Phân tích dầm thép, bê tông liên hợp có xét đến tương tác không toàn phần của liên kết chịu cắt bằng phương pháp ma trận độ cứng trực tiếp

c tại vị trí z và nghiệm của phương trình (20) của dầm cơ bản như sau: 
 zRMM 00 +−= ; 0NN −= ; (22) 
 0
1
21 Rk
eCeCs zz αμμ −+= − (23) 
2.3.2.1 Xác định hệ số cột thứ nhất của ma trận K 
Gán chuyển vị đơn vị cho thành phần thứ nhất của q, khi đó ta có: 
 { } [ ]Tq )1(0,0,0,0,0,0,0,1= (24) 
Từ (21) và (24), ta có: 
⇔
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
)1(1
10
10
0
0
0
88
7877
686766
58575655
4847464544
383736353433
28272625242322
1817161514131211
0
0
0
0
0
0
0
1
L
L
L
N
M
R
N
N
M
R
N
kSYM
kk
kkk
kkkk
kkkkk
kkkkkk
kkkkkkk
kkkkkkkk
)1(1
10
10
0
0
0
81
71
61
51
41
31
21
11
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
L
L
L
N
M
R
N
N
M
R
N
k
k
k
k
k
k
k
k
 (25) 
Các hệ số của cột thứ nhất của ma trận K được xác định theo (25). Các phản lực nút được 
xác định từ các phương trình (10), (11), (15), (16), (22) và (23). Sử dụng 5 điều kiện để xác 
định các hệ số C1, C2, D1, D2 và D3 như sau: 
 00 00
1
210 =−+↔= =− zzz RkeCeCs
αμμ (26) 
 00 0121 =−+↔= =− LzzzL RkeCeCs
αμμ (27) 
 0'0 0213210 =++++↔= =∫∫ ∫∫∫∫ zDzDdzdzsbNdzdzbMdzdzbv (28) 
 0'0 21321 =++++↔= =∫∫ ∫∫∫∫ LzL DzDdzdzsbNdzdzbMdzdzbv (29) 
 1'1 033210 =+++↔= =∫ ∫∫ zn DdzslNdzlMdzlu (30) 
Sử dụng 3 điều kiện tiếp theo xác định các thành phần phản lực nút N0, R0, M0 như sau: 
 0'0 013210
' =+++↔= =∫∫ ∫∫∫∫ zDdzdzsbNdzdzbMdzdzbv (31) 
 0'0 1321
' =+++↔= =∫∫ ∫∫∫∫ LzL DdzdzsbNdzdzbMdzdzbv (32) 
 0'0 3321 =+++↔= =∫ ∫∫ LznL DdzslNdzlMdzlu (33) 
Các thành phần phản lực nút NL, RL, ML xác định theo điều kiện cân bằng của phần tử cơ 
bản và phương trình (22). Các thành phần phản lực nút N10; N1L được xác định theo phương 
trình cân bằng của phần tử 1 từ phương trình (16) như sau: 
 0110 == ZNN ; LZL NN =−= 11 (34) 
Science & Technology Development, Vol 10, No.11 - 2007 
Trang 80 
Vậy các hệ số của cột thứ 1 được xác định 
Tương tự, các hệ số của cột thứ 2 đến 8 của ma trận K cũng được xác định như trên. 
2.3.2.2 Xác định véc tơ tải phản lực nút tương đương do tải phân bố đều w gây ra 
Thành phần nội lực của phần tử chịu tác dụng của tải w tại z và nghiệm của (20) như sau: 
2
2
00
wzzRMM −+−= ; 0NN −= (35) 
z
k
wR
k
eCeCs zz 10121
ααμμ +−+= − (36) 
Gán các thành phần chuyển vị của véc tơ tải phần tử bằng không, ta có: 
 { } [ ]Tqd )(0,0,0,0,0,0,0,0= (37) 
Tương tự như 2.3.2.1, ta xác định được hệ số của véc tơ tải tương đương do w gây ra. 
3. VÍ DỤ MINH HỌA 
3.1 Dầm liên hợp đơn giản chịu tác dụng của tải phân bố đều w 
Xét dầm đơn giản có sơ đồ tính và đặc trưng mặt cắt tiết diện như hình 5. Mô đun đàn hồi 
vật liệu của bê tông, thép lần lượt là: Ec=2.1e7KPa, Es=2.1e8KPa; độ cứng liên kết cắt 
k=122.24e3KPa. Phương pháp ma trận độ cứng trực tiếp áp dụng cho bài toán với mô hình 
một phần tử. Xét ứng xử của dầm với các cấp tải khác nhau. 
180
12
6
20
0
10
0
680
2800
w(kN/m)
Hình 5: Sơ đồ tính và mặt cắt tiết diện của dầm LH 
Khảo sát giá trị chuyển vị đứng ở giữa nhịp của dầm. So sánh kết quả tính toán với kết quả 
của các phương pháp khác: nhóm tác giả Hoàng Tùng, Faella với lời giải phương trình vi phân 
cơ bản của mô hình Newmark; phần mềm PTHH Ansys [6]. Kết quả cho thấy với cấp tải nhỏ 
hơn 300KN/m phương pháp ĐCTT có sai số so với Ansys từ 0,5% đến 10%, trong khi đó 
phương pháp của tác giả Hoàng Tùng, Faella có sai số với Ansys từ 22% đến 30%. Kết quả so 
sánh cho thấy phương pháp ĐCTT có sai số với Ansys ít hơn, có độ tin cậy cao khi sử dụng. 
Kết quả so sánh thể hiện ở bảng 1 và hình 6. 
TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 10, SOÁ 11 - 2007 
Trang 81 
Hình 6: Biểu đồ so sánh wmax các phương pháp 
Bảng 1: Kết quả tính toán của các phương pháp 
ĐCTT (1) Tung, Faella (2) Ansys (3) 
Sai số 
(2)&(3) (%) 
Sai số 
(1)&(3) (%) 
Cấp 
tải 
wmax 
(mm) 
Cấp 
tải 
wmax 
(mm) Cấp tải 
wmax 
(mm) 
Gía trị xét theo cấp tải 
của ĐCTT 
0 0.000 0 0.000 0 0.000 
35 1.794 35 1.139 7 0.326 -30.52 9.38 
70 3.588 70 2.379 14 0.652 -28.96 7.12 
105 5.381 105 3.738 24.5 1.142 -28.13 3.47 
140 7.175 140 5.220 40.3 1.895 -26.92 0.45 
175 8.969 175 6.823 63.9 3.056 -25.85 -2.53 
210 10.763 210 8.544 99.3 4.883 -24.59 -5.01 
245 12.557 245 10.378 152.5 7.830 -23.75 -7.74 
280 14.350 280 12.320 222.5 12.070 -22.66 -9.92 
315 16.114 315 14.365 292.5 16.791 -22.10 -12.61 
350 17.938 350 16.508 350 20.956 -21.23 -14.40 
3.2 Dầm liên hợp đơn giản chịu tác dụng của lực tập trung P ở giữa nhịp 
Xét dầm đơn giản có sơ đồ tính và đặc trưng mặt cắt tiết diện như hình 7. Mô đun đàn hồi 
vật liệu của bê tông, thép lần lượt là: Ec=2.1e7KPa, Es=2.1e8KPa; độ cứng liên kết cắt 
k=184.85e3KPa. Phương pháp ĐCTT áp dụng cho bài toán với mô hình hai phần tử. Xét ứng 
xử của dầm với các cấp tải khác nhau. 
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000
Wmax (mm)
w
 (K
N
/m
)
ĐCTT Tung Ansys
Science & Technology Development, Vol 10, No.11 - 2007 
Trang 82 
P(kN)
5000
800
10
0
40
0 8.6
13
.5
180
Hình 7: Sơ đồ tính và mặt cắt tiết diện của dầm LH 
Khảo sát chuyển vị ở vị trí giữa nhịp của dầm. So sánh kết quả tính toán với kết quả của 
phương pháp khác: các kết quả tính toán và số liệu thực nghiệm của nhóm Bojam Cas (2004); 
nhóm Fabbrocino (1999) [6]; kết quả tính toán của Hoàng Tùng. Kết quả cho thấy với cấp tải 
nhỏ hơn 300KN, phương pháp ĐCTT có sai số so với nhóm Bojan Cas từ 2,5% đến 14%; với 
nhóm Fabbrocino từ 2,3% đến 6,8%; trong khi phương pháp của Hoàng Tùng có sai số khá 
cao so với kết quả thực nghiệm. Kết quả so sánh thể hiện ở bảng 2 và hình 8. 
Hình 8: Biểu đồ so sánh wmax các trường hợp 
 Bảng 2: Kết quả tính toán của các phương pháp 
Cấp tải Giá trị wmax của các phương pháp wmax (mm) 
So sánh (%) 
P (KN) 
(1) 
ĐCTT 
(2) 
Tung 
(3) 
Bojan Cas
(4) 
Fabbrocino 
(5) (2)&(3) (2)&(4) (2)&(5) 
0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.0 0.0 
100 3.418 3.635 3.000 3.200 -6.0 13.9 6.8 
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0.000 5.000 10.000 15.000 20.000
Wmax (mm)
 P
 (K
N
)
ĐCTT Tung Bojan Fabbrocino
TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 10, SOÁ 11 - 2007 
Trang 83 
200 6.836 7.638 6.300 6.600 -10.5 8.5 3.6 
250 8.545 9.738 8.000 8.200 -12.3 6.8 4.2 
300 10.254 11.900 10.000 10.500 -13.8 2.5 -2.3 
325 11.108 13.011 12.300 13.000 -14.6 -9.7 -14.6 
350 11.962 14.122 16.000 17.300 -15.3 -25.2 -30.9 
Như vậy, qua hai ví dụ chứng tỏ phương pháp ĐCTT có kết quả khá tốt so với Ansys và 
kết quả thực nghiệm. Với cấp tải nhỏ hơn 300KN thì sai số nhỏ hơn 10%. Khi cấp tải lớn hơn 
300KN thì sai số từ 12% đến 25%. Ứng xử của dầm LH là hoàn toàn phi tuyến, tuy nhiên với 
cấp tải nhỏ hơn 60% khả năng chịu lực cực hạn thì có thể xem là tuyến tính. Đồng thời nếu xét 
theo tiêu chuẩn Eurocode 4: ENV 1994 và tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thép của Việt Nam 
TCXDVN 338:2005 để so sánh thì khi tải trọng lớn hơn 350KN thì độ võng của dầm đã vượt 
quá giới hạn cho phép L/250. Điều này chứng tỏ phương pháp ĐCTT có độ chính xác khá cao 
để khảo sát dầm LH trong giai đoạn đàn hồi. 
4. KẾT LUẬN 
Trong bài báo tác giả giới thiệu phương pháp ĐCTT để phân tích dầm thép-bê tông liên 
hợp có xét đến biến dạng trượt do tương tác không toàn phần của liên kết chịu cắt. Phương 
pháp có ưu điểm là không sử dụng hàm xấp xỉ cho các hàm chuyển vị. 
Kết quả thu được của phương pháp ĐCTT khá tin cậy so với kết quả tính toán của Ansys 
và các kết quả tính toán thực nghiêm. Mô hình tính toán đơn giản, phương pháp ĐCTT cần 
được nghiên cứu để ứng dụng phân tích ứng xử của kết cấu thép-bê tông liên hợp đa dạng hơn 
như dầm LH chịu tác dụng của các loại tải trọng khác nhau, dầm liên tục… 
Bài báo này thực hiện trong khuôn khổ “Đề tài nghiên cứu cấp trường mã số T-KTXD-
2007-31”, Trường Đại Học Bách khoa, ĐHQG TP.HCM. 
THE ANALYSIS OF CONCRETE - STEEL COMPOSITE BEAMS WITH 
PARTIAL INTERACTION OF SHEAR CONNECTORS USING DIRECT 
STIFFNESS METHOD 
 Nguyen Van Chung (1), Bui Cong Thanh (2) 
(1) University of Technology, VNU-HCM 
(2) Department of Strength and Structure, Faculty of Civil Engineering 
 ABSTRACT: This paper presents a method for the analysis of concrete-steel 
composite beams using the direct stiffness method. In this method, no displacement 
approximation is needed. The stiffness matrix K is obtained directly by taking into account the 
partial interaction of the shearing connector by restraining all freedoms except the one related 
to the column consider, for which a unit displacement is imposed. A program using the direct 
stiffness method which is written in Matlab is applied to some simple illustrative examples. 
The results obtained are compared to those of the other methods. 
Science & Technology Development, Vol 10, No.11 - 2007 
Trang 84 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Newmark NM, Siess CP, Vies IM. Test and analysis of composite beams with 
incomplete interaction. Proc Soc Exp Stress Anal, (1951). 
[2]. Yasunori Arizumi and Sumio Hamada. Elastic-plastic analysis of composite beams 
with incomplete interaction by element method. Computer & Structures; (1981). 
[3]. Faella C, Martinell E, Nigro E. Steel and concrete composite beams with flexble 
shear connection: ”exact” analytical expression of the stiffness matrix and 
application. Computer & Struct, (2002). 
[4]. Ranzi G, Bradford MA. Analytical solutions of time-dependent behaviour of 
composite beams with partial interaction. Int J Solids Struct; (2006). 
[5]. Ranzi G, Bradford MA, Direct stiffness of a composite beam-column element with 
partial interaction. Computer & Structures; (2007). 
[6]. Đặng Hoàng Tùng, Phân tích ảnh hưởng của lực cắt trong dầm thép-bê tông cốt thép 
liên hợp, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh, (2006).