Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian Lớp 12 - Nguyễn Hoài Điệp

 hình thang, , và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có
Suy ra
Ghi chú: 
1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ 2: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
Giải:
Ta có
 Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được 
Gọi H là trung điểm của AD ta có mà nên . 
Do đó 
Vậy: (đvtt)
Ví dụ 3: 
Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và DA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
Giải:
Ta có 
AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có
Tương tự 
Do đó VD.AMN = .VD.ABC =.VD.ABC. Suy ra VA.BCMN = .VD.ABC 
Mà VD.ABC = . 
Vậy VA.BCMN = (đvtt)
Ghi chú: 
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây 
( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
Ví dụ 4: 
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, 
AD = a, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.
Giải:
N
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó
nên (1)
Mặt khác 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Mà . Vậy (đvtt)
Ví dụ 5: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Giải:
Từ giả thiết ta tính được . Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.
Ta có 	
 (đvtt)
Ví dụ 6: 
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SB = 2a, SC = a. Các cạnh ở đỉnh S hợp với nhau một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giải:
Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm A’ và B’ sao cho .
Khi đó, SA’B’C là hình tứ diện đều cạnh bằng a.
Nên (đvtt)
Ta lại có: 
Suy ra (đvtt)
* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có . Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: 
Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a
ĐS: 
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP
	ĐS: 
2.3.3- DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG 
 CÁCH
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: 
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải :
Ta có AB2 + AC2 = BC2 
Do đó 
Mặt khác CD = , BD = BC = 5
Nên cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
Vậy 
Ví dụ 2: 
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD)
Giải:
Ta có 
 vuông tại A và AH là đường cao nên 
Ta có 
Vậy 
Mà . 
 vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),
do đó . Vậy 
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
Giải:
Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
Ta có 
Ta có 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có 
Hơn nữa , nên ta được AE 
Mà AE = , vuông tại B nên 
 vuông tại B nên 
Do đó 
Vậy: 
Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính 
Ví dụ 4: 
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
Giải:
Theo giả thiết ta có A’H (ABC). 
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = BC = a. vuông tại H nên ta có 
Do đó . 
Mặt khác 
Suy ra 
Ta có 
Vì vuông tại A’
Suy ra B’H = . cân tại B’. Gọi K là trung điểm của BH, ta có . Do đó 
Suy ra 
Vậy 
* Bài tập tham khảo :
Bài 1: 
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)
ĐS: 
Bài 2: 
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS: 
Bài 3: 
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS: 
Bài 4: 
Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
ĐS: 
3. Hiệu quả giải pháp
3.1. Thời gian áp dụng hoặc áp dụng thử của giải pháp
Từ tháng 9 năm 2015 đến tháng 12 năm 2015, tiến hành áp dụng thử nghiệm.
Từ tháng 8 năm 2016 đến nay, tiếp tục áp dụng thử nghiệm.
 Phân tích số liệu thực nghiệm và rút ra kết luận.
3.2. Hiệu quả đạt được hoặc dự kiến đạt được: 
Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích trong một số bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học sinh các lớp kết quả như sau:
Năm học
Lớp
Sĩ số
Số học sinh giải được
Trước khi thực hiện đề tài
Sau khi thực hiện đề tài
2015-2016
12A7
33
7
25
12A9
31
5
21
2016-3017
12A10
30
9
25
12A11
31
10
27
3.3. Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT ở các trường THPT.
3.4. Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp
	Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là tỉ số thể tích, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường.
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị
4.1. Kết luận: 
	Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, các em học sinh hiểu được bài và vận dụng giải quyết được các bài toán tương tự.
4.2. Đề xuất, kiến nghị: 
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT ở các trường THPT. Kính mong sự đóng góp ý kiến của các đồng chí chuyên viên có trách nhiệm thẩm định đề tài và các đồng nghiệp bổ khuyết. Đồng thời đề nghị nhà trường, tổ chuyên môn có kế hoạch triển khai áp dụng giải pháp đến học sinh lớp 12 của trường.
CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là giải pháp do tôi dựa trên các tài liệu tham khảo và thực tế giảng dạy viết ra.
	Châu Đức, ngày 20 tháng 10 năm 2016
	Người viết
	Nguyễn Hoài Điệp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa: Hình học 12, Hình học 12 (nâng cao)
Sách giáo viên: Hình học 12, Hình học 12 (nâng cao)
Giải toán hình học 12, tác giả: Trần Thành Minh (chủ biên)
Tuyển tập các đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2002 – 2012 – NXB Giáo Dục
Phương pháp giảng dạy môn Toán, tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TỈNH
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................