Signal & Systems - Lecture 4 - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-2: Hệ thống tuyến tính bất biến (LTI)
Lecture-4 
2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống
2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Kv(t) f(t)
m
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

 Trên thực tế tồn tại rất nhiều hệ thống mô tả bởi PTVP hệ số hằng
 Ví dụ: phương trình xác định mối quan hệ của vận tốc và lực kéo
tác dụng lên xe
dv(t)
m +Kv(t)=f(t)
dt
m=1000kg; K=300N/(m/s)Giả sử: dv(t)1000 +300v(t)=f(t)
dt
⇒
n n-1 m m-1
n-1 1 0 m m-1 1 0n n-1 m m-1
d y(t) d y(t) dy(t) d f(t) d f(t) df(t)
+a +...+a +a y(t)=b +b +...+b +b f(t)
dt dt dt dt dt dt
 Tổng quát phương trình VP mô tả cho hệ thống có dạng:
k kn m
k kk k
k=0 k=0
d y(t) d f(t)
a b
dt dt
=∑ ∑ na =1; n m≥
n m
k k
k k
k=0 k=0
[ a D ]y(t) [ b D ]f(t)=∑ ∑
Q(D)y(t) P(D)f(t)= Q(D) P(D)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

 Đáp ứng tự do: đáp ứng bởi các tác nhân nội tại bên trong hệ thống,
thường là do năng lượng tích trữ & tín hiệu vào

 Đáp ứng cưỡng bức (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào của
hệ thống

 Giải phương trình để xác định đáp ứng: thường dùng phương pháp
tích phân kinh điển: tổng của 2 đáp ứng tự do & cưỡng bức

 Ví dụ: dv(t)1000 +300v(t)=f(t)
dt
3dv(t) +0.3v(t)=10 f(t)
dt
−⇔
 Bước 1: xác định đáp ứng cưỡng bức vcb(t)=Ke-2t khi t>0
2tf(t)=5000e u(t)−Với:
2t 2t 2t
-2Ke 0.3Ke 5e− − −+ = K= 2.94⇒ − 2tcbv (t)= 2.94e−⇒ −
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
 Bước 2: xác định đáp ứng tự do vtd(t)  giải pt thuần nhất
td
td
dv (t)
+0.3v (t)=0
dt
Phương trình đặc trưng: +0.3=0 = 0.3λ λ⇒ −
0.3t
td 1v (t)=K e−⇒
 Bước 3: xác định đáp ứng tổng cộng
0.3t 2t
td cb 1v(t)=v (t)+v (t)=K e 2.94e− −⇒ −

 Điều kiện đầu: HT LTI nhân quả HT phải ở trạng thái nghỉ
n-1
n-1
dy(0) dy (0)y(0)= ... 0
dt dt
= = =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Áp dụng cho ví dụ trước ta được v(0)=0 1K 2.94 0⇒ − =
1K 2.94⇒ = 0.3t 2tv(t)=2.94(e ); t>0e− −⇒ −
0.3t 2tv(t)=2.94(e )u(t)e− −⇒ −
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống
a) Phương pháp tính trực tiếp
b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
a) Phương pháp tính trực tiếp

 Xét hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi PTVP
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
a) Phương pháp tính trực tiếp

 Trình tự xác định h(t): 
n 1
a a
a n 1
dh (0 ) dh (0 )h (0 )= ... 0
dt dt
− − −
−
−
= =
 Bước 1: xét phương trình aQ(D)h (t)= (t)δ khi t>0, tức t=0+ trở đi
aQ(D)h (t)=0nên ha(t) là nghiệm của phương trình thuần nhất
các hằng số trong ha(t) sẽ được xác định dùng điều kiện đầu tại t=0+.
 Bước 2: do hệ thống ở trạng thái nghỉ nên
Từ phương trình: aQ(D)h (t)= (t)δ
kn
a
k nk
k=0
d h (t)
a = (t); a 1
dt
δ⇔ =∑
Kết luận: ; k=0  n-1 phải là hàm liên tục tại 0, suy ra:
k-1
a
k-1
d h (t)
dt
k k 1 + k 10
a a a
k k 1 k 10
d h (t) d h (0 ) d h (0 )dt 0
dt dt dt
+
−
− − −
− −
= − =∫
k 1 +
a
k 1
d h (0 ) 0
dt
−
−
⇒ =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
a) Phương pháp tính trực tiếp
Lấy tích phân từ 0- tới 0+ hai vế phương trình:
kn
a
k k
k=0
d h (t)
a = (t)
dt
δ∑
Suy ra:
n0
a
n n0
d h (t)
a dt 1
dt
+
−
=∫
n-1 +
a
nn-1
d h (0 ) 1/ a 1
dt
⇔ = =
Vậy điều kiện đầu để xác định ha(t) là:
n-1 +
a
n-1
d h (0 ) 1
dt
=
k 1 +
a
k 1
d h (0 )
; 0, k=1 n 1
dt
−
−
= → −
 Bước 3: xác định ah(t)=P(D)h (t)

 Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT nhân quả được mô tả bởi PTVP
(D+2)y(t)=(3D+5)f(t)
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)
Sơ đồ hệ thống tính đáp ứng xung theo u(t)
2(D +3D+2)y(t)=Df(t)
Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT được mô tả bởi PTVP:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống

 Đa thức đặc trưng của hệ thống: n n-1n-1 1 0Q(λ)=λ +a λ +....a λ+a

 Nghiệm của Q(λ)=0 quyết định tính ổn định của hệ thống:
Img
Real
Re{λ}0
LHP RHP