi F ( ω)e dω
+∞
−∞
= −∫
* *f (t) F ( ω)↔ − *F( ω)=F (ω)− f(t):Real
|F(ω)| : even function of ω
F(ω) : odd function of ω∠
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Định lý Parseval:
2
fE |f(t)| dt
+∞
−∞
= ∫
*f(t)f (t)dt+∞
−∞
= ∫
jωt1
2f(t)[ F(ω)e dω] dtpi
+∞ +∞
∗
−∞ −∞
= ∫ ∫
* -jωt1
2pi F (ω)[ f(t)e dt]dω
+∞ +∞
−∞ −∞
= ∫ ∫
*1
2pi F (ω)F(ω)dω
+∞
−∞
= ∫
21
f 2piE |F(ω)| dω
+∞
−∞
= ∫
2|F(ω)| Mật độ phổ năng lượng
Định lý Parseval
ω
2f(t)=sinc(t) F(ω)=2pirect( )↔Ví dụ:
2 2 ω1
f 2pi 2E 4pi rect ( )dω
+∞
−∞
= ∫
1
1
2pi dω 4pi
−
= =∫
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn

 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier:
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
+∞
−∞
∑ 0
0
jnω t
n T
0
1D = f(t)e dt
T
−
∫với:

 Biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn:
n 0
n=
f(t) F(ω)= 2piD δ(ω nω )
+∞
−∞
↔ −∑
n
1 npiD = sinc( )
2 2

 Ví dụ 1:
0
n=
npiF(ω)= pisinc( )δ(ω nω )
2
+∞
−∞
−∑
f ( t )
0T
T0=4S
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
F(ω)
0ω0ω−
22
pi
ω

 Ví dụ 2: xác định phổ của hàm phân bố lược
k=
f(t)= δ(t kT)
∞
−∞
−∑
f(t)
1
t
0 T 2T-T-2T
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
n
1D =
T n=
2pi 2npiF(ω)= δ(ω )
T T
+∞
−∞
−∑
F(ω)
2pi
T
4pi
T
4pi
T
−
2pi
T
−
0
2pi
T
ω