Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức

 − 1 + 2𝑖)(𝑧 + 3𝑖 − 1)| 
|(𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 − 1 − 2𝑖)| = |(𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 + 3𝑖 − 1)| 
|𝑧 − 1 + 2𝑖|(|𝑧 − 1 − 2𝑖| − |𝑧 − 1 + 3𝑖|) = 0 
 [
𝑧 = 1 − 2𝑖 (1)
|𝑧 − 1 − 2𝑖| − |𝑧 − 1 + 3𝑖| (2)
• Với (1), ta có |𝑤| = 1 
• Với (2), ta có đường thẳng chứa các điểm biểu diễn của z có phương trình 
là 𝑦 = −
1
2
. Do đó |𝑤| có giá trị nhỏ nhất bằng với khoảng cách từ điểm 
(2; -2) đến đường thẳng nên |𝑤| ≥
3
2
Kết luận: |𝑤|𝑚𝑖𝑛 = 1. Đáp án C 
Bài 4: Nếu số phức z ≠ 3 và |𝑧| = 3 thì phần thực của 
1
3−𝑧
 bằng 
A. 
1
3
 B. 
1
6
 C. 6 D. 3 
Hướng dẫn: 
Cách 1: Tự luận Re (
1
3−𝑧
) =
1
2
(
1
3−𝑧
+
1
3−�̅�
) =
1
2
(
6−𝑧−�̅�
9−3(𝑧+�̅�)+𝑧�̅�
) =
1
6
 đáp án B 
Cách 2: Chọn z = -3 thay vào ta có ngay kết quả 
1
6
Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và |𝑎 − 𝑏| = 2. 
1. Tính |𝑎|2 + |𝑏|2 
A. 52 B. 56 C. 28 D. 48 
2. Tìm GTLN của M =|𝑎| + |𝑏|. 
A. 2√26 B. √56 C. √26 D. 
√56
4
Hướng dẫn: 
1. 𝑎 + 𝑏 = 8 + 6𝑖 �̅� + �̅� = 8 − 6𝑖 𝑎. �̅� + 𝑏. �̅� + 𝑎. �̅� + 𝑏. �̅� = 100 
|𝑎 − 𝑏| = 2 (𝑎 − 𝑏)(�̅� − �̅�) = 4 𝑎. �̅� + 𝑏. �̅� − 𝑎. �̅� − 𝑏. �̅� = 4 
Cộng các vế ta có: |𝑎|2 + |𝑏|2 = 52. Đáp án A 
2. Theo câu 1, ta có |𝑎|2 + |𝑏|2 = 52 ≥
1
2
(|𝑎| + |𝑏|)2 |𝑎| + |𝑏| ≤ 2√26 
Cách khác: chọn a = 5 + 3i, b = 3 + 3i, thì a, b thỏa mãn 2 điều kiện trên và 
|𝑎| + |𝑏| = √24 + √18 lớn hơn √56,√26,
√56
4
. Đáp án A 
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN 
của biểu thức 𝑃 = |𝑧 + 1| + |𝑧2 − 𝑧 + 1|. Tính giá trị của M.m 
A. 
13√3
4
 B. 
39
4
 C. 3√3 D. 
13
4
Hướng dẫn: Đặt z = x + yi, ta có x2 + y2 = 1 hay y2 = 1 – x2 và −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
DAYHOCTOAN.VN 
DAYHOCTOAN.VN 16 
 𝑃 = √(𝑥 + 1)2 + 𝑦2 +√(2𝑥2 − 𝑥)2 + 𝑦2(2𝑥 − 1)2 =√2𝑥 + 2 + |2𝑥 − 1| 
Sử dụng máy tính cầm tay: chức năng 
Ta thấy: 
f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên 
f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên 
Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A 
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 − 3 − 4𝑖| = √5. Gọi M và m lần lượt là GTLN 
và GTNN của biểu thức 𝑃 = |𝑧 + 2|2 − |𝑧 − 𝑖|2. 
Tính modul của w = M + m.i 
A. |𝑤| = 2√314 B. |𝑤| = √1258 C. |𝑤| = 3√137 D.|𝑤| = 2√309 
Hướng dẫn: Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn 
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 
Ta có: P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23 
 P - 23 = 4(x – 3) + 2(y – 4)  (𝑃 − 23)2 ≤ (42 + 22)((𝑥 − 3)2 +
(𝑦 − 4)2) = 100 13 ≤ 𝑃 ≤ 33 𝑤 = 33 + 13𝑖 |𝑤| = √1258 . Đáp án B. 
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN 
của biểu thức 𝑃 = |𝑧3 + 3𝑧 + 𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅|. Tính M + m 
A. 
7
4
 B. 
13
4
 C. 
3
4
 D. 
15
4
Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z bằng 
biến đổi sau: 
𝑇ừ |𝑧| = 1 |𝑧̅| = 1. Ta có 𝑃 = |𝑧3 + 3𝑧 + 𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅| = |𝑧̅||𝑧3 + 3𝑧 +
𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅|= |𝑧2 + 3 + 𝑧̅2| − |𝑧 + 𝑧̅| = 4x2 - 2|𝑥| + 1 
Dùng máy tính cầm tay , ta thấy 
Vậy: Min P = 0.75 
DAYHOCTOAN.VN 
DAYHOCTOAN.VN 17 
Vậy: Max P = 3 
Vậy M + m = 
15
4
. Đáp án D 
Bài 9: Cho các số phức a, b, c thỏa mãn a.b.c = 
1
2
+
√3
2
𝑖. Tính GTNN của biểu 
thức 𝑃 = |𝑎|2 + |𝑏|2 + |𝑐|2 
A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2 C. Pmin = 3 D. Pmin = 4 
Hướng dẫn: 
𝑃 = |𝑎|2 + |𝑏|2 + |𝑐|2 ≥ 3√|𝑎|2. |𝑏|2. |𝑐|2
3
= 3√|𝑎. 𝑏. 𝑐|2
3
= 3. Đáp án C 
Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Tìm GTNN của biểu thức 
 𝑃 = |1 + 𝑧| + |1 + 𝑧2| + |1 + 𝑧3| 
A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2 C. Pmin = 3 D. Pmin = 4 
Hướng dẫn: 
𝑃 = |1 + 𝑧| + |𝑧 + 𝑧̅| + |1 + 𝑧|. |1 − 𝑧 + 𝑧2|
= |1 + 𝑧| + |𝑧 + 𝑧̅| + |1 + 𝑧|. |𝑧 + 𝑧̅ − 1| 
=|𝑧 + 𝑧̅| + |1 + 𝑧|. (|𝑧 + 𝑧̅ − 1| + 1) = 2|𝑥| + √2𝑥 + 2. (|2𝑥 − 1| + 1) 
Dùng máy tính cầm tay ta thấy 
 Min P = 2 khi z = -1. Đáp án B 
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn |
6𝑧−𝑖
2+3𝑖𝑧
| ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của |𝑧| 
A. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| =
1
2
 B. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| =
3
4
 C. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| =
1
3
 D. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| = 1 
Hướng dẫn: |
6𝑧−𝑖
2+3𝑖𝑧
| ≤ 1 |6𝑧 − 𝑖| ≤ |2 + 3𝑖𝑧| |6𝑧 − 𝑖| ≤ |3𝑧 − 2𝑖| 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình tròn: 𝑥2 + 𝑦2 ≤
1
9
. Dễ thấy giá trị lớn 
nhất của |𝑧| là 
1
9
. Đáp án C. 
Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn 
|𝑧 + 1 + 𝑖| = |2𝑧 + 𝑧̅ − 5 − 3𝑖| sao cho biểu thức P = |𝑧 − 2 − 2𝑖| đạt GTNN. 
Tìm phần thực của z. 
DAYHOCTOAN.VN 
DAYHOCTOAN.VN 18 
A. Re(z) = 
8+√7
2
 B. Re(z) = 
8+√2
2
 C. Re(z) = 
4+√6
2
 D. Re(z) = 
12+√2
2
Hướng dẫn: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là parabol: y = (x – 2)2, khi đó 
P = |𝑧 − 2 − 2𝑖| = √(𝑥 − 2)2 + ((𝑥 − 2)2 − 2)2. Để P đạt GTNN thì 
f(t) = t2 – 3t + 4 đạt GTNN  𝑡 =
3
2
 𝑥 − 2 =
√6
2
 𝑥 =
4+√6
2
 . Đáp án C 
Bài 13: Giả sử 
1 2,z z là các số phức khác không, thỏa mãn 
2 2
1 1 2 2 0.z z z z   gọi 
A, B là các điểm biểu diễn tương ứng của 
1 2,z z . Khẳng định nào sau đây đúng 
A. ∆𝑂𝐴𝐵 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑡ạ𝑖 𝐴 C. ∆𝑂𝐴𝐵 đề𝑢 
B. ∆𝑂𝐴𝐵 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝐴 D. ∆𝑂𝐴𝐵 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑂 
Hướng dẫn: 
Ta có 3 3 2 21 2 1 2 1 1 2 2( )( ) 0z z z z z z z z      , suy ra: 
3 33 3
1 2 1 2 1 2z z z z z z OA OB        . 
Lại có 
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )z z z z z z z z z z       nên 
2 2 2
1 2 1 2 .z z z z AB OAOB OA     
 Suy ra AB=OA=OB OAB đều. Đáp án C 
Cách khác: Chọn 𝑧1 =
1
2
+
√3
2
𝑖, 𝑧2 = −
1
2
+
√3
2
𝑖 . Khi đó dễ thấy 
2 2
1 1 2 2 0.z z z z   OA = OB = AB = 1 nên ∆OAB đều. Đáp án C 
Bài 14: Cho số phức 0z  thỏa mãn 3
3
8
9.z
z
  Khẳng định nào sau đây đúng. 
 A. 
2
3z
z
  B. 
2
3z
z
  C. 
2
9z
z
  D. 
2
3z
z
  
Hướng dẫn: Đặt 
2
( 0)a z a
z
   . Ta có: 3 3
3
2 8 2
( ) 6( )z z z
z z z
     . 
Suy ra: 
3
3 3
3
2 8 2
6 9 6a z z z a
z z z
        
 Do đó 3 26 9 0 ( 3)( 3 3) 0a a a a a        
 Vì 2 3 3 0a a   , nên 
2
3a z
z
   . Đáp án A 
Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn |𝑧 − 𝑖| ≥ 3 và |𝑧 − 2 − 2𝑖| ≤ 5. 
Kí hiệu z1, z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có modul lần lượt nhỏ 
nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P = |𝑧2 + 2√2𝑧1|. 
DAYHOCTOAN.VN 
DAYHOCTOAN.VN 19 
A. P = √66 B. P = √33 C. P = 3√2 D. P = 8 
Hướng dẫn: 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |𝑧 − 𝑖| ≥ 3 là 
phần bên ngoài (kể cả biên) của đường tròn tâm I1(0; 1) 
bán kính R1 = 3. 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |𝑧 − 2 − 2𝑖| ≤
5 là phần bên trong (kể cả biên) đường tròn tâm I2(2; 2) 
bán kính R1 = 5. 
Theo hình vẽ ta nhận thấy 
• z1 có modul nhỏ nhất nên điểm biểu diễn của z1 là 
B(0; -2) hay z1 = -2i 
• z2 có modul lớn nhất nên điểm biểu diễn của z1 là 𝐴(5 + 2√2; 5 + 2√2). 
Vậy |𝑧2 + 2√2𝑧1| = √66 . Đáp án A. 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN 
 Tháng 3/2017, trước khi thực hiện việc giảng dạy các phương pháp này tại 
lớp 12A1, tôi đã cho học sinh thử làm một đề trắc nghiệm với nội dung sau: 
Câu 1: Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |𝑧 − 2| + |𝑧 + 2| = 6 là 
đường nào sau đây: 
A. Đường thẳng B. Đường tròn C.Đường parabol D. Đường elip 
Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn |𝑧 − 2 − 4𝑖| = |𝑧 − 2𝑖|. Số phức z có 
modul nhỏ nhất có dạng a + bi, khi đó a + b bằng: 
A. 4 B. 0 C. -4 D. 2 
Câu 3: Gọi D là tập hợp các số phức z thỏa mãn 1
z i
z i



. Khi đó D là: 
A. Trục hoành C. Đường phân giác y = x 
B. Trục tung D. Đường phân giác y = x 
Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn 
của các số phức 1 2 3, ,z z z biết 1 2 3.z z z  Đẳng thức nào sau đây đúng ? 
A. .OA OB OC  B. .OA OC OB  C. .OB OC OA  D. 0.OA OB OC   
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
𝑃 = |𝑧3 − 𝑧 + 2| 
R2=5
B
A
2
2
I1
I2
DAYHOCTOAN.VN 
DAYHOCTOAN.VN 20 
A. 𝑃𝑚𝑎𝑥 =
√11
2
 B. 𝑃𝑚𝑎𝑥 =
√13
2
 C. 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 2√2 D. 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 3√5 
Kết quả thống kê thu được như sau 
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề: 
• Tổ chức cho học sinh học theo nhóm đối tượng, phân chia thành các 
nhóm có trình độ tương đương để thiết kế giáo án phù hợp. 
• Đối với các nhóm học sinh khá giỏi thì hướng dẫn, gợi ý để các em tìm ra 
được nhiều cách giải nhất, sau đó giáo viên bổ sung và tổng hợp. 
• Thực hiện trắc nghiệm khách quan để kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh 
phương pháp học của học sinh cũng như điều chỉnh nội dung bài giảng, 
phương pháp dạy của giáo viên. 
2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy 
Sau khi giảng dạy các kĩ năng và phương pháp trên tại lớp 12A1, cũng kiểm tra 
với 1 đề bài có độ khó tương tự như đề bài đã nêu ở phần 1. thì kết quả thực sự 
khả quan hơn nhiều, nó thể hiện qua thống kê sau: 
Năm học 
Sĩ 
số 
Điểm 9, 10 Điểm 7, 8 Điểm 5, 6 Dưới 5 
SL % SL % SL % SL % 
2016-2017 47 7 15% 30 64% 10 21% 0 0% 
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 
1. Kết luận 
SKKN được viết ra qua nhiều suy ngẫm, đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản 
thân nên nó mang tính thực tiễn cao. Ta có thể thấy rằng còn có thể mở rộng 
phạm vi nghiên cứu của SKKN hơn nữa. Nhưng do sự hạn chế về số lượng trang 
viết của một SKKN, nên tôi chưa thể truyền tải hết những kinh nghiệm còn ấp ủ, 
thai nghén trong đó. Tuy vậy, bài viết nhỏ này cũng thể hiện được tương đối 
nhiều những điều cần thiết nhất. 
Năm học 
Sĩ 
số 
Điểm 9, 10 Điểm 7, 8 Điểm 5, 6 Dưới 5 
SL % SL % SL % SL % 
2016-2017 47 0 0% 5 10,6% 25 53% 17 36,4% 
DAYHOCTOAN.VN 
DAYHOCTOAN.VN 21 
2. Kiến nghị 
* SKKN này chỉ nên áp dụng đối với đối tượng học sinh khá giỏi. 
* SKKN này có thể mở rộng hơn nữa về các dạng toán. 
 Trên đây tôi đã trình bày nội dung SKKN của mình, bài viết chắc chắn còn nhiều 
thiếu sót, rất mong nhận được sự phê bình, góp ý hữu ích của quý vị. 
Tôi xin chân thành cảm ơn và xin cam đoan đây là bài viết của chính 
mình, không sao chép lại SKKN của ai ! 
Thanh Hóa, ngày 20/04/2017 
NHẬN XÉT CỦA CƠ QUAN NGƯỜI VIẾT 
 Trần Mạnh Tường