Lý thuyết về tín hiệu và hệ thống - Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống

= 0. Hàm xung có đặc tính lấy mẩu (hay đặc tính dời), theo đó phần diện tích của tích một hàm với xung đơn vị thì bằng với giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại xung đơn vị (với giả sử là hàm liên tục tại vị trí tồn tại của xung). Theo xu hướng hiện đại, hàm xung được xem là hàm tổng quát và được định nghĩa từ đặc tính lấy mẩu. 
Hàm mủ est, trong đó s là số phức, liên quan đến nhiều loại tín hiệu bao gồm từ hằng số, hàm mủ đơn điệu, hàm sin, và hàm sin thay đổi theo dạng mủ. 
Tín hiệu đối xứng theo trục dọc (t = 0) là hàm chẵn theo thời gian và phản đối xứng theo trục dọc là hàm lẻ theo thời gian. Tích của hàm chẵn với hàm lẻ là hàm lẽ theo thời gian. Tuy nhiên, tích của hàm chẵn với hàm chẵn hay tích của hàm lẻ với hàm lẻ là một hàm chẳn. Diện tích của hàm lẻ từ t = - a đến a luôn luôn là zêrô, bất chấp giá trị của a. Mặt khác, diện tích của phần chẵn từ t = - a đến a luôn là hai lần phần diện tích của tích hiệu lấy từ t =0 đến a (hay từ t =-a đến 0). Các tín hiệu đều có thể viết thành tổng của hàm chẵn và hàm lẻ theo thời gian.
Hệ thống xử lý các tín hiệu ngõ vào để tạo các tín hiệu ngõ ra (đáp ứng). Ngõ vào là nguyên nhân còn ngõ ra là hậu quả. Thông thường, ngõ ra bị tác động bởi hai nguyên nhân: điều kiện nội tại của hệ thống (như các điều kiện đầu) và tín hiệu tác động bên ngoài.
 Có nhiều phương pháp phân loại hệ thống:
Hệ thống tuyến tính được đặc trưng từ tính tuyến tính, bao hàm tính xếp chồng; nếu có nhiều nguyên nhân (thí dụ như có nhiều ngõ vào và nhiều điều kiện đầu) tác động vào hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng tổng là tổng của đáp ứng do từng nguyên nhân, với điều kiện các tác động khác là không tồn tại. Hệ phi tuyến là hệ không tuyến tính. 
Hệ bất biến theo thời gian được đặc trưng từ các tham số của hệ thống là không đổi theo thời gian. Tham số của hệ không bất biến thì thay đổi theo thời gian.
Trong hệ thống không có tính nhớ (hệ tức thời), đáp ứng ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào (tại thời điểm t). Trong hệ có tính nhớ (còn gọi là hệ thống động), đáp ứng của hệ thống tại thời điểm bất kỳ t không chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào, mà còn phụ thuộc trị quá khứ của ngõ vào (trị trước thời gian t). 
Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống tại t chỉ phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào (giá trị của ngõ vào sau t), thì hệ thống là không nhân quả. Trong hệ nhân quả, đáp ứng không phụ thuộc vào trị tương lai của ngõ vào. Ngõ ra hệ không nhân quả phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào, nên đáp ứng ra xuất hiện trước khi có nguyên nhân. Khi hệ không nhân quả có biến độc lập là thời gian (hệ thời gian), thì hệ là hệ dự báo, nên không thể thực hiện được hệ thống trong thực tế, dù cho có được phép xấp xỉ gần đúng với một số khâu trễ tại ngõ ra. Hệ không nhân quả có biến độc lập khác biến thời gian (thí dụ có biến không gian) thì thực hiện được. 
Nếu các phẩn tử trong hệ thống có kích thước bé so với độ dài sóng của tín hiệu, ta có thể giả sử là mỗi phần tử là có tham số tập trung, và hệ thống được xem là hệ có tham số tập trung. Trong giả sử này thì các tín hiệu chỉ là hàm theo thời gian. Khi giả sử này không đúng thì tín hiệu là hàm theo không gian và thời gian; và còn được gọi là hệ có tham số phân bố.
Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra liên tục theo thời gian là hệ liên tục theo thời gian; hệ thống có các tín hiệu vào và ngõ ra là rơòi rạc theo thời gian là hệ rời rạc theo thời gian. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục theo thời gian, ta có tín hiệu rời rạc theo thời gian. Có thể xử lý tín hiẹu liên tục theo thời gian dùng hệ rời rạc xử lý các mẩu của tín hiệu này.
 Hệ thống có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog là hệ thống analog; còn hệ có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là hệ thống số.
Nếu có thể khôi phục tín hiệu vào f(t) từ ngõ ra y(t) của hệ thống S thông qua một số phép tính, thì hệ thống S được gọi là hệ khả nghịch, ngược lại là hệ không khả nghịch. 
Hệ thống có mô hình tìm được từ kiến thức của cấu trúc bên trong của hệ thống được gọi là mô tả nội tại. Ngược lại, mô tả bên ngoài của hệ thống có mô tả được nhìn từ các đầu ngõ vào và ngõ ra của hệ thống; mô tả này có được từ bằng cách đưa vào hệ thống một ngõ vào đã biết rồi đo lường ngõ ra. Trong hầu hết các hệ thống thực tế, thì mô tả nội tại thường tương đương với mô tả từ bên ngoài. Tuy nhiên, trong một số trường hợp mô tả bên ngoài không cung cấp đủ thông tin về hệ thống, trường hợp này, hệ được gọi là hệ không điều khiểun được hay không quan sát được. 
Tài liệu tham khảo
Papoulis, A., The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 1962.
Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980.
Lathi, B.P., Signals, Systems and Communications, Viley, New York, 1965.
Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, California, 1987.
Bài tập
Tìm năng lượng của tín hiệu trong hình P1.1-1. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu đổi dấu. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu được nhân với k.
Làm lại bài tập 1.1-1 dùng hình P1.1-2.
(a) Tìm năng lượng của cặp tín hiệu x(t) và y(t) được vẽ ở hình P1.1-3a và P1.1-3b. Vẽ và tìm năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) và x(t) + y(t). Nhận xét gỉ tử các kết quả ? (b) Làm lại phần (a) dùng hình P1.1-3, cho biết nhận xét trong phần (a) còn có giá trị không? 
Tìm công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) trong hình P1.1-4. Tìm tiếp công suất và trị rms của (a) – f(t) (b) 2 f(t) (c) c f(t). Nhận xét. 
Chứng minh là công suất của tín hiệu
 là 
 Với giả sử các tần số là phân biệt, với với mọi 
Tìm công suất và trị rms của từng tín hiệu sau
(a) (b) 
 (c) (d) 
 (e) (f) 
Trong hình P1.3-1, tín hiệu . Biểu diễn các tín hiệu ,, và theo , và các tính chất: dời theo thời gian, tỉ lệ theo thời gian và tính khả nghịch theo thời gian. Thí dụ .
Từ tín hiệu ở hình P1.3-2, vẽ các tín hiệu (a) (b) 
(c) (d) 
Từ tín hiệu ở hình P1.3-3, vẽ các tín hiệu (a) (b) 
(c) (d) (e) 
1.4-1 Vẽ các tín hiệu (a) (b) 
 (c) (d) 
Biểu diễn các tín hiệu trong hình P1.4-2 dùng biểu thức xác định với mọi t.
Tín hiệu có năng lượng , chứng tõ là năng lượng của các tín hiệu , và đều có giá trị . Chứng tõ là năng lượng của tín hiệu cùng tín hiệu là . Điều này cho thấy phép dời và phép nghịch theo thời gian không ảnh hưởng lên năng lượng tín hiệu. Mặt khác, phép nén theo thời gian (a > 1) giảm năng lượng và phép giãn theo thởi gian (a < 1) làm tăng năng lượng. Cho biết năng lượng thay đổi ra sao khi nhân tín hiệu với hằng số a.
Đơn giãn các biểu thức sau:
(a) (b) 
(c) (d) 
(e) (f) 
Tính các tích phân sau:
(a) (e) 
(b) (f) 
(c) (g) 
(d) (h) 
 Hướng dẫn: tồn tại tại x = 0. Thí dụ tồn tại tại 1 – t = 0 và tính tiếp.
(a) Tìm và vẽ của tín hiệu ở hình P1.3-3
 (b) Tìm và vẽ của tín hiệu ở hình P1.4-2a
Tìm và vẽ giá trị của tín hiệu trong hình P1.4-7
Dùng định nghĩa hàm tổng quát, chứng tỏ là hàm chẵn theo t. Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.24a) để định nghĩa . Thay biến t = - x để chứng minh
Chứng minh là 
 Hướng dẫn: chứng minh 
Chứng minh trong đó và liên tục tại t = 0, và khi . Tích phân nhằm định nghĩa là hàm tổng quát. Hướng dẫn: dùng phương pháp tích phân từng phần. 
Tín hiệu có thể được xem là tổng của hàm mủ và (phương trình (1.30c) dùng tần số phức và . Xác định các tín hiệu sin sau trong mặt phẳng phức: (a) cos3t (b) e-3tcos3t (c) e2tcos3t (d) e-2t (d) e2t (f) 5. 
 1.5-1 Tìm và vẽ các thành phần chẵn và lẻ của (a) u(t) (b) tu(t) (c) 
 (d) (e) (f) 
 1.6-1 Tìm quan hệ vào-ra của bộ tích phân lý tưởng. Xác định thành phần đáp ứng với
 ngõ vào zêrô và đáp ứng trạng thái zêrô.
Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra , xác định hệ tuyến tính và hệ phi tuyến.
(a) (c) 
(b) (f) 
(e) (g) 
(d) (h) 
Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra , xác định hệ bất biến và hệ thay đổi theo thời gian.
(a) (d) 
(b) (e) 
(c) (f) 
Hệ thống tuyến tính bất biến (TT-BB) có ngõ vảo , ngõ ra , và hai điều kiện đầu và , ta ghi nhận được quan sát sau: 
 Tìm khi cả hai ngõ vào đều bằng zêrô và ngõ vào có dạng hình P1.7-3.
Hướng dẫn: Có ba nguyên nhân: ngõ vào và từng điều kiện đầu. Từ tính tuyến tính, khi nguyên nhân tăng giá trị k, thì đáp ứng cũng tăng với cùng giá trị k. Tuy nhiên, khi cộng thêm nguyên nhân một giá trị, thì đáp ứng cũng được cộng thêm một giá trị tương ứng.
Hệ thống được đặc trưng bởi quan hệ vào-ra là
 . 
 Chứng minh là hệ thống thỏa tính đồng nhất nhưng không thỏa tính cộng.
Chứng minh là trong mạch hình P1.5-7 là hệ tuyến tính trạng thái zêrô, nhưng phi tuyến với ngõ vào zêrô. Giả sử các điốt có đặc tính giống nhau.
Hướng dẫn: trong trạng thái (khi điện áp đầu của tụ ) thì mạch là tuyến tính. Nếu ngõ vào , và khác zêrô, dòng điện không có tính tuyến tính theo nguyên nhân .
Cuộn L và tụ C trong hình P1.7-6 là linh kiện phi tuyến, nên là mạch không tuyến tính. Ba phần tử còn lại là tuyến tính. Chứng tõ là ngõ ra của mạch phi tuyến thỏa điều kiện tuyến tính theo ngõ vào và các điều kiên đầu (tất cả các dỏng điện ban đầu qua cuộn dây và điện áp ban đầu qua tụ). Chú ý là nguồn dòng là hở mạch khi dòng điện là zêrô.
Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra , xác định hệ nhân quả và hệ không nhân quả.
(a) (c) 
(b) (d) 
Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo , ngõ ra , xác định hệ khả nghịch và hệ không khả nghịch. Trường hợp hệ khả nghịch, tìm quan hệ vào-ra của hệ khả nghịch.
(a) (c) n: số nguyên
(b) (d) 
Cho mạch hình 1.8-1, tìm phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa những ngõ vào và với ngõ vào .
Làm lại bài tập 1.8-1 dùng hình 1.8-2.
Nước vào thùng chứa với lưu lượng đơn vị/giây và lưu lượng ra khỏi vòi là đơn vị/giây (hình P1.8-3). Tìm phương trình của quan hệ giữa ngõ ra và ngõ vào . Lưu tốc tỉ lệ với h. Nên với R là lực cản của vòi. Xác định phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa h và ngõ vào . 
 Hướng dẫn: lưu tốc thực của nước tại thời điểm là , còn có giá trị là vớ A là diện tích mặt cắt của thùng chứa.