Một số tri thức toán phổ thông trong kinh tế lượng

 ứng dụng, chúng tôi 
giới thiệu một số ứng dụng trong dạy học toán những năm đầu Đại học – Cao đẳng và 
trong các khoa học khác như vật lí, hóa học. Đặc biệt, chúng tôi sẽ trình bày một số vai 
trò công cụ của logarit trong kinh tế lượng (và thống kê nói chung). 
- Việc biến phép lũy thừa thành phép nhân của logarit có thể cho phép giải các 
phương trình mũ dạng af(x) = bg(x), tính đạo hàm của các hàm số dạng y = f(x)g(x) hay tính 
giới hạn hàm số của các dạng vô định: 1, 00, 0 Chẳng hạn: 
Bài 8. Tìm các giới hạn: [] 5)  tan
2
lim sin x
x
x


([9] , tr. 36) 
Lời giải được trình bày trong giáo trình: 
5) Đặt     tantansin 1 sin 1 xxA x x      . 
     
ln 1 sin 1 sin 1ln tan .ln 1 sin 1 .
sin 1 cot
x xA x x
x x
  
   

Và sin 1 sin 1sin .
cot cos
x xx
x x
 
 . Do đó 
2
sin 1lim 0
cotx
x
x

 
Cuối cùng: 
2
lim ln 0
x
A


 , nghĩa là:  tan 0
2 2
lim lim sin 1x
x x
A x e
 
 
   ([9], tr. 46) 
- Ngoài ra, một vai trò khác của phép logarit là cho phép chuyển những đại lượng 
có giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ về phạm vi dễ kiểm soát. Chẳng hạn: 
+ Độ log
H
pH C   (logarit thập phân) với CH+ là nồng độ mol của ion H+ trong 
dung dịch và có giá trị rất nhỏ trong khoảng từ 10-14 đến 1. Nhờ phép logarit, độ pH của 
một dung dịch dao động từ 0 đến 14. 
+ Độ mạnh của động đất 
0
log IM
I
 (đơn vị Richter) trong đó I0 là biên độ dao 
động chuẩn và I là biên độ dao động của cơn địa chấn. Tỉ số 
0
I
I
 có thể rất lớn, nó dao 
động trong khoảng từ 1 đến 1010. Với phép logarit, độ mạnh của một cơn động đất 
được diễn tả trên thang 10 đơn vị Richter. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
102 
Trong kinh tế lượng (và thống kê nói chung) 
Như đã nói ở đoạn trên, về mặt kĩ thuật toán học, mô hình tuyến tính sẽ dễ nghiên 
cứu hơn các mô hình phi tuyến. Điều này cũng không ngoại lệ khi áp dụng toán trong 
nghiên cứu kinh tế. Với quan điểm này, phép logarit phát huy lợi ích đặc biệt của mình 
nhờ tính chất đặc trưng biến tích thành tổng và lũy thừa thành tích. 
Hãy xét mô hình sau đây, gọi là mô hình hồi quy mũ: 
2
1
iu
i iY X e
 (6.5.1) 
Mô hình có thể được viết bằng dạng thay thế như sau 
1 2ln ln lni i iY X u    (6.5.2) 
Với ln = logarit tự nhiên (nói cách khác, log cơ số e với e =2,718). 
Nếu chúng ta viết (6.5.2) là 
2ln lni i iY X u    (6.5.3) 
Với  = ln1, [...] mô hình này được gọi là log-log, double-log hay tuyến tính log. 
* *
2 lni i iY X u    (6.5.4) 
Với Y* = lnY và X* = lnX. [...] ([5], tr. 175 - 176) 
Việc ước lượng và nghiên cứu mô hình (6.5.4) được thực hiện dễ dàng hơn mô 
hình (6.5.1). Gujarati [10] giải thích lợi ích này cùng với một ví dụ trong kinh tế: 
Một trong những nét hấp dẫn của mô hình log-log, khiến nó được áp dụng phổ biến, đó 
là hệ số góc 2 đo hệ số co dãn2 của Y theo X, phần trăm sự thay đổi của Y ứng với phần trăm 
sự thay đổi nhỏ của X. Vì vậy, nếu Y biểu diễn lượng nhu cầu của hàng hóa [quantity of a 
commodity demanded] và X là giá [price] của một đơn vị hàng hóa thì 2 là hệ số co dãn của 
mức cầu theo giá, một tham số đáng quan tâm của lợi nhuận kinh tế. Nếu mối quan hệ giữa 
lượng cầu và giá được minh họa trong hình 6.3a thì việc chuyển thành mô hình log-log minh 
họa trong hình 6.3b sẽ cho ta thấy (-2) là giá trị ước lượng của hệ số co dãn theo giá. 
 ([10], tr. 176 - 177) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thái Bảo Thiên Trung 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
103 
Ngoài vai trò công cụ của logarit trong đoạn trích trên, chúng ta cũng thấy một ví 
dụ về lí do xuất hiện của một dạng hàm số phi tuyến từ thực tế. Đồ thị của dạng hàm số 
2
1y x
  (thông qua đồ thị, tác giả đã ngầm ẩn quy ước 1, β2 dương và β2 1) cho 
thấy nếu giá tăng thêm thì nhìn chung lượng cầu sẽ giảm và ngày càng tiệm cận về 0. 
Theo quy luật kinh tế này, dạng hàm số 21y x
  có lí do để xuất hiện và đáng được 
nghiên cứu (thay vì cho trước một hàm số rồi nghiên cứu nó như cách dạy toán truyền 
thống). 
Chúng tôi cũng ghi nhận việc tích hợp các kiến thức kinh tế đơn giản trong dạy 
học Toán của một số sách giáo khoa toán bậc trung học phổ thông ở Mĩ. Những kiến 
thức kinh tế đã làm phong phú thêm các bài toán thực tế, bên cạnh những bài toán của 
các ngành khoa học tự nhiên - đặc biệt là Vật lí (vì khoa học này đóng vai trò lịch sử 
đối với sự nảy sinh nhiều tri thức toán học), và như thế góp phần phục vụ cho việc dạy 
học bằng mô hình hóa. 
Ngoài dạng hàm đã trình bày, logarit cũng cho phép chuyển một số dạng hàm phi 
tuyến khác về dạng tuyến tính. Chẳng hạn: Yt = Y0(1+r)t trong đó Yt: tổng số tiền gốc 
và lãi sau t kì hạn với lãi suất kép khi gửi tiết kiệm, Y0 là tiền gốc ban đầu, r là lãi suất 
(công thức này được trình bày trong các sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11 hiện 
hành). Sau khi dùng phép logarit ta sẽ được một mô hình tuyến tính Y* = α + βt với 
Y*=lnYt ; α =lnY0 và β=ln(1+r). 
Tóm lại, nhờ tính chất đặc trưng của mình, phép logarit là một công cụ để chuyển 
một số hàm phi tuyến (như: y = αxβ; y = αβx; v.v.) về dạng tuyến tính. 
Hơn nữa, khi nghiên cứu các dữ liệu thống kê, nhu cầu chuyển những dữ liệu có 
giá trị quá lớn về phạm vi dễ kiểm soát cũng được đặt ra. Vì vậy, các phần mềm xử lí 
thống kê luôn lập trình hàm logarit (tự nhiên hay thập phân) và cho phép biểu diễn đồ 
thị trên hệ trục tọa độ logarit. 
3.2. Logarit trong dạy học toán bậc trung học phổ thông Việt Nam 
Các sách giáo khoa Việt Nam định nghĩa khái niệm logarit cơ số a (dương và 
khác 1) của một số b (dương) trước, rồi từ đó định nghĩa hàm số logarit: 
Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là logarit cơ 
số a của b và kí hiệu là loga b . loga b a b
    ([4], tr. 62) 
Nghiên cứu của Nguyễn Viết Hiếu [5] cho thấy: trong các sách giáo khoa trung 
học phổ thông hiện hành, vai trò công cụ gần như duy nhất của logarit là giải các 
phương trình chứa mũ và logarit: 
+ Hơn 80% số nhiệm vụ trong phần bài tập của hai quyển sách giáo khoa Đại Số - 
Giải tích 11 thuộc kiểu giải các phương trình chứa mũ và logarit. 
+ Khoảng 17% nhiệm vụ liên quan đến việc rút gọn hay tính toán các biểu thức 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
104 
logarit. 
+ Chỉ có 3% (mỗi sách giáo khoa 1 nhiệm vụ) câu hỏi liên quan đến vai trò đơn 
giản các phép tính của logarit. Chẳng hạn: 
Ví dụ 6. Để tính 3,22,1 người ta làm như sau: 
- Tính 3,2log 2,1 : 3,2log 2,1 3, 2 log 2,1 1, 0311  
- Từ đó suy ra 3,2 1,03112,1 10 10,7424  ([8], tr. 88) 
+ Vai trò đơn giản các phép tính đạo hàm của logarit chỉ xuất hiện trong các 
chứng minh ở phần bài học của các sách giáo khoa mà không xuất hiện trong các 
nhiệm vụ ở phần bài tập dành cho học sinh. Như vậy, ta có thể dự đoán rằng vai trò này 
không được truyền thụ thực sự cho phần lớn học sinh. 
Tóm lại, những nội dung cần dạy thể hiện qua các sách giáo khoa về đối tượng 
logarit chưa đủ để truyền thụ cho học sinh tính chất đặc trưng “biến tích thành tổng” 
của tri thức này. 
4. Kết luận 
Những nghiên cứu mà chúng tôi đã trình bày là ví dụ về một cách xác định yếu tố 
để trả lời cho câu hỏi : dạy học toán để làm gì? dạy những nội dung gì ? 
Việc xem xét vai trò công cụ của các đối tượng tri thức toán phổ thông trong các 
môn khoa học khác (thay vì chỉ trong nội tại toán học) góp phần làm rõ lí do tại sao 
một đối tượng tri thức được chọn để giảng dạy và phải dạy học những ý nghĩa nào về 
chúng. Từ những kết quả này chúng ta mới bàn đến câu hỏi : dạy học một đối tượng tri 
thức toán như thế nào ? 
Hơn nữa, các kết quả đạt được qua phương pháp nghiên cứu được trình bày trong 
bài báo của chúng tôi hoàn toàn phù hợp với các xu hướng dạy học đang được nhắc đến 
ở Việt Nam cho kì vọng đổi mới toàn diện giáo dục phổ thông - dạy học bằng mô hình 
hóa, dạy học tích hợp, dạy học liên môn. 
1 Nếu dùng một hàm số C(I) khả vi để diễn tả mối quan hệ giữa chi tiêu C theo thu nhập I thì khuynh hướng 
tiêu dùng cận biên (MPC) chính là đạo hàm C’(I). 
2 Nói đơn giản hơn, trong mô hình (6.5.3), nếu X tăng (hay giảm) 1% thì Y sẽ thay đổi (tăng hay giảm tùy 
theo dấu của β2) |β2|%. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thái Bảo Thiên Trung 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
105 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Thị Hoài Châu (2014), “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm”, Tạp chí 
Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 65(99), , tr. 5- 18. 
2. Phan Đức Chính và các tác giả khác (2005), Toán 9 (tập 1)), Nxb Giáo dục Việt 
Nam. 
3. Phan Đức Chính và các tác giả khác (2005), Sách giáo viên Toán 9 (tập 1), Nxb Giáo 
dục. 
4. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) và các tác giả khác (2007), Giải tích 12, Nxb Giáo 
dục. 
5. Nguyễn Viết Hiếu (2013), Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy 
học toán ở bậc trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học 
Sư phạm TPHCM. 
6. Trần Lê Vương Quốc (2013), Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học 
toán ở trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm 
TPHCM. 
7. Đoàn Quỳnh và các tác giả khác (2007), Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục. 
8. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), và các tác giả khác (2007), Giải tích 12 Nâng cao, 
Nxb Giáo dục. 
9. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) và các tác giả khác (2009), Bài tập toán cao cấp (tập 2), 
Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục. 
10. Gujarati (2004), Basic Econometrics (4th Ed), The McGraw Hill Companies. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 06-4-2015; ngày phản biện đánh giá: 03-5-2015; 
ngày chấp nhận đăng: 24-9-2015)