Một phân tích tri thức luận về khái niệm tích phân suy rộng

 1889, 
p.150-152), Sluse đã trình bày việc tính thể tích lập thể vô hạn sinh ra khi quay cissoid xung 
quanh tiệm cận của nó bằng cách chứng minh rằng thể tích của nó là hữu hạn. Chứng minh 
của ông sử dụng vỏ hình trụ như không thể chia tách được (Hình 5) dựa trên tính chất thứ 
hai của cissoid: EQ: AQ = AQ: XQ = XQ: BQ. Bằng cách nhân chéo các phần tử bên ngoài, 
thu được: EQBQ = AQXQ và 2BQEQ = 2AQXQ hay diện tích bề mặt hình trụ bên 
trái = diện tích bề mặt hình trụ bên phải. Hơn nữa, các vỏ hình trụ có cùng khoảng cách đến 
tiệm cận. Vì thế thể tích lập thể tròn xoay của cissoid quanh tiệm cận của nó bằng thể tích 
lập thể tròn xoay khi xoay nửa đường tròn xung quanh tiếp tuyến với nó tại điểm A. Thể tích 
của lập thể tròn xoay trông giống một quả táo, được Kepler tính toán trong tác phẩm New 
solid geometry of wine barrels (Hình học lập thể mới của các thùng rượu). 
5 Trong hình học, đường cissoid của Diocles là một đường cong phẳng đáng lưu ý bởi tính chất là nó có thể 
được sử dụng để dựng hai tỉ lệ trung bình cho một tỉ lệ cho trước. Đặc biệt, nó có thể được sử dụng để gấp đôi 
một khối lập phương (một trong ba bài toán lớn của Hi Lạp cổ đại). Nó có thể được định nghĩa là đường cissoid 
của một đường tròn và một đường thẳng tiếp tuyến với nó so với một điểm của đường tròn đối tâm với tiếp 
điểm. Từ “cissoid” xuất phát từ tiếng Hi Lạp “κισσοειδής kissoeidēs” (hình cây Thường xuân) từ κισσός kissos 
(cây thường xuân) và -οειδής -oeidēs (có sự giống nhau của). Đường cong được đặt tên theo Diocles, người 
nghiên cứu nó ở thế kỉ thứ hai trước Công nguyên. (Katz, 2009) 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc
741 
Hình 5. Đường cissoid của Sluse và Huygens (Jahnke, 2016) 
3.2. Các quan niệm về sự hình thành tích phân suy rộng 
Kết quả phân tích lịch sử hình thành Tích phân suy rộng cho thấy quá trình hình thành 
tri thức này chịu ảnh hưởng của các quan niệm sau: 
- Quan niệm hình học: Tích phân suy rộng gắn liền với việc xem xét diện tích của một 
miền 2D không giới hạn hay thể tích của một lập thể dài vô hạn với các phương pháp hình 
học: phương pháp vét cạn, phương pháp không thể chia tách được, phương pháp cầu phương, 
phương pháp đánh đồng. 
- Quan niệm đại số: Tích phân suy rộng gắn liền với việc sử dụng cấp số nhân trong 
phép cầu phương của Fermat. 
- Quan niệm xấp xỉ: được thể hiện trong phương pháp đánh đồng của Archimedes và 
Diophantus. 
3.3. Các đặc trưng tri thức luận của khái niệm tích phân suy rộng 
Từ việc phân tı́ch quá trı̀nh lic̣h sử hı̀nh thành khái niệm tích phân suy rộng dưạ trên 
các tài liệu tham khảo: Babb (2005), Mancosu (1996); Paradı́s, Pla, & Viader (2004); Katz 
(2009), Jahnke (2016), rút ra được các đặc trưng tri thức luận của khái niệm tích phân suy 
rộng như sau: 
- Đặc trưng hữu hạn, vô hạn: Một hình phẳng không bị giới hạn có diện tích hữu hạn, 
một vật thể hình học có chiều dài vô hạn có thể tích hữu hạn. 
- Đặc trưng giới hạn: Rút ra từ định nghĩa Tích phân suy rộng là kết quả giới hạn tại vô 
cực của một “tích phân xác định” khi một cận tiến đến vô cùng, hay giới hạn một bên của 
một “tích phân xác định” tại điểm mà hàm số dưới dấu tích phân không xác định. 
- Đặc trưng không bị giới hạn: Tích phân suy rộng gắn liền với các hình không bị 
giới hạn. 
- Đặc trưng diện tích và thể tích: Khái niệm tích phân suy rộng khởi nguồn từ việc xem 
xét diện tích các hình phẳng và thể tích một lập thể tròn xoay. 
- Đặc trưng chuỗi vô hạn: Lập thể dài vô hạn của Torricelli gắn liền với sự hội tụ của 
chuỗi vô hạn theo quan điểm của Wallis và Leibniz. 
- Đặc trưng tiền toán học: Khái niệm tích phân suy rộng được nghiên cứu nhưng không 
có tên trong các nghiên cứu của Oreme, Torricelli và Fermat. 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744
742 
- Đặc trưng đa tiếp cận: Tiếp cận qua việc tính diện tích miền dưới đường tuyến tính, 
đường phi tuyến tính; qua tính thể tích lập thể tròn xoay sinh ra khi quay một đường hyperbol, 
cissoid xung quanh tiệm cận của chúng. 
3.4. Chướng ngại tri thức luận được nhận dạng 
Những tranh cãi trong lịch sử về một số đối tượng hình học không bị giới hạn cho thấy 
người học khó có thể hiểu được các đối tượng này. Vì thế, sinh viên học Giải tích có thể sẽ 
gặp khó khăn để tưởng tượng và chấp nhận những đối tượng hình học này. 
Từ kết quả phân tı́ch lic̣h sử hı̀nh thành tích phân suy rộng, chúng tôi xác điṇh đươc̣ 
một chướng ngaị tri thức luận của tích phân suy rộng là: 
- Chướng ngại phản trực quan: Một hình phẳng và một lập thể không bị giới hạn nhưng 
có diện tích và thể tích hữu hạn. 
- Chướng ngại tính hữu hạn của tích phân xác định: Tích phân suy rộng là sự khái quát 
hóa tích phân xác định trên miền không giới hạn. 
3.5. Giả thuyết nghiên cứu 
Với hai khó khăn xác định được của sinh viên trong thực nghiệm khảo sát ban đầu: 
- Quan niệm tích phân suy rộng chỉ là tích phân xác định phải có cận vô cực; 
- Bị ảnh hưởng của cận hữu hạn của miền lấy tích phân trong tích phân xác định trong 
việc tính tích phân suy rộng; 
- Quan niệm miền không giới hạn không thể có diện tích hữu hạn, và từ kết quả phân 
tích tri thức luận ở Mục 3.2 và 3.3, chúng tôi xây dựng giả thuyết H sau đây về các khó khăn 
khi sinh viên lần đầu tiếp cận Tích phân suy rộng: 
H. Thuộc tính hữu hạn của các đối tượng hình học quen thuộc là một chướng ngại đối 
với sinh viên khoa Toán khi tiếp cận khái niệm Tích phân suy rộng. 
4. Kết luận 
Kết quả phân tích tri thức luận lịch sử Tích phân suy rộng cho thấy nghĩa của tri thức 
này là hình phẳng không giới hạn có diện tích hữu hạn hay lập thể dài vô hạn có thể tích hữu 
hạn. Sự hình thành của tri thức này chịu ảnh hưởng mạnh mẽ của các quan niệm Hình học 
vào thế kỉ XVII với các phương pháp vét cạn, phương pháp đánh đồng, phương pháp không 
thể chia tách được, phương pháp cầu phương. Cũng chính vào thế kỉ này, đã có hai bước 
nhảy lớn cho sự hình thành khái niệm tích phân suy rộng, đó là sử dụng công cụ cấp số nhân 
của đại số và phương pháp đánh đồng của Fermat trong việc cầu phương đường hyperbol. 
Mặt khác, tri thức này có mối liên hệ chặt chẽ với diện tích hình phẳng, hay thể tích 
lập thể, và chuỗi vô hạn. Tính tồn tại Tích phân suy rộng gắn liền việc xem xét tính hội tụ 
của hàm số tại vô cực. 
Để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở mục 3.5 và ba khó khăn của sinh viên 
khi tiếp cận Tích phân suy rộng, trong nghiên cứu tiếp theo chúng tôi sẽ tiến hành một thực 
nghiệm tại hai Trường: Đại học Khoa học Tự nhiên và Đại học Sài Gòn, và các kết quả 
nghiên cứu sẽ được trình bày trong một bài viết khác. 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc
743 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
BABB, J. (2005). Mathematical Concepts and Proofs from Nicole Oresme: Using the History of 
 Calculus to Teach Mathematics. Science & Education, (14), 443-456. 
Boyer, C. B. (1968). A History of Mathematics, NewYork. 
Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. 
 Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 141-163. 
Jahnke, H. N. (2016). A History of Analysis. History Of Mathematics, 24, American Mathematical 
 Society and London Mathematical Society, 60-61. 
Katz, V. J. (2009). A History of Mathematics – An Introduction. 3rd Edition, Pearson Education, 
 Inc. 
Le, V. T. (2003). A new perspective on the process of teaching the concept of mathematics [Cách 
nhı̀n mới về tiến trı̀nh daỵ hoc̣ khái niệm toán hoc̣]. Journal of Education, 64, Hanoi. 
Mancosu, P. (1996). Philosophy of Mathematics & Mathematical Practice in the Seventeenth 
 Century. New York and Oxford: Oxford University Press. 
Nguyen Dinh Phu, Nguyen Cong Tam, Dinh Ngoc Thanh, & Dặng Duc Trong (2012). Syllabus of 
Analysis of functions of a single variable [Giao trinh Giai tich Ham mot bien]. Viet Nam 
National University Ho Chi Minh City Press. 
Paradı́s, J., Pla, J., &Viader, P. (2004). Fermat and the Quadrature of the Folium of Descartes. 
 The American Mathematical Monthly, 111(3), 216-229. 
Pham Hoang Quan, Dinh Ngoc Thanh, & Dang Duc Trong (2011). Analysis of functions of a single 
variable, Part 2 – Integral – Number Series – function sequences – function series [Giai tich 
ham mot bien Phan 2 – Tich phan – Chuoi so – Day ham – Chuoi ham]. Viet Nam National 
University Ho Chi Minh City Press. 
Stewart, J. (2016). Calculus. Eighth Ed. Boston: Cengage Learning, 568-571. 
Tran Luong Cong Khanh (2006). La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au 
 lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam. Thèse, Université Joseph Fourier, 
 Grenoble, France. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Sài Gòn trong đề tài mã số 
CS2019-27. 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744
744 
AN EPISTEMOLOGICAL ANALYSIS OF THE CONCEPT OF IMPROPER INTEGRAL 
Nguyen Ai Quoc 
Saigon University 
Corresponding author: Nguyen Ai Quoc – Email: nguyenaq2014@gmail.com 
Received: May 25, 2019; Revised: June 04, 2019; Accepted: September 27, 2019 
ABSTRACT 
An improper integral is the generalization of a definite integral on an unlimited domain or 
the integrand that approaches infinity at one or more points in the range of integration. Improper 
integrals cannot be computed using a normal Riemann integral. This paper presents an 
epistemological analysis of the history of developing and forming the concept of improper integral, 
which helps determine the epistemological characteristics of an improper integral and some 
challenges students may face when learning the improper integral. 
Keywords: epistemological analysis; epistemological characteristics; improper integral; 
limit; challenges for students