Hướng dẫn sử dụng MatLab trong môn Giải tích

là phần Help của chương trình. Ngoài ra có thể tìm đọc quyển sách Jeffery Cooper, A Matlab companion for multivariable calculus, Harcourt, 2001.
Thông báo biến x, y là một biến kí hiệu (symbolic)
syms x y
Nhập vào hàm f, ví dụ f(x)=x2-3x+1
f=x^2-3*x+1
Tính giá trị của f tại một điểm , chẳng hạn tại x=2
subs(f,x,2)
Tính giới hạn khi x dần đến hằng số a
limit(f,x,a)
Tính giới hạn khi x dần đến hằng số a bên trái hoặc phải
limit(f,x,a,’left’)
limit(f,x,a,’right’)
Tính giới hạn khi x dần đến +vô cùng hoặc –vô cùng
limit(f,x,Inf)
limit(f,x,-Inf)
Tính đạo hàm
Tính đạo hàm của hàm f theo biến x
diff(f,x)
Khai triển Taylor hàm f tại điểm cụ thể x0 tới cấp cụ thể n
taylor(f,x0,n)
Vẽ đồ thị hàm một biến
Vẽ đồ thị hàm f, chẳng hạn với x từ 1 tới 2
ezplot(f,1,2)
Tích phân của hàm một biến
Tính tích phân không xác định của hàm f theo biến x
int(f,x)
Tính tích phân xác định của hàm f theo biến x, với x từ 1 tới 2
int(f,x,1,2)
Nhập hàm nhiều biến ở dạng kí hiệu
Nhập vào một hàm nhiều biến
syms x y
f=x^2*y^3-3*x*y^2
Tính giá trị của hàm hai biến
Tính giá trị của f tại một điểm, chẳng hạn tại x=2, y=3
subs(subs(f,x,2),y,3)
Tính đạo hàm riêng
Tính đạo hàm riêng của f theo biến y
diff(f,y)
Vẽ đồ thị hàm hai biến
Vẽ đồ thị hàm f trên khoảng x từ 1 tới 2, y từ 3 tới 4
ezsurf(f,[1,2,3,4])
Tính tích phân bội
Tính tích phân của f trên hình hộp chữ nhật x từ 1 tới 2, y từ 3 tới 4:
Đưa về tích phân lặp:
int(int(f,x,1,2),y,3,4)
Vẽ mặt cho bởi phương trình tham số
Ví dụ vẽ mặt cầu x=sin(u)cos(v), y=sin(u)sin(v), z=cos(u), u từ 0 tới pi, v từ 0 tới 2pi:
syms u v
ezsurf(sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u),[0 pi 0 2*pi])
mẫu lệnh tổng quát là
ezsurf(x,y,z,[a b c d])
tham số thứ nhất biến thiên từ a tới b, tham số thứ hai biến thiên từ c tới d.
Tính xấp xỉ tích phân
Tính xấp xỉ tích phân của hàm f (x) với x từ a tới b:
Vì đây không còn là phép toán kí hiệu nữa mà là phép toán số (numerical), nên cần chuyển f thành một dạng hàm khác, gọi là inline.
Ví dụ tích tích phân f(x)=e^(x^2) từ 0 tới 1:
Nhập hàm f ở dạng inline
f=inline('exp(x.^2)')
Chú ý có dấu chấm trước toán tử ^ (Matlab dùng nó để tính toán trên ma trận).
Tính xấp xỉ tính phân của f:
quad(f,0,1)
Vẽ trường vectơ 2 chiều
Ví dụ: Vẽ trường (P(x,y),Q(x,y)) với P(x,y)=2x+3y, Q(x,y)=3x^2-y^5 trên hình chữ nhật x từ -1 tới 1, y từ -2 tới 2.
Nhập vào trường:
P=inline('2*x+3*y','x','y')
Q=inline('3*x^2-y^5','x','y')
Cho biến x chạy từ -1 tới 1, lấy 10 điểm chia; cho biến y chạy từ -2 tới 2, lấy 10 điểm chia:
x=linspace(-1,1,10)
y=linspace(-2,2,10)
Tạo một lưới các điểm ứng với các điểm chia trên:
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Tính giá trị của trường tại các điểm chia này:
p=P(X,Y)
q=Q(X,Y)
Vẽ các vectơ của trường tại các điểm này:
quiver(X,Y,p,q)
%%% vector
%% các cách tạo một vecto
x = 0:0.1:1; % vecto gồm tất cả các phần tử từ 0 đến 1cách đều nhau 0.1
y = linspace(1,10,20); % vecto tạo bởi 20 phần tử cách đều nhau từ 1 đến 10
z = rand(10,1); % vecto ngẫu nhiên gồm 10 phần tử
%% cho vecto  A = [5 7 9 7 4 3]
A = [5 7 9 7 4 3];
B1 = A(3); % lấy giá trị thứ 3
B2 = A(1:5); % lấy giá trị từ 1 đến 5
B3 = A(1:end); % lấy giá trị từ 1 đến cuối cùng
B4 = A(1:end-1); % lấy giá trị từ 1 đến cuối cùng - 1
B5 = A(6:-2:1); % lấy giá trị từ giảm dần 2 đơn vị từ 6 xuống 1
B6 = A(1:2:6); % lấy giá trị từ tăng dần 2 đơn vị từ 1 lên 6
B7 = sum(A); % tính tổng tất cả các phần tử
%%% ma trận
A = [2 7 9 7;3 1 5 6;8 1 2 5]; % ma trận A
B1 = size(A); % kích thước ma trận
B2 = A(2,3); % lấy phần tử hàng 2 cột 3
B3 = A'; % ma trận chuyển vị của A
B4 = A(:,[1 4]); % lấy cột 1 và cột 4
B5 = A(:,1:4); % lấy các cột từ 1 đến 4
B6 = A([1 3],:); % lấy hàng 1 và 3
B7 = A(1:3,:); % lấy các hàng từ 1 đến 3
B8 = A([2 3],[3 1]); % lấy hàng 2 và 3; cột 3,1 
B9 = A(:); % viết lại các phần tử thành 1 cột
H10 = [A;A(end,:)];% ma trận tạo bởi A và hàng cuối của A
B11 = [A;A(1:2,:)]; % ma trận tạo bởi A và ma trận congòm hàng 1, 2
B12 = sum(A); % ma trận tạo bởi tổng tất cả các phần tử trong các cột của A
B13 = sum(A,2); % ma trận tạo bởi tổng tất cả các phần tử trong các hàng của A
B14 = reshape(A,2,6); % viết lại ma trận thành 2 hàng 6 cột
B15 = [A;2 5 7 9]; % ma trận tạo bởi A và ma trận [2 5 7 9]
B16 = inv(B16); % ma trận nghịch đảo của A
B17 = det(B16); % định thức của A
B18 = rank(B16); % hạng của ma trận A
%%% đa thức
A = [1 3 5 6]; % cho đa thức A bậc 3
n1 = roots(A); % nghiệm của phương trình A = 0
n2 = polyval(A,2); % giá trị của A tại 2
B = [1 5 7 5]; % cho đa thức B bậc 3
n3 = conv(A,B); % nhân 2 đa thức
n4 = poly(A); % tìm đa thức có các nghiệm là các phần tử của A
n5 = poly2sym(n4); % chuyển ma trận n4 về dạng đa thức
n6 = poly2sym(A); % chuyển ma trận A về dạng đa thức
C = sym2poly(n6); % chuyển đa thức n6 về dạng ma trận C
pretty(n5);  % hiển thị dạng viết tay của đa thức n5
%%% các công cụ tính toán trong toolbox symbolic
%% tính đạo hàm (hàm diff)
% tính đạo hàm của hàm y = sin(a*x^3)
syms a x;  % khai báo a,x là biến kiểu symbolic,đây là điều bắt buộc
y = sin(a*x^3);  % cho hàm y
y1 = diff(y); % đạo hàm hàm y theo x (mặc định), hoặc viết diff(y,x)
pretty(y1); % viết kết quả dưới dạng viết tay
y2 = diff(y,a); % đạo hàm hàm y theo a
pretty(y2);  % viết kết quả dưới dạng viết tay
y3 = diff(y,2); % đạo hàm bậc 2 hàm y theo x (mặc định), hoặc viết diff(y,x,2)
pretty(y3); % viết kết quả dưới dạng viết tay
%% tính tích phân (hàm int)
% tính tích phân của hàm z = x*sin(x)
sym x; % khai báo x là biến kiểu symbolic
z = x*sin(x); % cho hàm z
z1 = int(z); % tích phân của z theo x (mặc định) hoặc viết int(z,x)
pretty(z1);  % viết kết quả dưới dạng viết tay
z2 = int(z,0,1); % tích phân xác định từ 0 đến 1% hoặc viết  int(f,x,0,1)
%% tính giới hạn (hàm limit)
% tính giới hạn hàm w  = (1+x/n)^n, với n tiến ra vô cùng
syms n,x; % khai báo n, x là biến kiểu symbolic,đây là điều bắt buộc
w = (1+x/n)^n; % cho hàm z
limit(w,n,inf); % giới hạn của w khi n tiến ra vô cùng
% các ví dụ
l1 = limit(1/x); % giới hạn của 1/x với x mặc định tiến tới 0
l2 = limit(1/x,x,0,'left'); % giới hạn của 1/x với x chạy tới 0-)
l3 = limit(1/x,x,0,'right'); % giới hạn của 1/x với x chạy tới 0+)
%% giải phương trình và hệ phương trình
syms x y; % khai báo x, y là biến kiểu symbolic,đây là điều bắt buộc
x = solve('x^3+x^2+x+1'); % giải phương trình với biến x
x = solve('x^2*y^2+x*y+1','x'); % giải phương trình với biến x
y = solve('x^2*y^2+x*y+1','y'); % giải phương trình với biến y
[x y] = solve('x^2+y^2=0','x*y=1'); % giải hệ phương trình
% các phương trình, hệ phương trình dạng khác giải tương tự 
%% tính tổng của dãy số
% tính tổng của s = 1+2+3+...+n
syms n; % khai báo x, y là biến kiểu symbolic
s1 = symsum(n+1); % tổng symbolic theo biến n chạy từ 0 tới n (mặc định) hoặc
s1 = symsum(n,1,n);  % tổng symbolic theo biến n chạy từ 1 tới n
% tính tổng của s2 = 1+x+x^2+x^3+...+x^n
s2 = symsum(x^n,n,0,n); % tổng symbolic theo biến n chạy từ 0 tới n
%% tìm hàm ngược
% tìm hàm ngược của hàm u = sin(x) và cos(xy)
syms x y; % khai báo x, y là biến kiểu symbolic
finverse(sin(x)); % hàm ngược với biến mặc định x
finverse(cos(x*y),y); % hàm ngược với biến y
%% biến đổi Laplace (hàm t, hàm biến đổi s)
syms t x s a b; % khai báo các biến kiểu symbolic
F1 = laplace(t);  % biến đổi Laplace với biến mặc định t và kết quả là 1 hàm của s
F2 = laplace(exp(-a*t),x); % biến đổi Laplace cho hàm ảnh là một hàm của x thay thế s
%% biến đổi Laplace ngược
F3 = ilaplace(1/((s+a)*(s+b))); % biến đổi Laplace ngược trả về hàm của t
F4 = ilaplace(1/(s*(s+a)),x); % biến đổi Laplace ngược trả về hàm của x
% ta còn có 2 dạng sau
% laplace(f,y,x): biến đổi Laplace của 1 hàm biến y (thay thế mặc định t),
% trả về 1 hàm biến x (thay thế mặc định s)
% ilpalace(f,y,x): tương tự như trên
%% biến đổi fourier (hàm x, hàm biến đổi w)
syms x u w; % khai báo các biến kiểu symbolic
F5 = fourier(exp(-x/2)); % biến đổi fourier cho kết quả là 1 hàm biến w (mặc định)
F6 = fourier(exp(abs(-x)),u); % biến đổi fourier cho kết quả là 1 hàm biến u (thay thế cho w) 
%% biến đổi fourier ngược 
F7 = ifourier(sin(x)*cos(2*x)); % biến đổi fourier ngược cho kết quả là 1 hàm của x (mặc định)
F8 = ifourier(x^2-x-1,u); % biến đổi fourier ngược cho kết quả là 1 hàm của u
% ta còn có 2 dạng sau
% fourier(f,u,v): biến đổi fourier của hàm f theo biến u (thay thế mặc định là x),
% trả về 1 hàm biến v (thay thế mặc định w)
% ifourier(f,u,v): tương tự như trên
%% khai triển taylor
syms x y; % khai báo các biến kiểu symbolic
F9 = taylor(sin(x)); % khai triển taylor theo biến x
F10 = taylor(cos(x*y^2),x); % khai triển taylor theo biến x
F11 = taylor(x^4+x^2+1,4,2); % khai triển taylor 4 số hạng đầu tiên 0, xung quanh điểm x0 = 2
F12 = taylor(x^3*y^2+x*y+1,5,y,1); % khai triển taylor 5 số hạng đầu tiên 0 theo biến y, xq điểm x0 = 1
%% các hàm làm đơn giản hóa biểu thức
% 1 - hàm collect: gom số hạng, biến
syms x y; % khai báo các biến kiểu symbolic
F1 = collect((x^3+x+1)*(x*sin(x))); % gom các số hạng theo biến x (mặc định)
F2 = collect(x*y*(x+y^2+sin(x)),x); % gom các số hạng theo biến x
% 2 - hàm expand: khai triển biểu thức
F3 = expand((x+4)*(x^7+x^3+6)+sin(2*x));
% 3 - hàm factor: phân tích biểu thức thành thừa số
F4 = factor(x^8-y^8);
F5 = factor(sym('143654645350'));
% 4 - hàm horner: phân tích đa thức ra dạng thừa số
F6 = horner(6+x+2*x^2+x^4);
F7 = horner([x^2+2*x+6;9+y^2+y^3]);
% 5 - hàm numden: lấy tử số và mẫu số
[n d] = numden((x+3)/(x*y+4));
% 6 - hàm simplify va simple: làm tối giản hoá biểu thức
F8 = simplify([(x^2+3*x+1)/(x+1),sqrt(16)]);
F9 = simple([(x^2+3*x+1)/(x+1),sqrt(16)])
Xuất nghiệm:
>>A=2
A=
 2
>>T=[‘X=’ num2str(A)];
>>disp(T)
X=2
>> setdiff(A,B) %các phần tử giống nhau của A B
ans=
1
3
5
7
9
>> setxor(A,B) %các phần tử khác nhau
ans=
-9
8
Ve:
set(ezplot(t),'Color','green','LineWidth',1)
Vẽ đồ thị đường thẳng:
	t=linspace(0,10*pi);
	Plot3(t,t+6,5-t);