Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống một số bài toán cực trị trong hình học không gian “Nhằm nâng cao hiệu quả học hình học giải tích của học sinh Lớp 12 trường THPT Nguyễn Du”

 học tọa độ trong không gian. Bởi lẻ, để giải quyết các bài toán này đòi hỏi các em cần phải có một kiến thức vững chắc về hình học không gian.
Trong hệ thống bài tập của chương trình giáo khoa thì có rất ít bài toán về cực trị, đó cũng là một lý do mà làm cho học sinh ít có cơ hội tiếp cận với dạng toán này.
6. Kế hoạch thực hiện:
 Thời gian
Nội dung
Từ tháng 10/2015 đến tháng 12/2015
-Nghiên cứu , đề xuất
- Soạn thảo
Từ tháng 2/2016 đến tháng 5/2016
Áp dụng thử nghiệm, đánh giá và rút kinh nghiệm.
Từ tháng 2/ 2017
Triển khai dạy cho 1 số lớp 12A1, 12A12 (Dự kiến)
PHẦN NỘI DUNG:
 1/ Thực trạng và những mâu thuẫn:
Do thời lượng hạn chế nên trong SGK ít đề cập đến các bài toán về cực trị, nên các em học sinh ít được tiếp xúc và luyện tập các dạng này. Vì thế khi gặp các em thường hay lung túng và gây nhiều khó khăn cho các em.
Tuy nhiên, những bài toán về cực trị lại là những bài toán hay và có phương pháp giải rất lý thú và thường mang lại những cảm giác hưng phấn cho học sinh, từ đó khích lệ được khả năng tìm tòi học hỏi cho các em.
 2/Nội dung: 
 Bài toán 1: Cho hai điểm A, B và mặt phẳng . Tìm điểm M thuộc mp
 sao cho nhỏ nhất.
 Phương pháp: 
 TH: Nếu A, B khác phía đối với mp thì M là giao điểm của AB với mp.
A
B
A’
M
 TH: Nếu A, B cùng phía đối với mp:
 + Lấy A’ đối xứng với A qua mp. 
 Ta có MA’=MA
 + Do đó, MA + MB nhỏ nhất 
 MA’ + MB nhỏ nhất
 M, A’, B thẳng hàng
Ví dụ 1: Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm và . Tìm điểm M thuộc sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Bài giải:
Ta nhận thấy A, B nằm cùng phía đối với . 
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua 
+ Ta có là mặt phẳng trung trực của AA’ nên 
 Nên, MA+MB nhỏ nhất MA’+MB nhỏ nhất (Vì A’,B khác phía đ/v) 
+ Pt đường thẳng (A’B): 
+ Tọa độ M thỏa hệ 
 Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và mp. Tìm M thuộc mp sao cho 
 nhỏ nhất. 
Phương pháp:
+ Tìm điểm I thỏa (I là điểm cố định)
 Khi đó, 
+ Vì không đổi nên nhỏ nhất
 nhỏ nhất
 M là hình chiếu của I lên mp.
Hệ quả: Cho hai điểm A, B và mp. Tìm M thuộc m p sao cho nhỏ nhất.
A
B
I
M
 Phương pháp: 
 + Gọi I là trung điểm của AB.
 Khi đó, 
 + Vì AB không đổi nên nhỏ nhất 
 nhỏ nhất
 M là hình chiếu của I lên mp
 Nhận xét: Bài toán này có thể được mở rộng: Cho n điểm và cho . Tìm M thuộc sao cho nhỏ nhất.
Ví dụ 2a: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho và mp. Tìm M thuộc mp sao cho nhỏ nhất.
Bài giải:
+ Gọi I là trung điểm của AB 
Ta có: 
 Nên nhỏ nhất nhỏ nhất M là hình chiếu của I lên mp
+ Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp
 Pt của (d): 
+ Ta có: 
Ví dụ 2b: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho và mp. Tìm M thuộc mp sao cho nhỏ nhất.
Bài giải:
+ Gọi I là điểm thỏa 
Ta có 
Do đó, nhỏ nhất nhỏ nhất M là hình chiếu của I lên mp
+ Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp
 Pt của (d): 
+ Ta có: 
 Bài toán 3: Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M thuộc (d) 
 sao cho diện tích của có giá trị nhỏ nhất.
A
B
M
H
d
 Phương pháp:
+ Gọi H là hình chiếu của M lên (d)
+ Vì AB không đổi nên nhỏ nhất nhỏ nhất
 là đoạn vuông góc chung của AB và (d).
Ví dụ 3: Cho hai điểm và đường thẳng . Tìm điểm M thuộc (d) sao cho nhỏ nhất.
 Bài giải:
+ Gọi H là hình chiếu của M lên (d) 
 Do đó, nhỏ nhất nhỏ nhất
 là đoạn vuông góc chung của AB và (d).
+ Pt tham số (d) : . Ta có vtcp của d: 
+ Pt tham số (AB): . Ta có vtcp của AB: 
 Vì nên 
 nên 
+ Ta có : Vậy M(2;2;-1)
 Bài toán 4 : Cho và mặt cầu (S) không có điểm chung. Tìm hai điểm 
 M, N lần lượt thuộc mặt cầu (S) và sao cho MN nhỏ nhất.
I
M
N
Phương pháp :
+ Gọi N0 là hình chiếu vuông góc của I lên .
 M0 là giao điểm của IN0 với (S). (M0 thuộc đoạn IN)
+ Lấy 2 điểm tùy ý M, N lần lượt thuộc 
 Khi đó, ta có: 
 Do đó, MN nhỏ nhất khi 
Ví dụ 4: Trong không gian (Oxyz), cho và mặt cầu .Tìm hai điểm M, N lần lượt thuộc mặt cầu (S) và sao cho MN nhỏ nhất.
Bài giải :
Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; 1 ; 1) và bán kính 
Ta có: và mặt cầu (S) không giao nhau.
Vì nên N là hình chiếu của I lên và ,(M thuộc đoạn IN)
+ Pt đt(d) qua I và vuông góc với: 
+ Tọa độ N thỏa 
+ Tọa độ M thỏa 
Với (loại vì M nằm ngoài đoạn IN)
Với .
Bài toán 5: Cho đường thẳng và điểm M nằm ngoài đường thẳng . Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất.
Phương pháp: 
Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng . Suy ra I cố định.
M
I
H
Giả sử mp(P) bất kỳ chứa và H là hình chiếu của M lên mp(P).
Ta có: (MI không đổi)
Do đó, lớn nhất khi H trùng với I.
Tức là, mặt phẳng (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 5a: Cho đường thẳng và điểm M(2; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất.
Giải:
+ Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng . Suy ra I(3; 0; 1).
+ Áp dung bài toán 5, ta có mp(P) nhận là vectơ pháp tuyến.
Tóm lại, mp(P) qua I(3; 0; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến. 
Vậy phương trình của mp(P) là: x -2y + z – 4 = 0.
Ví dụ 5b: Cho mặt phẳng và điểm M(6; -1; 2). Tìm m để khoảng cách từ M đến mặt phẳng là lớn nhất.
Giải:
+ Ta thấy mp luôn chứa đường thẳng cố định là .
+ Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng . Ta tìm được I(2;-3;1).
+ Áp dụng bài toán 5, ta có mp nhận làm vectơ pháp tuyến.
 Mặt khác, là một vectơ pháp tuyến của mp
Từ đó, và cùng phương. Suy ra .
Bài toán 6: Cho mặt phẳng và 1 điểm A thuộc mặt phẳng và điểm B không thuộc mp. Xác định đường thẳng qua A và nằm trong mp sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng là nhỏ nhất.
Phương pháp:
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mp. Suy ra H cố định.
B
K
H
A
+ Giả sử là một đường thẳng bất kỳ qua A, nằm trong mặt phẳng và gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng .
Ta có: (BH không đổi). 
Suy ra nhỏ nhất khi K trùng với H.
Tức là, đường thẳng qua H.
+ Vậy đường thẳng là đường thẳng qua A và H.
Ví dụ 6a:
Cho mặt phẳng và điểm A(-2; 5; 0) thuộc mp. Viết phương trình đường thẳng qua A, nằm trong mp và sao cho khoảng cách từ B(1;0;-1) đến đường thẳng là nhỏ nhất.
Giải:
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mp. Suy ra H(0; 1; 2).
+ Áp dung bài toán 6, ta có đường thẳng qua A và H. 
Tức là, đường thẳng qua A(-2;5;0) và nhận làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình của là: .
Ví dụ 6b: Cho mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0 và 2 điểm A(3; 0; 2), B(1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mp(P) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng là nhỏ nhất.
Giải:
+ Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với (P). 
 Phương trình của mp(Q): x – y – 2z + 1 = 0
B
K
H
A
Q
P
 Vì qua A và song song với mp(P) nên thuộc mặt phẳng (Q).
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mp(Q). Suy ra H(2 ; 1 ; 1).
+ Áp dụng bài toán 6, 
 suy ra là đường thẳng qua A và H.
Vậy phương trình của là: .
Một số ví dụ tương tự :
Bài 1 : Cho mặt phẳng và 2 điểm A(1 ;4 ; 0) và B(5;4; -7). Tìm tọa độ điểm M thuộc mp sao cho MA + MB nhỏ nhất.
 Kết quả : M(1 ; 0 ; -1)
Bài 2 : Cho mp và 3 điểm A(5;1;4), B(2;0 ;3), C(2 ; 1 ;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc mp sao cho nhỏ nhất.
 Kết quả: M(1; 1; 2)
Bài 3: Cho mặt phẳng và hai điểm A(1; -1 ; 0), B(0;-4 ;-2). Tìm tọa độ điểm M thuộc mp sao cho nhỏ nhất.
 Kết quả: M(1;1;1)
Bài 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau: . Với A, B là 2 điểm thuộc đường thẳng (d2) mà AB không đổi. Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d1) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
 Kết quả: M(1; -1; 2)
Bài 5: Cho đường thẳng và điểm A(1; 3; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất.
 Kết quả: (P): x – 2y + z – 1 = 0
Bài 6: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0 và điểm B(1; 0; 4), A(2; 3;2). Viết phương trình đường thẳng qua B, nằm trong mp(P) và sao cho khoảng cách từ A đến là lớn nhất.
 Kết quả : 
3 / Hiệu quả áp dụng:
- Sau khi áp dụng vào giảng dạy cho các em học sinh, đa số các em đều thích thú học tập, hiểu và vận dụng tốt.
- Qua đó nhận thấy các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian.
 KẾT LUẬN :
 1. Ý nghĩa của đề tài đối với công tác :
Đề tài này giúp bản thân tôi có thêm một tư liệu để giảng dạy và cũng là một tài liệu nhỏ để các em học sinh tham khảo.
Các bài toán trên tôi chỉ sử sụng tính chất cực trị trên không gian và sau đó mới vận dụng vào giải. Tuy nhiên, các bài toán này có thể giải theo các cách khác. 
 2. Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển :
Qua bài viết này, tôi hy vọng sẽ hệ thống được cho các em một số bài toán nhỏ về phân môn hình học giải tích để giúp các em học sinh thuận tiện hơn khi gặp phải.
Thông qua các tiết dạy theo chuyên đề, tôi mong muốn được triển khai rộng rãi cho nhiều khối 12 của trường THPT Nguyễn Du.
 3. Đề xuất:
Bài viết của tôi chỉ trình bày theo chủ ý của cá nhân, do đó chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu xót và chưa thật hoàn chỉnh, vì vậy tôi rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp và các em học sinh.
Tài liệu tham khảo :
Hình học Nâng cao 12 (SGK)
Học và ôn Hình học 12 (Tác giả Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc)
Các đề thi tuyển sinh của các năm trước.
 Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến của bản thân tôi viết, không sao chép của người khác.
Ngãi Giao, ngày 10 tháng 01 năm 2017 
 Người viết
 Nguyễn Thanh Tài
Xác nhận, đánh giá của cơ quan
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................