Lý thuyết về tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace

u diễn thành dạng biến đổi Laplace tương ứng dùng ý niệm trở kháng (hay dẫn nạp), điều kiện đầu dùng mạch nguồn tương đương (máy phát điều kiện đầu). Trong phương pháp này, mạng có thể phân tích theo phương pháp mạch thuần trở. 
	Dùng ý niệm khối (block) để biễu diễn hệ thống lớn với nhiều kết nối thích hợp các hệ con. Các hệ con, được phân tích từ quan hệ vào-ra, như hàm truyền. Phân tích hệ thống lớn được thực hiện dùng kiến thức từ quan hệ vào –ra của các hệ con và từ phương thức kết nối chúng với nhau. 
	Hệ thống LT – TT – BB có thể được thực hiện từ bộ nhân, bộ cộng, và bộ tích phân. Có thể thực hiện hàm truyền với nhiều phưng thức khác nhau, thí dụ kết nối song song, nối tiếp. Trong thực tế, các khối này có thể thực hiện dùng op –amp. 
	Hệ thống phản hồi là hệ thống vòn kín chủ yếu dùng chống lại ảnh hưởng của các thay đổi chưa dự báo được của tham số hệ thống, tải, và môi trường. Các hệ thống này được thiết kế để có được tốc độ mong muốn, và sai số xác lập. Khi điều khiển tốc độ, các tham số quá độ là thời gian lên, thời gian đỉnh, và thời gian thiết lập. Phần trăm vọt lố cho thấy phương thức ngõ ra tăng đến thời gian cuối. Sai dố xác lập có quan hệ với tham số hệ thống. Trong nhiều trường hợp, việc chỉnh định hệ số khuếch đại K có thể giúp có được tính năng cần thiết, nếu điều chỉnh này không đạt, thì cần dùng thêm mạch bổ chính. Quỉ đạo các nghiệm đặc tính của hệ thống được gọi là quĩ đạo nghiệm, rất thích hợp để thiết kế hệ thống phản hồi. 
	Hầu hết các tín hiệu vào trong thực tế thường có dạng nhân quả. Do đó, ta cần quan tâm đến tín hiệu nhân quả. Khi đã giới hạn tín hiệu là nhân quả, thì phân tích dùng biến đổi Laplace được đơn giản rất nhiều; không cần quan tâm đến vùng hội tụ khi phân tích hệ thống. Trường hợp này biến đỗi Laplace được gọi là biến đổi Laplace một bên (chỉ dùng cho tín hiệu nhân quả. Phần 6.8 bàn về dang tổng quát là biến đổi Laplace hai bên, cho phép khảo sát các tín hiệu nhân quả và không nhân quà. Trong biến đổi Laplace hai bên, biến đổi Laplace nghịch của F(s) không độc nhất mà tùy thuộc vào vùng hội tụ của F(s). Do đó, vùng hội tụ giữ vài trò quan trọng trong biến đổi Laplace hai bên. 
Tài liệu tham khảo
Doetsch, G., , Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation with the Table of Laplace Transformation, Springer verlag, New York, 1974.
Le Page, W.R., Complex Variables and the Laplace Transforms for Engineers, McGraw-Hill, New York, 1961.
Durant, Will, and Ariel, The Age of Napoleon, The Story of Civilization Series, Part XI, Simon and Schuster, New York, 1975. 
Bell, E.T., Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937. 
Nahin, P.J., “Oliver Heaviside: Genius and Curmudgean.” IEEE Spectrum, vol. 20, pp. 63-69, July 1983.
Berkey, D., Calculus, 2nd ed., Saunder’s College Publishing, Philadelphia, Pa. 1988.
Encyclopaedia Britannica, Micropaedia IV, 15th ed., Chicago, IL, 1982.
Churchill, R.V., Operational Mathematics, 2nd ed, McGraw-Hill, New York, 1958.
Yang, J.S., and Levine, W.S Chapter 10 in The Control Handbook, CRC Press, 1996. 
Bài tập
Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng hội tụ của các tín hiệu sau:
 (e) 
 (f) 
 (g) 
 (h) 
Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng hội tụ của các tín hiệu trong hình P6.1-2:
Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau
 (f) 
 (g) 
 (h) 
 (i) 
Tìm biến đổi Laplace của các hàm theo thời gian (nếu cần) của biến đổi Laplace một bên:
 (e) 
 (f) 
 (g) 
 (h) 
Chỉ dùng bảng 6.1 và đặc tính dời theo thời gian, tìm biến đổi Laplace của tín hiệu trong hình P6.1-2.
Hướng dẫn: Xem phẩn 1.4 để phân tích tín hiệu
Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau
(a) (c) 
(b) (d) 
Có thể tìm biến đổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn dùng kiến thức của biến đổi Laplace trong chu kỳ đầu
Nếu biến đổi Laplace của trong hỉnh P6.2-4a là , chứng tõ là , biến đổi Laplace của [hình P6.2-4b], là
Từ kết quả này, tìm biến đổi Laplace của tín hiệu trong hình P6.2-4c 
Hướng dẫn: 
Đầu tiên từ , tạo các cặp từ 2 đến cặp 10 trong bảng 6.1, dùng các đặc tính của biến đổi Laplace. Hướng dẫn: là tích phân của , là tích phân của [hay đao hàm lần hai của ], v.v.,..,.
(a)Tìm biến đổi Laplace của xung hình 6.3 chỉ dùng các đặc tính vi phân theo thời gian, dời theo thời gian, và .
Trong thí dụ 6.7, biến đổi Laplace của tìm được từ biến đổi của . Tìm biến đổi Laplace của trong thi 1dụ này bằng cách dùng biến đổi Laplace của .
Hướng dẫn: phần (b) có thể xem là tổng của nhiều hàm bước (trễ với nhiều lượng khác nhau) 
Dùng biến đổi Laplace, giải các phương trình vi phân:
(a) 
(b) 
(c) 
Giải các phương trình vi phân trong bài tập 6.3-1 dùng biến đổi Laplace. Trong từng trường hợp xác định các thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô của nghiệm. 
Giải các phương trình vi phân đồng nhất dùng biến đổi Laplace, giả sử các điều kiện đầu là zerô và ngõ vào 
(a) 
(b) 
 Tìm hàm truyền quan hệ giữa và với ngõ vào 
Cho mạch điện hình P6.3-4, chuyển mạch ở vị trí mở thời gian dài trước , khóa được đóng lại tức thì
(a) Viết phương trình vòng (trong miền thời gian) khi 
 (b) Giải tìm và bằng phương pháp biến đổi Laplace. 
Tìm hàm truyền của các hệ thống đặc trưng bằng phương trình vi phân
(a) 
 (b) 
 (c) 
Tìm phương trình vi phân biểu diễn quan hệ giữa ngõ ra với ngõ vào , từ các hệ thống có hàm truyền sau:
(a) (b) 
(c) 
Hệ thống có hàm truyền 
Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrô) khi ngõ vào là:
(i) (ii) (iii) (iv) (v) 
Viết phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa ngõ ra với ngõ vào 
Làm lại bài tập 6.3-7 khi
 và ngõ vào là: (a) (b) 
Làm lại bài tập 6.3-7 khi
 và ngõ vào là 
Cho hệ LT – TT – BB có các điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ban đầu ở trạng thái- zêrô), ngõ vào tạo ngõ ra , chứng tõ là:
(a) ngõ vào tạo ngõ ra 
(b) ngõ vào tạo ngõ ra , từ đó, chứng tõ đáp ứng bước đơn vị của hệ thống là tích phân của đáp ứng xung đơn vị, tức là 
Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô của mạng hình P6.4-1 nếu điện áp ngõ vào . Tìm hàm truyền quan hệ giữa ngõ ra và ngõ vào , tiếp đến, viết phương trình vi phân vào – ra của hệ thống.
Chuyển mạch trong hình P6.4-2 được đóng trong thời gian dài và được mở tức thời tại . Tìm và vẽ dòng điện 
Tìm dòng điện trong mạch cộng hưởng hìnhP6.4-3 khi ngõ vào là:
(a) 
 (b) 
 Giả sử mọi điều kiện đầu là zêrô 
Tìm dòng điện vòng và khi trong mạch hình P6.4-4a khi ngõ vào được vẽ trong hình P6.4-4b.
Trong mạch hình P6.4-5, chuyển mạch được đóng trong thời gian dài, và được mở tức thời tại . Tìm và khi 
Tìm điện áp ra khi V trong mạch hình P6.4-6 khi ngõ vào là và hệ thống ban đầu ở trạng thái – zêrô.
Tìm điện áp ra trong mạch hình P6.4-7 nếu điều kiện đầu là và (Hướng dẫn: Dùng dạng song song của máy phát điều kiện đầu)
Cho mạng hình P6.4-7, chuyển mạch ở vị trí a trong thời gian dài và được chuyển tức thời sang vị trí b tại . Tìm dòng điện khi 
Hướng dẫn: dùng mạch tương đương Thevenin
Chứng tõ là hàm truyền giữa điện áp ngõ ra và điện áp ngõ vào của mạch op –amp trong hình P6.4-9a là
 với và 
 Và hàm truyền của mạch hình P6.4-9b là 
Trong hệ bậc hai dùng op-amp trong hình P6.4-10, chứng tõ hàm truyền giữa điện áp ngõ ra và điện áp ngõ vào là
Dùng định lý giá trị đầu và giá trị cuối, tìm giá trị đầu và giá trị cuối của đáp ứng trạng thái – zêrô của hệ thống có hàm truyền 
 và với ngõ vào là: (a) (b) .
Hình P6.5-1a vẽ hai đoạn vào) là ½. Hình P6.5-1b vẽ hai đoạn này được nối đuôi nhau
Hàm truyền của mạng nối đuôi này có phải là (1/2)(1/2)=1/4?
Nếu đúng, chứng minh lại dùng phép tính hàm truyền?
Làm lại bài tập khi . Điều này có quan hệ gì với câu (b) 
Trong hình 6.18, và là các đáp ứng xung của hệ thống có hàm truyền là và . Xác định đáp ứng xung của kết nối nối tiếp và kết nối song song của và vẽ ờ hình 6.18b và c.
Thực hiện 
bằng dạng chính tắc, nối tiếp và song song 
Làm lại bài 6.6-1 nếu 
(a) (b) 
Làm lại bài 6.6-1 nếu 
 Hướng dẫn: đưa hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của mẫu số về đơn vị.
Làm lại bài 6.6-1 nếu 
 Hướng dẫn: trường hợp này m = n = 3 
Làm lại bài 6.6-1 nếu 
Làm lại bài 6.6-1 nếu 
Bài tập này được dùng để cho thấy cặp cực phức liên hợp có thể dùng thực hiện mạch nối đuôi hai hàm truyền bậc nhất. Chứng tõ hàm truyền các sơ đồ khối trog hình P6.6-7a và b là:
(a) 
(b) , từ đó, chứng minh là hàm truyền của sơ đồ khối trong hình P6.6-7c là
(c) 
Dùng op –amp thực hiện hàm truyền sau:
(i) (ii) (iii) 
Dùng op – amp thực hiện mạch có hàm truyền sau
Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau
Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau
Tìm thời gian lên tr, thời gian thiết lập ts, phần trăm vọt lố (PO), và sai số xác lập es, er , và ep cho các hệ thống sau, có hàm truyền là: 
(a) (b) (c) 
Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-2, đáp ứng bước đơn vị cho thấy thời gian đỉnh , phần trăm vọt lố (PO = 9%), và giá trị xác lập của ngõ ra với tín hiệu bước đơn vị là . Tìm và a. 
Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-3, có các đặc tính sau , , phần trăm vọt lố (PO ), và . Cho biết đặc tính nào không phù hợp với hệ thống có giá trị K bất kỳ? Đặc tính nào phù hợp với chỉnh định K đơn giản? 
Hàm truyền vòng hở của bốn hệ vòng kín cho dưới đây. Vẽ quỹ đạo nghiệm cho từng trường hợp
(a) (c) 
(b) (d) 
Trong hệ phản hồi đơn vị ở hình P6.7-5. Ta cần đạt các đặc tính sau , , và . Có khả năng thực hiện các đặc tính này bằng cách chỉnh định K không? Nếu không, đề nghị dạng mạch bù thích hợp và tìm lại các giá trị , , và . 
Tìm vùng hội tụ, nếu tồn tại của biến đổi Laplace (hai bên) của các tín hiệu sau: 
(a) (b) (c) (d) (e) 
Tìm biến đổi Laplace (hai bên) và vùng hội tụ tương ứng của các tín hiệu sau:
(a) (b) (c) 
 (d) (e) (f) 
Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên)
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên)
 nếu vùng hội tụ là 
 (a) (b) (c) (d) 
Hệ LT – TT – BB và nhân quả có hàm truyển 
 , tìm ngõ ra khi ngõ vào là 
 (a) (d) 
 (b) (e) 
 (c) (f)