Khảo sát ứng dụng phương pháp bình sai truy hồi trong xử lý số liệu lưới trắc địa công trình

p đặc biệt khi A là một vector (kí 
hiệu là a) và chú ý rằng trong trắc địa thường sử 
dụng kí hiệu Q = R-1 . Nếu ai là vector hệ số 
phương trình số hiệu chỉnh của trị đo thứ i với 
trọng số pi, khi ma trận Qi-1 đã xác định thì ma 
trận Qi được tính theo công thức: 
T
iiii
ii
T
ii
ii
aQap
QaaQ
QQ
1
1
11
1





 (2) 
Như vậy nếu lần lượt tính các ma trận Qi với i 
thay đổi từ 0 đến N (N là tổng số trị đo trong 
mạng lưới trắc địa), sẽ thu được ma trận nghịch 
đảo Q của vector tọa độ. Nếu i không phải là 
một trị đo đơn lẻ mà là một nhóm trị đo thì công 
thức truy hồi tính ma trận nghịch đảo có dạng: 
1
1
111 )( 

  iii
T
iiiiiii QAPAQAAQQQ (3) 
Vector nghiệm của bài toán bình sai truy hồi 
vẫn được tính theo công thức: 
bQX . (4) 
Với: b là vector số hạng tự do trong hệ 
phương trình chuẩn của mạng lưới 
( 0.  bXR ). 
Để thực hiện quy trình tính toán ma trận 
nghịch đảo Q cần có ma trận Q0 ngay từ lúc bắt 
đầu quá trình tính toán. Giả sử rằng tất cả ẩn số 
của lưới được đo độc lập với ma trận trọng số P0. 
Khi đó theo lý thuyết bình sai với sai số số liệu 
gốc, có thể viết được hệ phương trình chuẩn: 
0
PRR  (5) 
Sau đó sẽ nghịch đảo R với ma trận Q0 = P
-1. 
Như vậy, thực tế đã đưa vào lưới các “trị đo ảo” 
với trọng số bằng 0, khi đó Q0 = .E. Đặt Q0 = 
10m. E với m  , khi đó cần chọn m sao cho 
đại lượng 10-m nhỏ không đáng kể so với sai số 
tính toán, trong trường hợp này kết quả bình sai 
cuối cùng sẽ không chịu ảnh hưởng của m. Để 
xử lý mạng lưới trên máy tính điện tử với số có ý 
nghĩa đến 10  13 số thì có thể chọn m = 5  6 
là đủ 3. Tuy nhiên có thể lấy Q0 = E (có nghĩa 
là gán trị đo ảo có trọng số P = E), sau đó sử 
dụng công thức (6) để rút các trị đo ảo đó ra, khi 
đó ma trận nghịch đảo Q được xác định một 
cách chặt chẽ. 
 35
T
iii
i
ii
T
ii
ii
aQa
p
QaaQ
QQ
1
11
1 1




 (6) 
Phương pháp bình sai truy hồi có ưu điểm 
hơn các phương pháp xử lý số liệu thông thường 
ở những điểm sau 1, 3: 
- Trong thiết kế lưới để phù hợp với yêu cầu 
độ chính xác, nhiều khi phải thay đổi trị đo như 
tăng số trị đo hoặc giảm bớt số trị đo, khi đó 
công thức truy hồi cho phép không cần phải lập 
lại hệ phương trình chuẩn, không cần tính ma 
trận nghịch đảo từ đầu nên rất thuận tiện cho 
việc thiết kế lưới. 
- Phương pháp bình sai truy hồi cho phép xử 
lý kết nội các mạng lưới trắc địa một cách rất 
đơn giản và thuận tiện. 
3. ứng dụng bình sai truy hồi trong xử lý 
kết nối lưới GPS và lưới trắc địa mặt đất 
Mô hình tổng quát của bài toán xử lý số liệu 
mạng lưới trắc địa kết hợp với các trị đo GPS và 
trị đo mặt đất được thể hiện qua hệ phương trình 
số hiệu chỉnh sau: 
G.X + L1 = V1 với ma trận trọng số P1 
A.X + L2 = V2 với ma trận trọng số P2 (7) 
Trong đó: phương trình thứ nhất trong 
công thức (7) ứng với trị đo cạnh GPS 
(baseline) - được quy chiếu trong hệ tọa độ 
vuông góc không gian WGS-84 (hệ tọa độ địa 
tâm), còn phương trình thứ hai ứng với trị đo 
mặt đất (góc, cạnh) - được quy chiếu trong hệ 
tọa độ phẳng công trình (hệ tọa độ địa diện). 
Đối với mạng lưới kết hợp, nếu coi vector tọa 
độ bình sai của riêng lưới GPS (X1) là các trị 
đo phụ thuộc (với ma trận tương quan KG ) và 
lấy giá trị này làm tọa độ gần đúng cho các 
tính toán tiếp theo, sẽ viết được hệ phương 
trình số hiệu chỉnh của lưới kết hợp GPS-mặt 
đất như sau 2: 
x1 = V1 với ma trận trọng số P1 
A1.x1 + A2. x2 + L = V2 
với ma trận trọng số P2 (8) 
Trong công thức (8): biểu thức đầu là hệ 
phương trình số hiệu chỉnh (với trị đo là tọa 
độ X,Y,H) của lưới GPS, biểu thức sau là hệ 
phương trình số hiệu chỉnh đối với tập hợp trị 
đo mặt đất. 
ứng dụng phương pháp bình sai truy hồi để 
giải hệ phương trình (8) là thích hợp hơn cả, 
bởi vì có thể bắt đầu quá trình tính toán ngay 
từ ma trận QG của lưới GPS mà không cần để 
ý đến vector trị đo GPS, ngoài ra thuật toán 
cũng như quy trình tính trong phương pháp 
bình sai truy hồi là tương đối đơn giản và dễ 
lập trình trên máy tính. 
Khác với trường hợp bình sai lưới thông 
thường, khi ma trận Q0 được chọn theo công 
thức: Q0 = 10
m.E , còn đối với lưới kết hợp 
GPS-mặt đất, ma trận Q0 có hạt nhân QG là 
ma trận trọng số đảo của vector tọa độ lưới 
GPS, vì vậy có thể viết ma trận Q0 dưới dạng 
khối như sau: 







2
0
0
0
Q
Q
Q G ; Q2 = 10
m.E (9) 
Như vậy, nếu khi xử lý lưới kết hợp theo 
phương pháp truy hồi và bắt đầu với ma trận 
Q0 thì chỉ cần thực hiện quá trình tính toán 
với các trị đo mặt đất mà không cần để ý đến 
các trị đo GPS. 
4. Ví dụ tính toán ứng dụng 
Để làm rõ tính đúng đắn và kiểm chứng 
quy trình tính toán nêu trên, trong bài báo 
nêu các bước thực hiện tính toán với một lưới 
kết hợp GPS - Mặt đất có sơ đồ như ở hình 1. 
Lưới khống chế thi công tại dự án Sông Ba 
Hạ được thành lập nhằm bảo đảm bố trí các 
hạng mục công trình của nhà máy thủy điện. 
Mạng lưới bao gồm 2 khối cách xa nhau: 1 khối 
tại khu tuyến đập (gồm 5 điểm: TC 10, TC11, 
TC12, TC13, TC15 ), khối thứ 2 tại khu vực nhà 
máy (gồm 5 điểm: TC4, TC5, TC7, TC8, TC9). 
Trong nội bộ các khối, lưới được đo bằng công 
nghệ mặt đất. Để liên kết 2 cụm lưới trên trong 
một hệ tọa độ thống nhất đã thực hiện đo nối 
giữa 4 điểm TC7, TC9, TC10, TC11 bằng công 
nghệ GPS, kết quả tạo thành một mạng lưới kết 
hợp GPS - Mặt đất. 
 36 
Hình 1: Sơ đồ mạng lưới thực nghiệm 
Số liệu tọa độ lưới GPS và ma trận hiệp 
phương sai các cạnh đo (xác định từ phần mềm 
GPSurvey 2.35) đưa ra trong các bảng 1, 2. Số 
liệu đo lưới mặt đất (góc và cạnh) đưa ra trong 
bảng 3. Kết quả bình sai lưới hỗn hợp GPS - Mặt 
đất theo phương pháp truy hồi được đưa ra trong 
bảng 4. 
Bảng 1: Kết quả tọa độ bình sai của các điểm lưới GPS 
Số 
TT 
Tên 
điểm 
Tọa độ phẳng Tọa độ không gian 
X(m) Y(m) H(m) X(m) Y(m) Z(m) 
1 TC7 1444338,261 597620,345 148,579 -2012958,4678 5879365,7199 431701,7036 
2 TC9 1444358,696 598808,663 82,871 -2014060,7049 5878916,6971 431702,6289 
3 TC10 1443159,976 596459,897 135,148 -2011938,3594 5879981,3111 430554,9314 
4 TC11 1442580,026 597735,426 114,691 -2013179,3556 5879674,8930 429981,0072 
Bảng 2: Ma trận hiệp phương sai vector gia số tọa độ cạnh đo GPS 
Số 
TT 
Tên cạnh Ma trận hiệp phương sai 
Đầu Cuối Kxy Kxy Kyy Kxz Kyz Kzz 
1 TC9 TC7 2,508602 -3,411927 6,492701 -0,886255 1,689003 0,913929 
2 TC10 TC7 5,866998 -3,079028 5,411471 -1,815866 1,559838 1,144626 
3 TC10 TC9 1,224723 -1,121430 6,342645 -0,732789 1,435736 1,301882 
4 TC11 TC7 8,887417 -4,773125 8,965527 -2,841472 2,549714 1,871302 
5 TC11 TC9 1,374540 -1,266569 7,217953 -0,828349 1,656420 1,485042 
6 TC11 TC10 0,606444 -0,523146 3,214409 -0,343873 0,693753 0,635997 
TC11 TC12 
TC15 
TC9 
TC5 
TC4 
TC8 
TC7 
TC10 
TC13 
 37
Bảng 3: Bảng kê các trị đo của lưới mặt đất 
Trị đo góc Trị đo cạnh 
Số 
TT 
Tên góc Giá trị góc 
  ‘ “ 
Số 
TT 
Tên cạnh Giá trị cạnh 
(m) Trái Giữa Phải Đầu Cuối 
1 TC8 TC7 TC9 27 55 10,3 1 TC7 TC9 1188,4963 
2 TC7 TC9 TC8 25 01 29,6 2 TC7 TC8 629,9626 
3 TC8 TC9 TC5 59 53 09,2 3 TC9 TC8 697,3142 
4 TC5 TC4 TC8 98 52 28,1 4 TC9 TC5 671,5139 
5 TC9 TC5 TC8 61 55 51,8 5 TC4 TC5 483,9437 
6 TC8 TC5 TC4 36 44 30,6 6 TC4 TC8 413,8833 
7 TC4 TC8 TC5 44 23 00,4 7 TC5 TC8 683,6009 
8 TC5 TC8 TC9 58 10 59,4 8 TC10 TC11 1401,1882 
9 TC9 TC8 TC7 127 03 20,6 9 TC10 TC12 2090,7525 
10 TC11 TC10 TC12 29 34 54,6 10 TC10 TC13 2506,1622 
11 TC12 TC10 TC13 30 21 04,8 11 TC12 TC15 1553,0417 
12 TC15 TC12 TC13 45 20 29,0 12 TC12 TC13 1268,4135 
13 TC13 TC12 TC10 93 15 04,4 
14 TC10 TC12 TC11 38 24 59,9 
15 TC10 TC13 TC12 56 23 51,6 
16 TC12 TC13 TC15 80 54 24,0 
17 TC13 TC15 TC12 53 45 05,9 
18 TC11 TC10 TC12 29 34 54,6 
19 TC12 TC10 TC13 30 21 04,8 
20 TC12 TC11 TC10 112 00 04,5 
Bảng 4: Kết quả tọa độ bình sai 
Số 
TT 
Tên 
điểm 
Tọa độ bình sai 
X(m) mX Y(m) mY H(m) MH 
1 TC7 1444338,260 0,005 597620,350 0,005 148,578 0,024 
2 TC9 1444358,694 0,004 598808,668 0,005 82,867 0,023 
3 TC10 1443159,974 0,005 596459,900 0,005 135,145 0,019 
4 TC4 1445048,378 0,005 598254,152 0,005 ----- --- 
5 TC5 1445026,442 0,004 598737,600 0,005 ----- --- 
6 TC8 1444642,755 0,005 598171,829 0,004 ----- --- 
7 TC12 1441467,841 0,009 597687,864 0,008 ----- --- 
8 TC13 1440665,841 0,008 596705,188 0,012 ----- --- 
9 TC15 1439921,787 0,011 597540,646 0,017 ----- --- 
5. Kết luận 
1.Trong bài báo đã khảo sát phương pháp 
bình sai truy hồi, xây dựng thuật toán và quy 
trình xử lý số liệu lưới trắc địa theo phương 
pháp này. Quy trình và hệ thông công thức 
tính toán được nêu ra trong bài báo là rõ ràng, 
dễ triển khai trên máy tính. 
2. Thuật toán bình sai truy hồi để kết nối 
lưới mặt đất và lưới GPS được đề xuất trong 
bài báo là chặt chẽ, phù hợp và có thể áp dụng 
được với các mạng lưới khống chế trắc địa 
công trình. 
 38 
Tài liệu tham khảo 
1. Hoàng Ngọc Hà (2006), Bình sai tímh toán lưới ttrắc địa, Nxbkhoa học và kỹ thuật. 
2. Trần Khánh. Phương pháp xác định ma trận tương quan của vector tọa độ lưới GPS trong 
trắc địa công trình.Tạp chí "Khoa học kỹ thuật Mỏ-Địa chất", Tr 74-78, Số 6, 4-2004. 
3. Markyze.Iu.I. Thuật toán và chương trình bình sai lưới trắc địa. Nxb " Nhedra", Moskva-
1988 (tiếng Nga) 
4. C.P.Rao. Phương pháp thống kê và các ứng dụng. NXB “Khoa học”, Moskva-1968 
(tiếng Nga) 
Abstract 
researching methods of reccurence adjustment 
in the data processing of surveying networks 
Tran Khanh 
University of Mining and Geology 
The article content survey research methods and retraces average error processing applications 
to connect the ground and measure the value of GPS in geodetic control network works mixture. 
proposed data processing algorithms for mesh above the average error method retraces. 
Calculation procedure given in the paper is closely calculated and convenient for computer 
programming.