Signal & Systems - Lecture 6 - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier
Lecture-6 
3.3. Chuỗi Fourier và tính chất
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất
3.3.1. Chuỗi Fourier
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

 Xét tập tín hiệu: { }0jnω te ; n=0, ±1, ±2,....
Ta có: 1 00 0 0 0
1
t Tjnω t jmω t jnω t jmω t
t
(e , e )= e e dt+ −∫
0
0
2T
ω
pi
=và
1 0
0
1
t T j(n m)ω t
t
= e dt
+
−
∫
1 00
1
t Tj(n m)ω t
t
0
1
= ej(n m)ω
+
−
−
0 1 0 0j(n m)ω t j(n m)ω T
0
1
= e [e 1]j(n m)ω
− −
−
−
=0
Và: 1 00 0 0 0
1
t Tjnω t jnω t jnω t jnω t
0 nt
(e , e )= e e dt T E+ − = =∫
Vậy tập tín hiệu trên là không gian tín hiệu trực giao.

 Dùng kết quả phần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t)
trong khoảng t1<t<t1+T0
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑
1 0
0
1
t +T
-jnω t
n t
0
1D = f(t)e dt
T ∫
với
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

 Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn:
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑
1 0
0
1
t +T jnω t
n t
0
1D = f(t)e dt
T
−
∫vớiTa có:
chỉ đúng trong khoảng t1<t<t1+T0. Trên toàn trục thời gian:
0jnω t
n
n=
(t)= D eϕ
∞
−∞
∑ 0 0jnω (t+T )0 n
n=
(t+T )= D e (t)ϕ ϕ
∞
−∞
⇒ =∑
Suy ra chuỗi Fourier biểu diễn cho tín hiệu tuần hoàn. Tóm lại, 
nếu f(t) tuần hoàn với chu kỳ T0 sẽ được biểu diễn bởi chuỗi
Fourier như sau:
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑ 0
0
jnω t
n T
0
1D = f(t)e dt
T
−
∫ 0 0
2
ω T
pi
=
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

 Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hoàn như hình vẽ
1
1
T 1
0
-T
2T1 1D = dt
T T 3
= =∫
1
1 10 0
11
T Tjnω t jnω t
n T-T
0
1 1D = e dt e
T jnω T
− −
−
=
−
∫ 0 1 0 1jnω T jnω T
1 (e e )j2npi
−
= −
−
0 1
1
sin(nω T )
npi
=
1 n
sin
n 3
pi
pi
 
=  
 
1 n
sinc
3 3
pi 
=  
 
0jnω t
n=
1 nf(t)= sinc e
3 3
pi∞
−∞
 
 
 
∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

 Chuỗi Fourier lượng giác: trong trường hợp f(t) là tín hiệu thực
*f(t)=f (t) 0jnω t
n
n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑ 0jnω t*n
n=
D e
∞
−
−∞
= ∑ 0jnω t* n
n=
D e
∞
−
−∞
= ∑
n nD D
∗
−
=
*
n nD D−=
chuỗi Fourier được viết lại như sau:
0 0jnω t jnω t
0 n n
n=1
f(t)=D (D e D e )
∞
−
−
+ +∑ 0 0jnω t jnω t*0 n n
n=1
=D (D e D e )
∞
−+ +∑
0 n 0 n
n=1
f(t)=C C cos(nω t+θ )
∞
+∑
0 0 n n n nC =D ; C =2|D |; θ D= ∠
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

 Phổ của tín hiệu tuần hoàn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần
hoàn thành tổng các thành phần tần số. Phân bố giá trị của các
thành phần trên thang tần số gọi là phổ tần số (thường gọi là phổ)
tín hiệu. Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổ biên độ và
phổ pha.
0jnω t
n=
1 nf(t)= sinc e
3 3
pi∞
−∞
 
 
 
∑Xét ví dụ trước:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

 Các tín hiệu tuần hoàn có năng lượng trong 1 chu kỳ hữu hạn đều
có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier (Dn hữu hạn & năng lượng sai
số bằng 0). Thực tế f(t) & chuỗi Fourier sẽ không có sự phân biệt
đối với các hệ thống vật lý vì chúng đáp ứng trên cơ sở năng lượng

 Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụ về giá trị trung bình tại
điểm gián đoạn
 Điều kiện 1: Dn hữu hạnT |f(t)|dt<∞∫
f(t)=1/t; 0<t 1≤ Không thỏa điều kiện 1 
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
 Điều kiện 2: có số cực đại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ
Ex: f(t)=sin(2 /t); 0<t 1pi ≤ Thỏa ĐK 1 nhưng không thỏa 2 
 Điều kiện 3: có số điểm gián đoạn và giá trị gián đoạn là hữu hạn
trong 1 chu kỳ
Không thỏa ĐK 3 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

 Hiện tượng Gibbs: phát hiện: nhà vật lý Michelson  giải thích: 
nhà toán học Gibbs
9%9%9%
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

 Tính tuyến tính:
1 1n
2 2n
f (t) D
f (t) D
↔
↔ 1 1 2 2 n 1 1n 2 2n
f(t)=k f (t)+k f (t) D =k D k D↔ +

 Phép dịch thời gian:
nf(t) D↔ 0 0jnω t0 nf(t t ) e D−− ↔

 Phép đảo thời gian:
nf(t) D↔ nf( t) D−− ↔

 Phép tỷ lệ thời gian:
nf(t) D↔ 0jnaω tn nf(at) D ; f(at)= D
n
e
∞
=−∞
↔ ∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

 Nhân 2 tín hiệu:
1 1n
2 2n
f (t) D
f (t) D
↔
↔ 1 2 n 1n 2(n-k)k=
f(t)=f (t)f (t) D = D D
∞
−∞
↔ ∑

 Liên hiệp phức:
nf(t) D↔ * * nf (t) D−↔

 Định lý Parseval :
2 2
f nT
n=
1P |f(t)| dt= |D |
T
∞
−∞
= ∑∫
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

 Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung là h(t)
và f(t) là tín hiệu tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó có thể
biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier là tổng của các thành phần TS ejnωot
0jnω t
n
n=
f(t)= D e
∞
−∞
∑
0jnω t
n
n=
y(t)=f(t) h(t)= D [e h(t)]
∞
−∞
∗ ∗∑
0jnω (t τ)
n
n=
y(t)= D h(τ)e dτ
∞
∞
−
−∞
−∞
∑ ∫ 0 0
jnω τ jnω t
n
n=
= D h(τ)e dτ e
∞
∞
−
−∞
−∞
 
  ∑ ∫
0jnω t
n 0
n=
y(t)= D H(nω )e
∞
−∞
∑ jωtH(ω)= h(t)e dt∞ −
−∞
∫
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

 Nhận xét về đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu tuần hoàn
 y(t) cũng được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier với các hệ số là
DnH(nω0)  y(t) là tín hiệu tuần hoàn cùng tần số với f(t)
 Các thành phần tần số khác nhau của f(t) khi qua HT LTI sẽ bị thay
đổi khác nhau về biên độ và pha tùy thuộc vào H(ω)  HT LTI
đóng vai trò là một bộ chọn lọc tần số; H(ω): đáp ứng tần số.

 Ví dụ: xác định chuỗi Fourier của ngỏ ra HT LTI có đáp ứng xung
h(t)=e-2tu(t) với ngõ vào f(t) như ví dụ phần 3.3.1 có T=pi
jωt; H(ω)= h(t)e dt∞ −
−∞
∫0
jnω t
n=
1 nf(t)= sinc e
3 3
pi∞
−∞
 
 
 
∑
1
2+jω=
j2nt
n=
1 nf(t)= sinc e
6(1+jn) 3
pi∞
−∞
 
 
 
∑