Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo cách tiếp cận Didactic

 
số). 
S1b: Chiến lược tìm cách dùng các công thức đạo hàm đã học (tính theo hai hàm số). 
S2: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. 
S2a: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm để tính (tính theo 
giới hạn một bên của x). 
S2b: Chiến lược dùng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm để tính 
(tính theo giới hạn một bên của x0). 
S3: Chiến lược dùng tính chất liên tục của hàm số. 
S3a: Chiến lược dùng tính chất liên tục của hàm số để kết luận đạo hàm. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 48-59 
54 
S3b: Biến thể của S3a (không kết luận sự gián đoạn). 
S3c: Biến thể của S3a (chỉ xét tính liên tục của hàm số tại một điểm). 
3.4. Thực nghiệm 
Đối tượng nghiên cứu 
Thực nghiệm được tổ chức cho 115 HS lớp 11 của hai trường THPT: THPT Bình 
Thủy – Cần Thơ (11B10 và 11B11) và THPT Châu Thành A – Hậu Giang (11A3 và 
11A4). Phân tích kết quả thu thập, chúng tôi ghi nhận được như sau: 
Kết quả và bình luận 
Bảng 2. Kết quả gắn liền với Bài 1 
 Chiến lược 
Số liệu 
S1a S1b S1c S2a S2b S3 Không trả lời 
Tổng số 46 10 32 0 0 0 27 
Tỉ lệ 40% 8,7% 27,8% 0% 0% 0% 23,5% 
Bảng thống kê cho thấy, có 88/115 HS (76,5%) lựa chọn các chiến lược S1a, S1b và 
S1c để giải bài toán, trong đó có 40% HS sử dụng chiến lược S1a. Ví dụ như HS1 trình 
bày như sau: 
Hình 1. Bài làm của HS1 
Bên cạnh đó, có 27,8% HS lựa chọn chiến lược giải S1c, ví dụ trong bài làm của 
HS43 trình bày như sau: 
Hình 2. Bài làm của HS43 
Hơn thế nữa, không có HS nào thực hiện chiến lược S3, tức là nhận ra miền có đạo 
hàm của hàm số đã cho trước khi thế điểm 0x vào đạo hàm. Điều này cho thấy HS không 
kiểm tra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm 0x cho trước hay nói cách khác là HS không quan 
tâm đến tập xác định của đạo hàm (miền có đạo hàm). Như vậy, chúng tôi kiểm chứng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng và tgk 
55 
được giả thuyết về sự tồn tại quy tắc của HĐDH “Khi tính đạo hàm của hàm số tại một 
điểm, HS không có trách nhiệm kiểm tra hàm số có đạo hàm tại điểm đó hay không cũng 
như không có trách nhiệm xác định miền mà hàm số đã cho có đạo hàm. HS chỉ có nghĩa 
vụ dùng công thức để tính đạo hàm rồi thế giá trị của 0x vào đạo hàm tìm được”. 
Bảng 3. Kết quả gắn liền với Bài 2 
 Chiến lược 
Số liệu 
S1 S2 S3 S4a S4b 
Trả lời đúng 
ngoài dự đoán 
Không trả lời 
Tổng số 5 28 39 5 3 1 34 
Tỉ lệ 4,3% 24,3% 34% 4,3% 2,6% 0,9% 29,6% 
Qua thống kê, chúng tôi thấy có 72/115 HS (62,6%) HS lựa chọn các chiến lược giải 
S1, S2 và S3. Tức là những HS này dùng mọi cách áp dụng các công thức, quy tắc tính đạo 
hàm để tìm kết quả, các em không nghĩ tới việc dùng định nghĩa để tính đạo hàm dù rằng 
đã được học và thực hành nó nhiều lần. Chẳng hạn, HS87 trình bày như sau: 
Hình 3. Bài làm của HS87 
Hơn thế nữa, có 12,2% HS trả lời rằng “không tính được đạo hàm vì có dấu giá trị 
tuyệt đối” hay “đạo hàm không tính được giá trị tuyệt đối” (chiến lược S5). Điều này đồng 
nghĩa với việc các em cho rằng chỉ những hàm số có trong công thức tính đạo hàm mới 
tính được đạo hàm, ngoài ra là không tính được. Các em hoàn toàn không nhận thức được 
tầm quan trọng của việc tính đạo hàm bằng định nghĩa so với tính đạo hàm bằng công thức. 
Trong khi đó, chỉ có 8/115 HS (6,9%) nghĩ tới việc dùng định nghĩa đạo hàm của 
hàm số tại một điểm để giải bài toán (chiến lược S4a và S4b). Ví dụ như HS23 trình bày 
như sau: 
Hình 4. Bài làm của HS23 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 48-59 
56 
Đáng lưu ý là có 1 HS có câu trả lời đúng ngoài tiên nghiệm của chúng tôi, cụ thể là 
HS92 giải bài trên như sau: 
Hình 5. Bài làm của HS92 
Từ đó, thấy phần lớn HS được khảo sát đều ưu tiên dùng các công thức, quy tắc tính 
đạo hàm để giải, thậm chí là hàm số ban đầu hoàn toàn không có trong bảng Đạo hàm của 
một số hàm số thường gặp (SGK trang 203). Như vậy, chúng tôi kiểm chứng được giả 
thuyết về sự tồn tại quy tắc của HĐDH “Khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, HS có 
nhiệm vụ là tìm cách áp dụng các công thức, quy tắc tính đạo hàm đã học rồi tính giá trị 
của đạo hàm tại điểm đó mà không cần phải sử dụng định nghĩa của đạo hàm tại một điểm 
(nếu bài tập không nói rõ là phải dùng định nghĩa). 
Bảng 4. Kết quả gắn liền với bài 3 
 Chiến lược 
Số liệu 
S1a S1b S2a S2b S3a S3b S3c Không trả lời 
Tổng số 19 36 0 12 1 8 14 25 
Tỉ lệ 16,5% 31,3% 0% 10,4% 0,9% 7% 12,2% 21,7% 
Từ những số liệu thống kê, chúng tôi thấy có tới 55/115 HS (47,8%) vẫn tìm cách áp 
dụng các công thức, quy tắc tính đạo hàm để đưa ra câu trả lời. Ví dụ như HS41 trình bày 
như sau: 
Hình 6. Bài làm của HS41 
Điều này một lần nữa khẳng định lại rằng nhiều HS vẫn ưu tiên lựa chọn chiến lược 
dùng các công thức, quy tắc tính đạo hàm để áp dụng vào những dạng toán không quen 
thuộc hơn là sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. HS ngầm cho rằng sau 
khi đã học xong bài Các quy tắc tính đạo hàm thì các em chỉ có nghĩa vụ dùng các công 
thức, quy tắc đó để tính đạo hàm mà không còn cần quan tâm tới cách tính đạo hàm bằng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng và tgk 
57 
định nghĩa nữa. Tuy nhiên, vẫn có 10,4% HS lựa chọn chiến lược giải S2b; ví dụ như 
HS45 trình bày như sau: 
Hình 7. Bài làm của HS45 
Điều đáng lưu ý ở đây là các HS này sử dụng khái niệm “Đạo hàm một bên”, đây là 
nội dung được trình bày trong phần đọc thêm SGK trang 193. Ở đây, chúng tôi suy đoán 
rằng có thể trên lớp GV đã đề cập khái niệm này cho HS. 
Chúng ta thấy rằng có 23/115 HS (20,1%) lựa chọn các chiến lược giải S3a, S3b và 
S3c, tuy nhiên, lại có đến 12,2% HS giải theo chiến lược S3c. Khi phỏng vấn các HS này 
thì các em đều trả lời rằng lý do họ giải theo chiến lược S3c là nhìn dạng hàm số đã cho rất 
giống với dạng hàm số trong kiểu nhiệm vụ “Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm” 
nên các em cứ xét tính liên tục tại 0x rồi kết thúc. Tức là HS giải theo chiến lược này chỉ vì 
có sự tương đồng với một kiểu nhiệm vụ khác chứ không phải do HS nhận ra mối liên hệ 
giữa tính liên tục và đạo hàm của hàm số tại một điểm. Điều này lại càng cho thấy sự nhận 
thức của HS về mối quan hệ giữa tính liên tục và đạo hàm của hàm số thực sự mờ nhạt. 
Thậm chí các em sau khi xét được hàm số đó gián đoạn tại 0 1x  nhưng lại “không dám” 
kết luận rằng hàm số không có đạo hàm tại 0 1,x  ví dụ như HS58 trình bày như sau: 
Hình 8. Bài làm của HS58 
Chỉ có duy nhất 1 HS nhận ra được mối liên hệ này và đưa ra được lời giải chính xác. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 48-59 
58 
Hình 9. Bài làm của HS115 
Cũng cần nói thêm là có 7% HS lựa chọn chiến lược giải S3b, tức là sau khi tính các 
giới hạn một bên của hàm số đã cho thì các em kết luận luôn hàm số không tồn tại đạo hàm 
tại 0 1x  mà không kết luận gì về tính liên tục. Ví dụ như HS109 trình bày như sau: 
Hình 10. Bài làm của HS109 
Sau khi phỏng vấn các em này thì thấy được rằng một số em sử dụng suy luận tương 
tự từ tính chất giới hạn của hàm số tại một điểm (SGK trang 156), trong khi đó các em 
khác suy luận tương tự từ tính liên tục của hàm số để kết luận bài toán. Nhưng khi hỏi tại 
sao không kết luận gì về tính liên tục trước khi kết luận sự tồn tại đạo hàm thì các em đều 
trả lời rằng “Em không dám chắc chúng có liên quan với nhau”. Điều này một lần nữa 
chứng minh cho những nhận định của chúng tôi ở trên. 
Từ tất cả những phân tích trên, chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết về sự tồn tại 
quy tắc của HĐDH “Khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, HS không có nghĩa vụ 
kiểm tra tính liên tục của hàm số tại điểm cần tính”. Bên cạnh đó, chúng tôi còn thấy được 
rằng việc làm cho HS nhận thức được mối quan hệ giữa tính liên tục và đạo hàm của hàm 
số tại một điểm cần được GV chú trọng vấn đề này khi dạy đạo hàm của hàm số. 
4. Kết luận 
Một số kết luận rút ra từ thực nghiệm: 
Tập xác định của “hàm số đạo hàm” hay là miền mà hàm số có đạo hàm không được 
HS coi trọng. Các em chỉ có nhiệm vụ là tính đạo hàm mà không cần quan tâm đến miền 
mà hàm số tồn tại đạo hàm. Điều này dẫn đến những sai lầm khi tính toán đạo hàm cũng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng và tgk 
59 
như ảnh hưởng đến tính chính xác khi xét tính đơn điệu của hàm số trong chương trình 
toán lớp 12. 
Định nghĩa đạo hàm của hàm số (tại một điểm) có vai trò rất mờ nhạt đối với HS. 
Khi gặp một tình huống nào đó dù quen thuộc hay lạ lẫm, phần lớn HS đều nghĩ ngay tới 
dùng công thức để tính đạo hàm và tìm mọi cách để áp dụng những công thức đó, còn nếu 
không áp dụng được thì kết luận rằng không tính được đạo hàm chứ không nghĩ tới sẽ 
dùng định nghĩa đạo hàm của hàm số (tại một điểm). 
HS còn rất mơ hồ trong việc nhận thức mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm số và 
đạo hàm của hàm số tại một điểm. Mặc dù về mặt ý nghĩa đại số hay ý nghĩa hình học thì 
mối quan hệ này cũng đóng vai trò rất quan trọng. 
Như vậy, thông qua công cụ hợp đồng dạy học, chúng tôi đã phát hiện ra một số sai 
lầm của HS khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, thấy được sự ảnh hưởng của mối 
quan hệ thể chế lên quan niệm của HS. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Annie B., Claude C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến. (2009). Những yếu tố cơ bản của Didactic 
Toán, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. 
Trần Anh Dũng. (2011). “Hợp đồng dạy học” – Một công cụ để nghiên cứu những sai lầm của học 
sinh. Tạp chí khoa học ĐHSP TP HCM, (25), 78-87. 
Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên. (2015). Giáo trình các xu hướng dạy học toán, NXB Đại học 
Cần Thơ. 
Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng. 
(2009). Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao). Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam. 
Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng. 
(2009). Đại số và Giải tích 11 – Sách giáo viên (Nâng cao). Hà Nội: NXB Giáo dục Việt 
Nam.