Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán bằng phương pháp véc tơ

c tơ: và thì không thỏa mãn BĐT: nên phải chọn và thì khi đó áp dụng bất đẳng thức , ta có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng (k>0 do cả 2 véc tơ cùng khác ) Vậy pt có nghiệm duy nhất x =
Ví dụ 2:  Giải phương trình:  
 Giải: Điều kiện:  
 Đặt  , 
 Theo BĐT véc-tơ: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng (k>0 do cả hai véc tơ cùng khác ) 
	  (*) Dễ thấy  không thỏa mãn hệ (*)
Với  , rút k từ phương trình đầu  , thay vào phương trình thứ hai của (*) ta được:  (**)
 Với không là nghiệm của (**)(vì VP=1>0),
 Với khi đó hai vế của (**) không âm, bình phương hai vế ta được phương trình tương đương: 
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt:  
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  (I)
Giải: Điều kiện:  Đặt , 
Theo BĐT véc-tơ:  
 (Do )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng (k>0 do cả 2 véc tơ cùng khác )  
Suy ra x=y, thế vào phương trình đầu của hệ ta được x=y=3
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (3;3).
 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  (I)
 Giải: Điều kiện: 	 Đặt: , 
Theo BĐT véc-tơ:  
Do  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng (k>0 do cả 2 véc tơ cùng khác ) tức là:  , Thế vào phương trình đầu của hệ ta được: thỏa mãn ĐK
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (3;5)
RÚT RA CHÚ Ý: Thông qua một số ví dụ ở trên có thể thấy rằng việc sử dụng phương pháp véc-tơ để giải phương trình-Hệ phương trình cho ta lời giải "sáng", "đẹp", giảm nhẹ việc biến đổi và tính toán, nhanh chóng cho ra kết quả, thể hiện sự linh hoạt-sáng tạo trong tư duy toán. Đặc biệt đối với bài toán giải phương trình-hệ phương trình vô tỉ thì phương pháp này là một công cụ mạnh, do đó ta cần chú ý sử dụng “phương pháp véc-tơ” khi gặp dạng toán giải phương trình và hệ pt chứa căn thức.
*Bài tập: Giải phương trình và hệ:
1)  
2) 
3)  
4) 
5)     (I) (Đại học An Ninh-Khối A-2000)
Đáp số: 1) x=1; 
d. Chỉ ra những khó khăn sai lầm của học sinh gặp phải khi giải toán hình học phẳng bằng PPVT:
 PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm và lúng túng trong khi giải toán HH lớp 10 và giải pt, hệ pt chứa căn thức.
 Các em nhầm lẫn giữa véc tơ và đoạn thẳng, góc giữa hai véc tơ và góc giữa hai đường thẳng,
 Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: . Với bài toán trên, nhiều học sinh đã bị học sinh đã hiểu bài toán này như sau: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: . Vì hiểu sai bài toán, dẫn đến khó khăn trong quá trình tìm lời giải bài toán.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với . Tính , tính góc A, và góc giữa hai đường thẳng AB và AC. 
Có học sinh giải bài toán này như sau: 
Ta có nên số đo của góc A là , góc giữa hai đường thẳng AB, AC là 
Lời giải 2:Ta có nên 
Do đó : góc A có số đo 120 độ. Góc giữa hai đường thẳng AB, AC là 120 độ. 
Bài trên học sinh giải sai do chưa nắm vững các kiến thức về véc tơ, có nhầm lẫn giữa véc tơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc giữa hai véc tơ với góc giữa hai đường thẳng (không hiểu, không học kỹ định nghĩa).
Lời giải đúng như sau: Ta có nên . Góc , góc giữa hai đường thẳng AB, AC là.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng véc tơ để giải toán hình học lớp 10 là học sinh phải gần như thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ, (ít vẽ hình minh họa nếu không cần thiết), nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán. Vì học sinh có thói quen giải bài toán hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT để giải một số bài tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Đặt . Lấy các điểm A’, B’ sao cho . Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy biểu thị véc tơ theo hai véc tơ 
Học sinh đã giải bài toán như sau: 
Ta có nên . 
Tương tự: . Gọi I chia đoạn AB’ theo tỷ số ,
 do B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l‎ Menêlaúyt ta có
 hay 
.
Nhìn kết quả và quá trình làm bài có vẻ lôgic và hoàn hảo.
Phân tích sai lầm: Trong quá trình giải, do thoát ly khỏi hình vẽ nên HS
đã xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm trong tam giác ABC.Mặc dù kết quả đúng cuối cùng đúng, nhưng lời giải này vẫn chưa chính xác, vì đã “thu hẹp” điều kiện của m, n là: m > 0, n > 0. Mặt khác, HS đã xác “định” nhầm: từ tỉ số , đã suy ra ngay điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số , và cũng làm tương tự như thế với điểm A’.
Lời giải đúng của bài toán này như sau: 
 Vì I thuộc A’B và AB’ nên có các số x và y thỏa mãn : hay .
Vì hai véc tơ không cùng phương nên : 
và kết quả như đã biết .
Học sinh thường gặp khó khăn chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ hình học véctơ và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách nói thông thường sang dạng véctơ để có thể vận dụng công cụ véctơ trong giải toán.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Điểm K chia trung tuyến AD theo tỉ số 
Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào?
Nhận xét: Trong đề ra không có “bóng dáng” của khái niệm véctơ, học sinh sẽ lúng túng khi phải có tư duy chuyển bài toán sang dạng véctơ và khó xác định được cách giải bài tập này là gì. Vì vậy giáo viên cần phải gợi ý cho các em biết suy nghĩ và lựa chọn cách chuyển bài toán trên sang ngôn ngữ véctơ (Ví dụ: để biết đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào thì cần phải tìm xem điểm F chia đoạn thẳng AC theo tỉ số nào, với F là giao điểm của BK và AC)
Phương pháp dùng véc tơ để giải toán hình học lớp 10 có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập. Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán: lần đầu tiên làm quen với đối tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép toán trên các véctơ lại có nhiều tính chất tương tự như đối với các số mà học sinh đã học trước đó, do đó vì học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Sáng kiến này được áp dụng trong quá trình giảng dạy của bản thân tôi trong chuyên đề “Sử dụng phương pháp véc tơ để giải các bài toán” cho các khóa học sinh 2009-2012; 2012-2015 và 2015-2018 mà tôi trực tiếp giảng dạy; đồng thời tôi và đồng nghiệp của tôi cũng dùng vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh những năm gần đây cho học sinh trường THPT Ba Đình. Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp đã nghiên cứu tôi thấy kỹ năng giải toán hình học và giải pt, hệ pt bằng phương pháp véc tơ của các em được nâng lên rõ rệt (lớp 12E,12G khóa 2012-2015 và lớp 10G khóa 2015-2018 đã có 50% vận dụng thành thạo PPVT, 30% học sinh biết vận dụng , chỉ còn 20% các em lúng túng khi gặp dạng này, SKKN này đã góp hần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung cho nhà trường. 
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
 Qua những vấn đề trình bày ở trên tôi rút ra một số kết luận sau:
1. Để rèn luyện kỹ năng giải toán, góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh cần đưa ra một hệ thống bài tập đa dạng, hợp lí, được sắp xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy và biết áp dụng toán học vào thực tiễn.
2. Sáng kiến đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải của bài toán theo bốn bước trong lược đồ của Pôlya.
3. Sáng kiến đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập bằng PPVT với nội dung phong phú đã đề cập được tới hầu hết các tình huống điển hình mà học sinh hay gặp khi giải toán HH phẳng và giải pt, hpt bằng PPVT. Đáp ứng được nhu cầu tự học, tự nghiên cứu của học sinh, có tác dụng rèn luyện năng lực giải toán cho hs THPT.
4. Kết quả thu được qua thử nghiệm đã chứng tỏ cho tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp mà sáng kiến đề cập tới. SKKN này sẽ tiếp tục được áp dụng trong quá trình giảng dạy của các đồng nghiệp tổ Toán- Tin trường PT Ba Đình những năm tiếp theo. Sáng kiến đã góp được phần nào trong việc nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT Ba Đình. 
Với kinh nghiệm còn ít của mình chắc chắn sáng kiến này còn nhiều thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để bản sáng kiến được đầy đủ và có ý nghĩa thiết thực hơn. Đồng thời đây cũng là vấn đề mà tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm.
Kiến nghị: Đề nghị với Sở GD&ĐT Thanh Hóa tăng thêm mức thưởng cho những SKKN đạt giải cấp tỉnh để kịp thời động viên khích lệ cán bộ giáo viên tiếp tục phát huy tính sáng tạo, đưa ra nhiều kinh nghiệm để ngày càng nâng cao chất lượng giáo dục tỉnh nhà.
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán bồi dưỡng học sinh Hình Học 10, NXB Hà Nội: Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tôn, Đặng Quan Viễn (1996).
2. Phương pháp dạy học môn toán ở trường THP, NXB Giáo Dục của Hoàng Chúng (1997),.
3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng phương pháp véc tơ chương trình hình học 10, chương I+II nâng cao, Luận văn thạc sỹ của Lê Thị Thu Hà (2007).
4. Kiểm tra đánh giá thường xuyên và định kỳ môn toán lớp 10 (2008), NXB Giáo Dục của Nguyễn hải Châu, Nguyễn Thế Thạch.
5. Nguyễn Phương Anh, Hoàng Xuân Vinh (2006), Luyện tập trắc nghiệm Hình Học 10, NXB Giáo Dục .
6. Sai lầm phổ biến khi giải toán, NXB Giáo Dục của Nguyến Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997),
7. Rèn luyện năng lực giải toán của học sinh THPTcủa Bùi Mai Anh (2002).
Luận Văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại Học Sư Phạm I Hà Nội, Hà Nội.
 8. Sáng tạo toán học - G.Polya , NXB Giáo Dục – 1997
 9. Tuyển chọn 400 bài toán Hình Học 10, Hà Văn Chương (2006), NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
10. Tài liệu chuyên đề về giải pt, hệ pt chứa căn thức, bài báo trên internet, Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Tạp trí Giáo dục và thời đại, SKKN của đồng nghiệp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2016
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Hoàng Thị Uyên