Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi biến đổi biểu thức lượng giác trong chương trình Toán 10 - Lại thị Hương Lan

i biểu thức lượng giác trong chương trình toán 10.
*PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Để thực hiện đề tài này tôi đã lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể, phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh, để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
+ Thực nghiệm sư phạm.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng” ( Nguồn tài liệu:“ Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm), các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Một số học sinh tỏ ra lúng túng, sợ sệt khi học lượng giác và thường mắc phải một số sai lầm khi biến đổi biểu thức lượng giác trong chương trình toán 10, từ đó kết quả học tập chưa cao.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 NỘI DUNG CỤ THỂ
“ Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi biến đổi biểu thức lượng giác trong chương trình toán 10”.
Một số ví dụ và bài tập tương tự:
Ví dụ 1: ChoTính giá trị của biểu thức 
 ( Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015)
*Lời giải sai lầm thường gặp
Ta có .
 Từ đó . 
*Nguyên nhân sai lầm
 Đây là sai lầm rất đáng tiếc của học sinh, vì học sinh đã nhớ nhầm công thức nhân đôi 
Lưu ý: .
*Lời giải đúng 	
 Ta có .
 Từ đó .
*Chú ý với học sinh: Qua ví dụ 1 học sinh thấy được học lượng giác thật sự không khó nếu ta nắm vững được công thức lượng giác và biết sử dụng chúng một cách hợp lí.
* Bài tập tương tự:	
1. Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 trường chuyên Vĩnh Phúc – Lần 1
ChoTính giá trị của biểu thức ;
2. Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 trường THPT Hàn Thuyên (Bắc Ninh)
 ChoTính giá trị của biểu thức ;
Ví dụ 2: Cho Tìm ,, 
*Lời giải sai lầm thường gặp
Ta có: .
Do đó và .
*Nguyên nhân sai lầm
Đa số học sinh đều cho rằng từ .
Cần lưu ý rằng: 
*Lời giải đúng
Ta có: .
 Vậy 
Do đó 
 và .
*Chú ý với học sinh
 + Lưu ý phép biến đổi .
 + Để xét dấu của với ta cần xem điểm M thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác.
Ta có bảng:	
Điểm M
thuộc góc phần tư 	
Dấu GTLG
I
II
III
IV
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
+
-
+
-
Bài tập tương tự:
1, Cho cosx = và 1800 < x < 2700. Tính sinx, tanx.
2, Cho tanx = và . Tính cotx, sinx, cosx.
3, Tính A = tan (x - ), biết cosx = -9/41 và .
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A = với .
*Lời giải sai lầm thường gặp
 Ta có A = = = 
 = .
*Nguyên nhân sai lầm
 Học sinh cho rằng: .
Lưu ý: = = 
*Lời giải đúng
Ta có A = = 
 = .
Vì nên . Ta có 2 trường hợp:
TH1: Với thì .
 Ta có A = .
TH2: Với thì .
 Ta có A = .
Vậy: 
 .
 *Chú ý đối với học sinh: 
= = 
Bài tập tương tự
 Rút gọn các biểu thức
 A = với ;
 B = ;
 C = .
Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức 
 A = cos.cosx.cos2x.cos4x.
*Lời giải sai lầm thường gặp
 Ta có sin . A = sin . cos.cosx.cos2x.cos4x
 = sinx.cosx.cos2x.cos4x
 = sin2x.cos2x.cos4x
 = sin4x.cos4x
 = sin8x.
Suy ra A = .
*Lời giải đúng
Xét 2 trường hợp
TH1: Nếu sin0 , ta có 
 sin . A = sin . cos.cosx.cos2x.cos4x
 = sinx.cosx.cos2x.cos4x
 = sin2x.cos2x.cos4x
 = sin4x.cos4x
 = sin8x.
Suy ra A = .
TH2: Nếu sin= 0 , ta có 
 với .
Vậy:
 với .
*Chú ý đối với học sinh:
Khi nhân 2 vế của một biểu thức với cùng một biểu thức thì biểu thức ấy phải khác 0 và không làm thay đổi tập xác định của biểu thức ban đầu.
Bài tập tương tự
 Rút gọn các biểu thức
 A = sinx + sin2x + sin3x+ + sin2016x.
 B = cosx.cos2x. cos4xcos2nx.
Ví dụ 5: Biết và . Tính x + y.
*Lời giải sai lầm thường gặp
 Ta có .
 Suy ra: x + y = 450.
*Phân tích sai lầm
 1, Bài toán cho tức là đơn vị đo góc x, y là rađian. 
 Do đó kết quả x + y = 450 là sai. Đây là một sai lầm rất đáng tiếc của học sinh.
 2, Ngoài ra trong lời giải trên còn thiếu một lập luận rất quan trọng. Đó là từ 
 tan(x + y) = 1 suy ra x + y = 450 lập luận đúng phải là từ tan(x + y) = 1 ta có (1)
Do nên (2). 
Từ (1) và (2) suy ra .
*Lời giải đúng
 Ta có 
 (1).
 Do nên (2). 
 Từ (1) và (2) suy ra .
 Vậy .
 Ví dụ 6: Cho góc lượng giác và . Tính theo m.
*Lời giải sai lầm thường gặp
Ta có 
 .
Ta có .
*Lời giải khác
 + Với thì đều dương. Do đó m > 0.
 + Ta có 
 .
Từ đó .
TH1: Nếu thì . Khi đó .
 Vậy 
(do đều dương mà nên ).
TH2: Nếu thì . Khi đó .
 Vậy .
Vậy: 
Như vậy thông qua 2 cách giải trên, bản thân tự các em học sinh đều sẽ nhận ra sai lầm của mình đã không để ý đến giả thiết và lời giải lập luận chưa chặt chẽ từ đó các em học sinh cũng sẽ tự ra kinh nghiệm để gặp các bài toán tương tự các em sẽ không mắc phải và làm tốt hơn.
Bài tập tương tự
1, Cho sin2 = -4/5, . Tính các giá trị lượng giác của .
2, Biết và . Tính các giá trị lượng giác của góc 2 và góc /2.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn:
 sinA = cosB + cosC thì tam giác ABC vuông.
*Lời giải sai lầm thường gặp
Ta có sinA= cosB + cosC 
 ( do nên )
 .
Vậy tam giác ABC vuông tại B (ĐPCM).
*Lời giải đúng
Ta có 
sinA= cosB + cosC 
 ( do nên ) (1)
Vì nên (1) .
+ Nếu B > C thì A = B – C . Suy ra .
+ Nếu B < C thì A = C – B . Suy ra .
Vậy tam giác ABC vuông tại B hoặc vuông tại C. Từ đó ta có ĐPCM
 Bài tập tương tự
1, Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn:
 sinA= 2sinB.cosC thì tam giác ABC cân.
2, Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C và ba cạnh a, b, c thỏa mãn:
 a (1- 2cosA)+ b(1- 2cosB) + c (1 – 2 cosC) = 0 thì tam giác ABC đều.
Ví dụ 8: Tìm các số C và y sao cho: 
 sinx + cosx = Csin (x+ y) , với mọi x.
*Lời giải sai lầm thường gặp
Ta có sinx + cosx= Csin (x+ y), x
 sinx + cosx= C(sinx.cosy + siny.cosx), x
 sinx (1- Ccosy)+ cosx (1- C siny) = 0, x
 .
+ Nếu ta có 
 .
+ Nếu ta có 
Vậy , hoặc , .
*Lời giải đúng
Ta có sinx + cosx = Csin (x+ y), x
 sinx + cosx = C(sinx.cosy + siny.cosx), x
 sinx (1- Ccosy)+ cosx (1- C siny) = 0, x
 .
+ Nếu ta có 
 .
+ Nếu ta có 
Vậy , hoặc , .
Bài tập tương tự
Tìm các số A và y sao cho: 
 sinx + cosx = Asin (x - y), với mọi x.
2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm
* Kết quả từ thực tiễn:
 Vì đây là phần kiến thức nằm ở chương đầu tiên của phần lượng giác mà các em sẽ tiếp tục được học ở lớp 11 nên bước đầu học sinh gặp phải khó khăn nhất định trong việc biến đổi các biểu thức lượng giác . Tuy nhiên dưới sự hướng dẫn tỉ mỉ và sự lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở đó giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận từ đó đã giúp các em khắc phục được những sai lầm đó và đi đến được lời giải đúng.
* Kết quả thực nghiệm:
 Sáng kiến này được áp dụng trong năm học 2015 – 2016 ở 2 lớp 10I và 10D tại trường THPT Ba Đình Nga Sơn .
 Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải các bài tập ở dạng này trong sách giáo khoa lớp 10 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ của các năm về trước thì các em đã thận trọng hơn khi tìm và trình bày lời giải và đã làm được một lượng lớn bài tập đó. Có nhiều em ban đầu tỏ ra rất ngại khi gặp đến các bài tập ở dạng này thì giờ đây đã tỏ ra rất thích thú, tự tin và say mê với những bài tập như thế.
 Trong quá trình dạy học bản thân nhận thấy rất rõ khi thực hiện sáng kiến này học sinh học tập rất tích cực và hứng thú, các em đã nhận thấy được một số sai lầm mà các bạn thường mắc phải và qua đó cũng đã tự rút ra được những chú ý quan trọng, những kinh nghiệm quý khi biến đổi các biểu thức lượng giác để từ đó khắc phục được những sai lầm không đáng có. Vì thế mà kết quả học tập của các em đã được nâng lên rõ rệt. Cụ thể:
 Kết quả khảo sát chương VI : “ Góc và cung lượng giác “ đã đạt được như sau:
 Mặc dù chất lượng đầu vào của 2 lớp 10I, 10D không cao thuộc tốp gần cuối của khối 10 trong trường.
Lớp
Sĩ số
Điểm giỏi
Điểm khá
Điểm trung bình
Điểm yếu
10 D
43
3
6,98%
20
46,51%
 18
 41,86%
 2
4,65%
10 I
43
8
18,6%
18
41,86%
16
37,21%
1
2,33%
 3. KẾT LUẬN
* KẾT LUẬN
 Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi biến đổi các biểu thức lượng giác có ý nghĩa rất quan trọng trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp các em nhìn ra được những điểm yếu, những sai lầm và những hiểu biết chưa thấu đáo của mình về vấn đề này, từ đó phát huy được ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực, chủ động. Củng cố và trau dồi thêm kiến thức về biến đổi các biểu thức lượng giác. Qua đó giúp học sinh làm chủ được kiến thức và đạt được kết quả cao trong quá trình học tập cũng như trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
* KIẾN NGHỊ
 Nhà trường cần trang bị thêm các cuốn sách tham khảo viết về các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán, để qua đó học sinh được tìm hiểu, trao đổi và khám phá về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán từ đó các em tự rút ra được những kinh nghiệm quý có thể khắc phục được những sai lầm đó trong khi làm bài tập.
 Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân đã rút ra được trong quá trình dạy học sinh biến đổi các biểu thức lượng giác. 
 Trong quá trình thực hiện sáng kiến này chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong hội đồng khoa học các cấp, các Quý thầy cô giáo trao đổi và góp ý kiến để đề tài được hoàn chỉnh và có tính hiệu quả hơn. Xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 28 tháng 05 năm 2016.
Tôi xin cam đoan đây là SNKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Lại Thị Hương Lan
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao. Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Sách bài tập đại số 10 nâng cao. Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Giải toán lượng giác 10. Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Sai lầm phổ biến khi giải toán. Nhà xuất bản Giáo dục
5. Chuyên đề luyện thi vào Đại học Lượng giác. Nhà xuất bản Giáo dục.
6. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán. Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
7. Một số đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT năm 2016.