Lý thuyết về tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi Fourier

hẵn và lẻ (xem phần 1.5-2)
 (a) Nếu , chứng minh là với hàm thực 
 và 
(b) Kiểm nghiệm lại kết quả bằng cách tìm biến đổi Fourier của các thành phần hàm chẵn và hàm lẻ của các tín hiệu sau: (i) (ii) 
Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.1-4. 
Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.1-5. 
Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-6. 
Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-7. 
Vẽ các hàm sau:
(a) (b) (c) (d) (e) 
(f) 
Hướng dẫn: là dời phải đoạn a. 
Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của rect (t – 5) là . Vẽ phổ biên độ và phổ pha.
Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của là .
Tìm biến đổi Fourier nghịch của của các phổ vẽ trong hình P4.2-4a và P4.2-4b.
Hướng dẫn: . Bài tập này cho thấy phương thức khi các phổ pha khác nhau biểu diễn tín hiệu hoàn toàn khác nhau (dù có cùng phổ biên độ)
Dùng đặc tính đối xứng cho các cặp thích hợp trong bảng 4.1 để chứng minh là
(a) (b) 
 (c) 
Biến đổi Fourier của xung tam giác trong hình P4.3-2a là
 Dùng thông tin này, và các đặc tính dời theo thời gian và tỉ lệ theo thời gian, tìm biến đổi Fourier của các tìn hiệu vẽ trong hình P4,3-2
Hướng dẩn: Xem phần 1.3 về các phép tính đối với tín hiệu. Xung có thể xem là tổ hợp của và với các thời gian trễ thích hợp (có thể là dương hay âm)
Chỉ dùng tính dời theo thời gian và bảng 4,1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu vẽ trong hình P4.3-3. Hướng dẫn: Tín hiệu trong các hình b, c, và d có thể viết thành dạng . 
Dùng đặc tính dời theo thời gian, chứng tõ 
 nếu thì .
 Đây là dạng đối ngẫu của phương trình (4.41). Dùng kết quả này và cặp 17, cặp 19 trong bảng 4.1 để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu trong hình P4.3-4. 
Chứng tõ các kết quả sau đối ngẫu lẫn nhau
 Dùng các kết quả này và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-5.
Các tín hiệu trong hình P4.3-6 là tín hiệu đã điều chế với sóng mang . Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu này dùng đặc tính thíc hợp của biến đổi Fourier và bảng 4.1. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của phần (a) và (b).
Dùng đặc tính dời theo tần số và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.3-7. 
Dùng đặc tính tích chập theo thời gian, chứng tõ cặp 2, 4, 13 và 14 trong bảng 2.1 (giả sử trong cặp 2, và trong cặp 4, và trong cặp 13, và trong cặp 14). 
Hướng dẫn: Dùng khai triển đa thức. Đối với cặp 12, dùng kết quả từ phương trình (1.23) 
Tín hiệu có băng thông giới hạn ở B Hz. Chứng tõ là tín hiệu có băng thông Hz. Hướng dẫn: Bắt đầu với n = 2. Dùng đặc tính của tích chập theo tần số và đặc tính về độ rộng của phép tích chập. 
Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-3a với ba phương pháp khác nhau:
Lấy tích phân trực tiếp từ định nghĩa (4.8a)
Chỉ dùng cặp 17 và đặc tính dời theo thời gian
Dùng các đặc tính vi phân và dời theo thời gian, và 
 Hướng dẫn: 
(a) Chứng minh đặc tính vi phân theo tần số (đối ngẫu với vi phân theo thời gian)
(b) Dùng đặc tính này và cặp 1 (bảng 4.1), xác định biến đổi Fourier của 
4.4- 1 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền
 Tìm đáp ứng trạng thái zêrô nếu ngõ vào là:
 (a) (b) (c) (d) 
 Hướng dẫn: Từ phần (d), cần áp dụng kết quả của phương trình (1.23) 
4.4-2 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền
 Tìm đáp ứng xung của hệ thống và chứng tõ đây là hệ thống không nhân quả. Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô của hệ thống khi ngõ vào là: (a) (b) 
 Tín hiệu và là các ngõ vào của bộ lọc thông thấp lý tưởng và (hình P4.4-3). Các ngõ ra và của các bộ lọc được nhân với nhau để có .
Vẽ và 
Vẽ và 
Vẽ và 
Tìm băng thông của , và 
 Hướng dẫn cho phần (d): Dùng đặc tính tích phân chập và đặc tính về độ rộng của tích phân chập để xác định băng thông của . 
 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng xung (xem phần 2.7-2). Xung vào có cường độ bằng với điện tích của nếu độ rộng của là rất bé so với hằng số thời gian của hệ thống. Giả sử là xung thông thấp, tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ thống có đáp ứng xung đơn vị là . Xung vào là xung tam giác . Phần diện tích của xung là . Chứng tõ là đáp ứng của hệ thống với xung này rất giống với đáp ứng hệ thống khi ngõ vào là . 
 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng xung (xem phần 2.7-2). Xung vào hệ thống không bị méo trong thực tế, nếu độ rộng của rất lớn hơn hằng só thời gian của hệ thống. . Giả sử là xung thông thấp, tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ thống có đáp ứng xung đơn vị là . Xung vào là xung tam giác . Chứng tõ là đáp ứng của hệ thống với xung này rất gần với là độ lợi của hệ thống khi ngõ vào là tín hiệu dc, tức là .
 Tín hiệu nhân quả có biến đổi Fourier là . Nếu và là phần thực và phần ảo của , tức là , chứng minh:
 và 
	Giả sử không có xung tại gốc, thì cặp tích phân trên gọi là biến đổi Hilbert.
 Hướng dẫn: gọi và là các thành phần chẵn và lẻ của . Dùng kết quả trong bài tập 4.1-3, xem phương trình 1.24 để tìm quan hệ giữa và . Nhắc lại . Dùng đặc tính tích phân chập. 
 Bài tập này cho thấy các đặc tính quan trọng của hệ thống nhân quả: là phần thực và phần ảo quan hệ với nhau trong hàm truyền của hệ thống nhân quả. Nếu đã đặc trưng phần thực thì phần ảo không thể đặc trưng độc lập nũa. Phần ảo đã được định trước từ phần thực, và ngược lại. Kết quả này dẫn đến kết luận là biên độ và pha của có quan hệ với nhau khi mọi cực và zêrô đều nằm bên trái mặt phẳng phức.
 Xét bộ lọc có hàm truyền 
 Chứng tõ hàm truyền này là không thực hiện được trong thực tế dùng các tiêu chuẩn trong miền thời gian [hàm không nhân quả và các tiêu chuẩn trong miền tần số (Paley-Wiener). Bộ lọc này có thể thực hiện xấp xỉ không với việc chọn đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn riêng về xấo xỉ của bạn để xác định . Hướng dẫn: Dùng cặp 22 trong bảng 4.1. 
 Chứng tõ bộ lọc với hàm truyền
 Là không thực hiện được. Có thể thực hiện mạch xấp xỉ khi cho t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn xấp xỉ của bạn để xác định t0.
 Hướng dẫn: chứng tõ và đáp ứng xung là không nhân quả. 
 Xác định xem các bộ lọc với hàm truyền sau là thực hiện được trong thực tế
Nếu không thực hiện được, thì có thể thực hiện chúng một cách chính xác hay xấp xỉ bằng cách cho thời gian trễ hữu hạn trong đáp ứng?
= (a) (b) (c) 
Chứng tõ là năng lượng của xung Gauss
 là . Kiểm nghiệm kết quả bằng cách tìm năng lượng từ dùng định lý Parseval. Hướng dẫn: Xem cặp 22 trong bảng 4,1. Dùng sự kiện
Chứng tõ là 
 Hướng dẫn: thừa nhận là tích phân trên là năng lượng của . Tìm năng lượng dùng định lý Parseval. 
Tín hiệu thông thấp được đưa qua linh kiện có tính bình phương. Ngõ ra được đưa qua mạch lọc thông thấp có băng thông là (Hz) trong hình P4.6-3. Chứng tõ là nếu rất nhỏ (), thì ngõ ra là tín hiệu dc .
Hướng dẫn: Nếu 
, chứng minh là nếu , chứng minh rằng 
Tổng quát hóa định lý Parseval để chứng minh là với tín hiệu thực, có biến đổi Fourier và thì
Cho tín hiệu 
 Xác định băng thông chủ yếu B Hz của sao cho năng lượng chứa trong các thành phần phổ của có tần số thấp hơn B Hz là 99% của năng lượng tín hiệu . Hướng dẫn: Xem bài tập E 4.5b 
4.7-1 Với mỗi trong ba tín hiệu băng nền 
(i) (ii) (iii) 
(a) Vẽ phổ của 
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC .
(c) Tìm phổ của biên tần trên (USB) và biên tần dưới (LSB)
(d) Tìm các tần số trong băng nền, và các tần số tương ứng của phổ DSB – SC, USB và LSB. Tìm bản chất của sự dời tần trong từng trường hợp. 
Bạn được yếu cầu thiết kế bộ điều chế DSB – SC tạo tín hiệu điều chế , trong đó là tín hiệu có băng thông giới hạn là B Hz (hình P4.7-2a). Hình P4.7-2b vẽ bộ điều chế DSB – SC thích hợp. Bộ lọc thông dải chỉnh ở tần số . Máy phát sóng mang không tạo ra mà tạo ra 
Bạn có thể tạo ra tín hiệu cần thiết chỉ dùng thiết bị này không? nếu được, cho biết k là bao nhiêu?
Xác định phổ tín hiệu tại điểm b và c, và cho biết dải tần số của các phổ trên
Cho biết giá trị tối thiểu để còn được dùng?
Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là ? Giải thích?
Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là ? Với các giá trị số nguyên?
Trong thực tế, việc nhân tín hiệu analog thường phức tạp và tốn kém. Do đó, trong bộ điều chế biên độ, cần tìm ra cách khác để nhân với . May mắn là trong trường hợp này, ta có thể thay phép nhân bằng tác động chuyển mạch. Tương tự cho trường hợp giải điều chế. Trong sơ đồ hình P4.7-3a, chu kỳ của xung vuông tuần hoàn trong hình P4.7-3b là . Bộ lọc thông dải có tần số trung tâm là . Chú ý là phép nhân xung vuông tuần hoàn trong hình P4.7-3b thực ra là chuyển mạch on –off theo chu kỳ của . Đây là sơ đồ tương đối đơn giản và rẽ tiền.
Chứng tõ là sơ đồ này có thể tạo tín hiệu đã điều chế . Xác định giá trị của k. Chứng tõ là sơ đồ này còn có thể dùng giải điều chế khi thay bộ lọc thông dải trong hình P4.7-3a bằng bộ lọc thông thấp (hay băng nền). 
Hình P4.7-4 giới thiệu sơ đồ giải điều chế đồng bộ. Chứng tõ là sơ đồ này có thể giải điều chế tín hiệu AM, bất chấp giá trị A.
Vẽ tín hiệu AM, của tín hiệu tuần hoàn tam giác vẽ trong hình P4.7-5 tương ứng với các chỉ số điều chế (a) (b) (c) và (d) .
Hảy diễn giải trường hợp 
Với từng tín hiệu trong ba tín hiệu băng nền
 (i) (ii) (iii) 
(a) Vẽ phổ của 
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC .
(c) Từ phổ của phần (b), loại phổ biên tần dưới (LSB) để có phổ biên tần trên USB.
(d) Biết được phổ USB trong (b), viết biểu thức của tín hiệu USB.
(e) Làm lại phần (c) và (d) đề có tín hiệu LSB 
4.8-1 Vẽ và của tín hiệu điều chế trong hình P4.8-1, cho biết ,
 và .
4.8-2 Một tín hiệu băng nền là tín hiệu sóng răng cưa vẽ trong hình P4.8-2. Vẽ và của tín hiệu điều chế nếu , và . Giải thích tại sao phải có trong trường hợp này?
4.8-3 Tín hiệu điều chế 
 Tìm băng thông tương ứng với và nếu và . 
Tín hiệu điều chế góc mô tả bằng phương trình
 (a) Tìm độ dời tần (b) Ước lượng băng thông của 
Làm lại bài tập P4.8-4 nếu