Lý thuyết về tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian

ệ thống tạo ra, với giả sử là mọi tác động bên ngoài là zêrô. Đáp ứng trạng thái –zêrô là đáp ứng do tác động từ ngõ vào bên ngoài, với giả sử là mọi điều kiện đầu là zêrô, tức là hệ thống ở trạng thái zêrô.
Hàm xung đơn vị là dạng mô hình toán học lý tưởng của tín hiệu không tạo được trong thực tế. Tuy nhiên, tín hiệu dạng này lại là phương tiện rất hữu ích khi phân tích tín hiệu và hệ thống. Đáp ứng xung của hệ thống là tổ hợp các chế độ đặc tính của hệ thống do xung khi . Do đó, đáp ứng khi phải là đáp ứng ngõ vào –zêrô, như đã nới, chính là các chế độ đặc tính.
Đáp ứng trạng thái –zêrô (đáp ứng với ngõ vào bên ngoài) của hệ thống tuyến tính có được bằng cách chia ngõ vào thành nhiều thành phần đơn giản hơn rồi thực hiện phép cộng tất cả các đáp ứng thành phần. Trong chương này, ta cho các ngõ vào bất kỳ thành tổng của nhiều xung vuông độ rộng hẹp [phương pháp xấp xỉ bậc thang cho ]. Khi cho độ rộng xung , xung vuông biến thành xung. Khi biết được đáp ứng xung của hệ thống, ta tìm được đáp ứng hệ thống của tất cả các xung thành phần và rồi cộng chúng lại để có đáp ứng hệ thống với ngõ vào . Tổng các đáp ứng các xung thành phần có dạng một tích phân, được gọi là tích phân chập. Đáp ứng hệ thống có được bằng cách lấy tích phân chập của tín hiệu vào với đáp ứng xung . Như thế, biết được đáp ứng xung cho phép ta xác định đáp ứng hệ thống với ngõ vào bất kỳ. 
Hệ LT – TT –BB có quan hệ rất đặc biệt vớ itín hiệu không dừng mủ do đáp ứng của hệ LT – TT – BB với tín hiệu dạng này chính là cùng tín hiệu nhân với hằng số. Đáp ứng của hệ thống LT – TT –BB với ngõ vào là tín hiệu không dừng dạng mủ là , với là hàm truyền của hệ thống.
Các phương trình vi phân mô tả hệ LT – TT – BB có thể được giải dùng phương pháp cổ điển, theo đó đáp ứng có được là tổng của đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, điều này không giống với đáp ứng thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô, cho dù chúng đều thỏa cùng phương trình. Phương pháp này tuy đơn giản nhưng có nhiểu yếu điểm do chỉ áp dụng được cho một số dạng tín hiệu vào, và đáp ứng hệ thống không biểu diễn được theo hàm tường minh của ngõ vào. Hạn chế này làm phương pháp không dùng được khi nghiên cứu lý thuyết về hệ thống. 
Hệ thống tuyến tính ở trạng thái zêrô khi mọi điều kiện đầu là zêrô. Hệ thống ở trạng thái zêrô không có khả năng tạo ra bất kỳ đáp ứng nào khi chưa có tín hiệu vào. Khi một số điều kiện đầu được đưa vào hệ thống, nếu hệ thống có xu hướng về zêrô khi không có tín hiệu ngõ vào, thì được gọi là ổn định tiệm cận. Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống tăng vô hạn, thì hệ thống là không ổn định, ngoài ra còn có trường hợp hệ thống ở biên ổn định. 
Các tiêu chuẩn ổn định theo vị trí nghiệm đặc tính của hệ thống được tóm tắt thành: 
Hệ LT – TT – BB là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp.
Hệ LT – TT – BB là không ổn định nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp.
Hệ LT – TT – BB là ở biên ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu, không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, và có một số nghiệm lặp trên trục ảo của mặt phẳng phức. 
Dựa vào định nghĩa khác về ổn định là: ổn định BIBO (bounded-input, bounded output), tức là hệ thống ổn định nếu các ngõ vào bị chặn tạo các ngõ ra bị chặn. Ngược lại là hệ BIBO không ổn định. Hệ BIBO ở biên ổn định luôn là hệ BIBO ổn định, tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. 
Hoạt động đặc tính của hệ thống là cực kỳ quan trọng do không chỉ xác định đáp ứng hệ thống với điều kiện nội tại (hoạt động ngõ vào – zêrô) mà còn xác định đáp ứng với ngõ vào (hoạt động trạng thái – zêrô) và tín hổn định của hệ thống. Đáp ứng của hệ thống với tín hiệu từ ngoài được xác định dùng đáp ứng xung, mà tự thân đáp ứng xung đã bao gồm các chế độ đặc tính. Độ rộng của đáp ứng xung được gọi là hằng số thời gian của hệ thống, chỉ thị tốc độ đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào. Hằng số thời gian giữ vai trò quan trọng để xác định nhiều hoạt động khác nhau của hệ thống như đáp ứng theo thời gian và tính lọc của hệ thống, sự phân tán của xung, và tốc độ truyền xung qua hệ thống.
Tài liệu tham khảo
Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, California, 1987.
Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980.
Lathi, B.P., Modern Digital and Analog Communication Systems, Third Ed,.Oxford University Press, New York, 1998.
Bài tập
Hệ LT – TT –BB đặc trưng bởi phương trình
Tìm đa thức đặc tính, phương trình đặc tính, nghiệm đặc tính, và các chế độ đặc tính của hệ thốn gnày
Tìm , thành phần ngõ vào – zêrô của đáp ứng khi , nếu điều kiện đầu là và 
Làm lại bài tập 2.2-1 khi
 , điều kiện đầu là và 
Làm lại bài tập 2.2-1 khi
 , điều kiện đầu là và 
Làm lại bài tập 2.2-1 khi
 , điều kiện đầu là và 
 Làm lại bài tập 2.2-1 khi
 , điều kiện đầu là và 
Làm lại bài tập 2.2-1 khi
 , điều kiện đầu là và 
Làm lại bài tập 2.2-1 khi
 , điều kiện đầu là , và 
Tìm đáp ứng xung của hệ thống đặc trưng bởi phương trình
Làm lại bài tập 2.3-1 nếu 
Làm lại bài tập 2.3-1 với bộ lọc bậc một 
 X
Tìm đáp ứng xung của hệ LT – TT BB đặc trưng bởi phương trình
Nếu , chứng minh là , với và là diện tích tương ứng lần lượt là và . Kiểm tra đặc tính diện tích của tích phân chập trong thí dụ 2.6 và 2.8.
Nếu , chứng minh là . Đặc tính tỉ lệ thời gian của tích phân chập cho là cả và đều được tỉ lệ theo a, tích phân chập của chúng cũng được tỉ lệ theo a (và nhân với ).
C hứng tõ là tích phân chập của hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ và tích phân chập giữa hai hàm lẻ hay hai hàm chẵn là hàm chẵn.
Hướng dẫn: dùng đặc tính tỉ lệ theo thời gian của tích phân chập trong bài tập 2.4-2.
Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính . 
Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính ,và .
Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính , và 
 Đáp ứng xung đơn vị của hệ LT- TT –BB là . Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrô) khi tín hiệu vào là 
(a) (b) (c) (d) 
 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu khi tín hiệu vào là 
(a) (b) (c) 
 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu khi tín hiệu vào 
 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu khi tín hiệu vào là 
 (a) (b) 
Làm lại bài tập 2.4-7 nếu khi tín hiệu vào là (a) , (b) (c) (d) xung vuông vẽ ở hình P2.4-11, và vẽ trong trường hợp (d). Hướng dẫn: ngõ vào tại (d) có thể được viết thành . Trường hợp (c) và (d), dùng tính dời theo thời gian (2.34) của tích phân chập. (Ngoài ra, còn có thể dùng tính bất biến và tính xếp chồng) 
Hệ thống lọc bậc nhất có đáp ứng xung 
(a) Tìm đáp ứng trạng thái –zêrô của bộ lọc khi có tín hiệu vào 
 (b) Vẽ ngõ vào và đáp ứng trạng thái – zêrô tương ứng 
 Vẽ hàm và . Tìm và vẽ kết quả.
 Hình P2.4-14 vẽ và . Tìm và vẽ 
Tìm và vẽ vẽ ở hình P2.4-15
Tìm và vẽ trong cặp hàm vẽ ở hình P2.4-16
Hệ LT – TT – BB, nếu đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào là , chứng minh là đáp ứng đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào là , và đáp ứng khi ngõ vào là .
Nếu , chứng minh 
Mở rộng kết quả để chứng minh là 
Trong đó là đạo hàm của , và mọi đạo hàm của và tồn tại
Hướng dẫn: Dùng phần đầu trong hướng dẫn trong bài tập 2.4-17 và đặc tính dời theo thời gian của tích phân chập.
Như đã bàn trong chương 1 (hình 1.27b), có thể biểu diễn ngõ vào theo các thành phần hàm bước, như vẽ trong hình P2.4-19. Nếu là hàm bước đơn vị của hệ LT – TT – BB , chứng minh là đáp ứng (trạng thái-zêrô) của hệ
 LT – TT – BB theo ngõ vào có thể biểu diễn thành
Hướng dẫn: từ hình P2.4-19, thành phần đáp ứng bước được tô bóng được cho bởi . . Đáp ứng hệ thống là tổng tất cả các thành phần. 
Điện tích đường đặt dọc theo truc x có mật độ điện tích . Chứng tõ là điện trường do điện tích đường tạo nên tại điểm x là
 với 
 Hướng dẫn: Điện tích trong khoảng đặt tại là . Đồng thời, theo luật Coulomb, điện trường tại khoảng cách r đến điện tích q được cho bởi 
Xác định , hàm truyền của bộ trễ lý tưởng theo thời gian T giây. Tìm kết quả bằng hai phương pháp: dùng phương trình (2.48) và dùng phương trình (2.49).
Dùng phương pháp cổ điển, giải nếu điều kiện đầu là , và khi ngõ vào 
(a) (b) (c) 
Dùng phương pháp cổ điển, giải nếu điều kiện đầu là , và khi ngõ vào .
Dùng phương pháp cổ điển, giải nếu điều kiện đầu , , khi ngõ vào (a) (b) 
Dùng phương pháp cổ điển, giải nếu điều kiện đầu , , khi ngõ vào .
Làm lại bài tập 2.5-1, nếu ngõ vào 
Giải thích, lý luận và cho biết các hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi các phương trình sau là ổn định tiệm cận, biên ổn định hay không ổn định
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
Làm lại bài 2.6-1, nếu 
(a) 
(b) 
(c) 
 (d) 
Đối với hệ LT – TT – BB có đáp ứng xung là 
Xác định các nghiệm đặc tính của hệ thống này
Hệ thống là ổ định tiệm cận, ở biên tiệm cận, hay không ổn định
Hệ thống có ổn địnhBIBO
Hệ thống có thể dùng làm gì?
Trong phần 2.6, ta đã chứng minh là hệ LT – TT – BB thì điều kiện (2.65) là đủ để hệ ổn định BIBO. Chứng minh đây cũng là điều kiện cần để có ổn định BIBO. Nói cách khác, chứng minh là khi phương trình (2.65) không thỏa thì tồn tại ngõ vào bị chặn, tạo ngõ ra không bị chặn.
Hướng dẫn: giả sử là hệ thống tồn tại có vi phạm phương trình (2.65) và tạo ngõ ra bị chặn với từng ngõ vào bị chặn. Thiết lập nghịch lý này qua việc xem một ngõ vào định nghĩa với khi và khi , với là thời điểm hằng. 
Dữ liệu với tốc độ 1 triệu xung trong một giây được truyền qua kênh thông tin. Đáp ứng bước đơn vị của kênh truyền được vẽ ở hình P2.7-1.
Cho biết kênh truyền này có truyền được dữ liệu với tốc độ yêu cầu không?
Có thể truyền tín hiệu gồm các thành phần có tần số cao hơn 15 kHz có thể truyền qua kênh với độ trung thực cao hơn? 
Một kênh thông tin có khổ sóng 10kHz. Xung có độ rộng 0,5 ms được truyền qua kênh này.
Xác định độ rộng của xung thu được
Tìm tốc độ tối đa mà các xung này có thể truyền qua kênh mà không bị giao thoa giữa các xung liên tiếp.
Hệ LT – TT – BB bậc một có phương trình đặc tính 
Xác định , thời gian lên của đáp ứng bước đơn vị
Xác định băng thông của hệ thống
Xác định tốc độ mà xung thông tin có thể truyền qua hệ thống.