Signal & Systems - Lecture 3 - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-2: Hệ thống tuyến tính bất biến (LTI)
Lecture-3 
2.1. Giới thiệu
2.2. Hệ thống LTI: tích chập
2.3. Các tính chất của hệ thống LTI
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.1. Giới thiệu

 Trong môn học này ta tập trung khảo sát hệ thống LTI:
 Nhiều hệ thống vật lý thực tế có tính LTI
 Hệ thống LTI thỏa nguyên lý xếp chồng & bất biến: biểu diễn
tín hiệu vào thành tổng các tín hiệu cơ bản (hoặc phiên bản trễ) 
 đáp ứng của hệ thống một cách dễ dàng. 

 Các ví dụ về biểu diễn tính hiệu thành tổng các tính hiệu cơ bản:
 Biểu diễn tính hiệu thành tổng của các xung đơn vị
 Biểu diễn tính hiệu thành tổng các tính hiệu hàm mũ phức:
chuỗi Fourier, biến đổi Fourier, biến đổi Laplace

 Trong chương này ta khảo sát việc biểu diễn tín hiệu thành tổng các
xung đơn vị để tính đáp ứng của hệ thống dùng khái niệm đáp ứng
xung của hệ thống và tích chập.
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2. Hệ thống LTI: Tích chập
2.2.1. Biểu diễn tín hiệu thành tổng các xung đơn vị
2.2.2. Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.1. Biểu diễn tín hiệu thành tổng các xung đơn vị

 Định nghĩa xung δ∆(t):
1 ; 0<t<(t)=
0; otherwise
τ τδ ∆∆
∆


0
lim (t)= (t)
τ
δ δ∆∆ →⇒

 Biểu diễn gần đúng f(t) dùng δ∆(t):
~
n
f (t)= f(n ) (t n )τ δ τ τ
+∞
∆
=−∞
∆ − ∆ ∆∑

 Biểu diễn f(t) thành tổng các δ(t):
~
0
f (t)= lim f (t)
τ∆ →
f (t)= f( ) (t )dτ δ τ τ+∞
−∞
−∫⇒
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2. Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập

 Đáp ứng xung của hệ thống LTI: là đáp ứng của hệ thống với δ(t)
Ví dụ: (a) hệ thống đơn vị y(t)=f(t)  h(t)=δ(t) 
(b) hệ thống có phương trình: t
-
y(t)= f ( )dτ τ
∞
∫

t
-
h(t)= ( )d u(t)δ τ τ
∞
=∫

 Đáp ứng của hệ thống LTI với xung δ∆(t):
0
lim h (t)=h(t)
τ
∆∆ →
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2. Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập

 Đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu gần đúng của f(t)
~
n
f (t)= f(n ) (t n )τ δ τ τ
+∞
∆
=−∞
∆ − ∆ ∆∑Với:
Do hệ thống LTI nên:
~
n
y(t)= f(n )h (t n )τ τ τ
+∞
∆
=−∞
∆ − ∆ ∆∑
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2. Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập

 Đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu vào f(t)
~
0
f(t) lim f (t)= f( ) (t )d
τ
τ δ τ τ+∞
−∞∆ →
= −∫Ta có:
Suy ra:
~
0 0
n
y(t)= lim y(t)= lim f(n )h (t n )
τ τ
τ τ τ
+∞
∆∆ → ∆ →
=−∞
∆ − ∆ ∆∑
⇒ y(t) f( )h(t )dτ τ τ+∞
−∞
= −∫ y(t) f(t) h(t)= ∗⇔ (tích chập)

 Trong phân tích và thiết kế người ta hay biểu diễn mô hình hệ
thống LTI theo tích chập với đáp ứng xung h(t) 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2. Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập

 Tính tích chập: f(t) h(t)= f( )h(t )dτ τ τ+∞
−∞
∗ −∫
(Lưu ý: ta sẽ tính tích phân trên tính theo thang thời gian τ còn t là
tham số cũng chính là biến thời gian của kết quả)
 Xác định h(t-τ) theo biến τ:
 Nhân f(τ) với h(t-τ)
 Lấy tích phân trên toàn thang τ
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2. Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập

 Ví dụ: cho f(t)=e-atu(t); a>0 là ngỏ vào của hệ thống LTI có đáp
ứng xung h(t)=u(t). Xác định đáp ứng y(t) của hệ thống?
f(t) h(t)=0∗
t
a at1
a0
f(t) h(t)= e d (1-e )τ τ− −∗ =∫
at1
a
y(t)=f(t) h(t)= (1-e )u(t)−∗
t<0
t>0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.3. Các tính chất của hệ thống LTI

 Tính giao hoán: 
+
y(t)=f(t) h(t)= f ( )h(t )dτ τ τ∞
−∞
∗ −∫
Đặt: 1 tτ τ= − 1tτ τ⇒ = − 1d dτ τ⇒ = −
1 1 1 1 1 1
+
y(t)= f (t )h( )d h( )f(t ) =h(t) f(t)dτ τ τ τ τ τ−∞ ∞
∞ −∞
⇒ − − = − ∗∫ ∫

 Tính phân phối: 1 2 1 2y(t)=f(t) [h (t)+h (t)]=f(t) h (t)+f(t) h (t)∗ ∗ ∗
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.3. Các tính chất của hệ thống LTI

 Tính kết hợp: 1 2 1 2y(t)=[f(t) h (t)] h (t)=f(t) [h (t) h (t)]∗ ∗ ∗ ∗

 Hệ thống LTI không nhớ: h(t)=Kδ(t)
y(t)=f(t) h(t)=f(t) K (t)=Kf(t)δ⇒ ∗ ∗

 Tính khả ngịch: ta dễ dàng chứng minh được hệ thống nghịch đảo
của một hệ thống LTI cũng là hệ thống LTI. Do đó hệ thống LTI
khả nghịch khi tồn tại hi(t) sao cho ih(t) h (t)= (t)δ∗
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.3. Các tính chất của hệ thống LTI

 Tính nhân quả: hệ thống LTI nhân quả khi h(t)=0 khi t<0
+ +
0
y(t)=f(t) h(t)= f ( )h(t )d h( )f(t )dτ τ τ τ τ τ∞ ∞
−∞
⇒ ∗ − = −∫ ∫

 Tính ổn định: giả sử tín hiệu vào bị chặn |f(t)|≤B
+ +| y(t)|=|f(t) h(t)|=| f ( )h(t )d | | h( )f(t )d |τ τ τ τ τ τ∞ ∞
−∞ −∞
⇒ ∗ − = −∫ ∫
+| y(t)| |h( ) || f(t )|dτ τ τ∞
−∞
⇒ ≤ −∫
+| y(t)| |h( ) | dB τ τ∞
−∞
⇒ ≤ ∫
Vậy hệ thống LTI ổn định khi:
+ |h( ) | dτ τ∞
−∞
≤ ∞∫

 Đáp ứng của hệ thống LTI với u(t): 
+ t
s(t)=u(t) h(t)= h( )u(t )d h( )dτ τ τ τ τ∞
−∞ −∞
∗ − =∫ ∫
ds(t)h(t)=
dt
⇒