Giáo trình Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Bộ đáp ứng xung hữu hạn và tích chập

02/10/2012
1
XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU
BỘ ĐÁP ỨNG XUNG HỮU HẠN VÀ 
TÍCH CHẬP
Nội dung
 Đặt vấn đề
 Phương pháp xử lý khối
 Phương pháp xử lý mẫu
 Bài tập
2
02/10/2012
2
Nội dung
 Đặt vấn đề
 Phương pháp xử lý khối
o Dạng trực tiếp
o Dạng bảng tích chập
o Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI)
o Dạng ma trận
o Dạng lật và trượt
o Trạng thái tức thời và trạng thái tĩnh
o Tích chập đối với chuỗi không xác định được chiều dài –
chiều dài vô hạn
o Dạng khối cộng chồng lấp
3
Đặt vấn đề
o Cho tín hiệu rời rạc ݔ(݊)
o ݔ ݊ = 0, ∀݊ ∉ [݊଴ , ݊௅], ݔ ݊଴ , ݔ ݊௅ ≠ 0
o ݔ ݊ có thể bằng 0 nếu ݊ ∈ [݊଴, ݊௅]
o ݊଴ , ݊௅ : có thể âm, dương, bằng 0
o Số mẫu tín hiệu rời rạc ݔ ݊ : ܮ௫ = ݊௅ − ݊଴ + 1
4
࢔଴ ݊ଵ ݊ଶ 0 ࢔௅ ݊
ݔ(݊)
02/10/2012
3
Đặt vấn đề
o Cho đáp ứng xung hệ thống LTI ℎ(݊):
o ℎ ݊ = 0, ∀݊ ∉ [݉଴ , ݉ெ], ℎ ݉଴ , ℎ ݉ெ ≠ 0
o ℎ ݊ có thể bằng 0 nếu ݊ ∈ [݉଴, ݉ெ]
o ݉଴, ݉ெ: có thể âm, dương, bằng 0
o Số mẫu đáp ứng xung ℎ ݊ : ܮ௛ = ݉ெ − ݉଴ + 1
5
݉଴ ݉ଵ ݉ଶ 0 ݉ெ ݊
ℎ(݊)
Đặt vấn đề
o Phương pháp xử lý khối:
• Ngõ vào x = [ݔ௡బ , ݔ௡భ ,  , ݔ௡ಽ ]
• Ngõ ra y = [ݕ௟బ , ݕ௟భ ,  , ݕ௟ಿ] với
ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ(݊) = ෍ ℎ ݉ ݔ ݊ − ݉
௠
= ෍ ݔ ݉ ℎ ݊ − ݉
௠
= ෍ ݔ ݅ ℎ ݆
௜,௝,
௜ା௝ୀ௡
6
Hệ thống thời gian rời rạc
LTI ℎ(݊)ݔ(݊) ݕ(݊)
02/10/2012
4
Đặt vấn đề
o Phương pháp xử lý mẫu:
{ݔ௡బ , ݔ௡భ ,  , ݔ௡ಽ, 0,0,  } −> {ݕ௟బ , ݕ௟భ ,  , ݕ௡ಽ,  , ݕ௟ಿ}
7
Hệ thống thời gian rời rạc
LTI ℎ(݊)ݔ(݊) ݕ(݊)
ܪ
ݔ(݊) ݕ(݊)
ݔ௡బ ݕ௟బݔ௡భ
⋯ ⋯
ݔ௡ಽ ݕ௡ಽ
⋯ ⋯
ݕ௟భ
Phương pháp xử lý khối
 Phương pháp xử lý khối
o Dạng trực tiếp
o Dạng bảng tích chập
o Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI)
o Dạng ma trận
o Dạng lật và trượt
o Trạng thái tức thời và trạng thái tĩnh
o Tích chập đối với chuỗi không xác định được chiều dài –
chiều dài vô hạn
8
02/10/2012
5
Dạng trực tiếp
 ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ∑ ℎ ݉ ݔ ݊ − ݉௠
 ݉ ∈ [݉଴, ݉ெ]
 ݊ − ݉ ∈ ݊଴ , ݊௅ ⇔ ݉ + ݊଴ ≤ ݊ ≤ ݉ + ݊௅
 ࢓૙ + ࢔૙ ≤ ࢔ ≤ ࢓ࡹ + ࢔ࡸ, ࢟(࢔) ≠ ૙
 Số mẫu ݕ(݊): ܮ௬ = ܮ௫+ܮ௛-1
9
݉଴ ݉ଵ ݉ଶ 0 ݉ெ
݉
ℎ(݉)
݊଴ ݊ଵ ݊ଶ 0 ݊௅
݊
ݔ(݊)
−1 1
Dạng trực tiếp
 ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ∑ ℎ ݉ ݔ ݊ − ݉௠
 ࢓૙ + ࢔૙ ≤ ࢔ ≤ ࢓ࡹ + ࢔ࡸ, ࢟(࢔) ≠ ૙
 ݉ ∈ [݉଴, ݉ெ]
 ݊ − ݉ ∈ ݊଴ , ݊௅ ⇔ ݊ − ݊௅ ≤ ݉ ≤ ݊ − ݊଴
 ݉ܽݔ ݉଴, ݊ − ݊௅ ≤ ݉ ≤ ݉݅݊ ݉ெ, ݊ − ݊଴
 ∀݊ ∈ [࢓૙ + ࢔૙, ࢓ࡹ + ࢔ࡸ]
ݕ ݊ = ෍ ℎ ݉ ݔ ݊ − ݉
௠௜௡ ௠ಾ ,௡ି௡బ
௠௔௫ ௠బ,௡ି௡ಽ
10
02/10/2012
6
 Vd: tính ngõ ra ݕ(݊) với:
o h = ℎିଵ, ℎ଴, ℎଵ, ℎଶ, ℎଷ ,
o x = ݔିଶ, ݔିଵ, ݔ଴, ݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, ݔସ
o ݉଴ = −1, ݉ெ = 3, ܮ௛ = 5
o ݊଴ = −2, ݊௅ = 4, ܮ௫ = 7
o ݊ ∈ ݊଴ + ݉଴, ݊௅ + ݉ெ = [−3,7], ܮ௬ = 11
o ݕ ݊ = ∑ ℎ ݉ ݔ ݊ − ݉௠௜௡ ଷ,௡ାଶ௠௔௫ ିଵ,௡ିସ
11
n m
-3 -1
-2 -1, 0
-1 -1, 0, 1
0 -1, 0, 1, 2
1 -1, 0, 1, 2, 3
2 -1, 0, 1, 2, 3
n m
3 -1, 0, 1, 2, 3
4 0, 1, 2, 3
5 1, 2, 3
6 2, 3
7 3
 Vd: tính ngõ ra ݕ(݊) với:
o h = ℎିଵ, ℎ଴, ℎଵ, ℎଶ, ℎଷ ,
o x = ݔିଶ, ݔିଵ, ݔ଴, ݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, ݔସ
o ݕିଷ = ݔିଶℎିଵ
o ݕିଶ = ݔିଶℎ଴ + ݔିଵℎିଵ
o ݕିଵ = ݔିଶℎଵ + ݔିଵℎ଴ + ݔ଴ℎିଵ
o ݕ଴ = ݔିଶℎଶ + ݔିଵℎଵ + ݔ଴ℎ଴ + ݔଵℎିଵ
o ݕଵ = ݔିଶℎଷ + ݔିଵℎଶ + ݔ଴ℎଵ + ݔଵℎ଴ + ݔଶℎିଵ
o ݕଶ = ݔିଵℎଷ + ݔ଴ℎଶ + ݔଵℎଵ + ݔଶℎ଴ + ݔଷℎିଵ
o ݕଷ = ݔ଴ℎଷ + ݔଵℎଶ + ݔଶℎଵ + ݔଷℎ଴ + ݔସℎିଵ
o ݕସ = ݔଵℎଷ + ݔଶℎଶ + ݔଷℎଵ + ݔସℎ଴
o ݕହ = ݔଶℎଷ + ݔଷℎଶ + ݔସℎଵ
o ݕ଺ = ݔଷℎଷ + ݔସℎଶ
o ݕ଻ = ݔସℎଷ
12
02/10/2012
7
Dạng bảng tích chập
ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ෍ ݔ ݅ ℎ ݆
௜,௝,
௜ା௝ୀ௡
13
ݔ௡బ ݔ௡భ ݔ௡మ ݔ௡య ݔ௡ర ݔ௡ఱ ݔ௡ల
ℎ௠బ ℎ௠బݔ௡బ ℎ௠బݔ௡భ ℎ௠బݔ௡మ ℎ௠బݔ௡య ℎ௠బݔ௡ర ℎ௠బݔ௡ఱ ℎ௠బݔ௡ల
ℎ௠భ ℎ௠భݔ௡బ ℎ௠భݔ௡భ ℎ௠భݔ௡మ ℎ௠భݔ௡య ℎ௠భݔ௡ర ℎ௠భݔ௡ఱ ℎ௠భݔ௡ల
ℎ௠మ ℎ௠మݔ௡బ ℎ௠మݔ௡భ ℎ௠మݔ௡మ ℎ௠మݔ௡య ℎ௠మݔ௡ర ℎ௠మݔ௡ఱ ℎ௠బݔ௡ల
ℎ௠య ℎ௠యݔ௡బ ℎ௠యݔ௡భ ℎ௠యݔ௡మ ℎ௠యݔ௡య ℎ௠యݔ௡ర ℎ௠యݔ௡ఱ ℎ௠బݔ௡ల
ℎ௠ర ℎ௠రݔ௡బ ℎ௠రݔ௡భ ℎ௠రݔ௡మ ℎ௠రݔ௡య ℎ௠రݔ௡ర ℎ௠రݔ௡ఱ ℎ௠రݔ௡ల
Dạng tt bất biến theo thời gian (LTI)
 Ngõ vào x = ݔ௡బ , ݔ௡భ ,  , ݔ௡ಽ
 Đáp ứng xung h = ℎ௠బ , ℎ௠భ ,  , ℎ௠ಾ
 x = ݔ௡బ 1,0,  , 0 + ݔ௡భ 0,1,  , 0 + ⋯ + ݔ௡ಽ 0,0,  , 1
 ݔ ݊ = ݔ௡బ ߜ ݊ − ݊଴ + ݔ௡భ ߜ ݊ − ݊ଵ + ⋯ + ݔ௡ಽߜ ݊ − ݊௅
 ݕ ݊ = ݔ௡బ ℎ ݊ − ݊଴ + ݔ௡భ ℎ ݊ − ݊ଵ + ⋯ + ݔ௡ಽℎ ݊ − ݊௅
14
x = ݔ௡బ 1,0,  , 0
 + ݔ௡భ 0,1,  , 0
+ 
 + ݔ௡ಽ 0,0,  , 1
y = ݔ௡బ ℎ௠బ , ℎ௠భ ,  , ℎ௠ಾ, 0,0
+ ݔ௡భ 0, ℎ௠బ , ℎ௠భ ,  , ℎ௠ಾ, 0
+ 
+ ݔ௡ಽ 0, 0, ℎ௠బ , ℎ௠భ ,  , ℎ௠ಾ
02/10/2012
8
Dạng tt bất biến theo thời gian (LTI)
Hàng ngang ܮ௛ giá trị của ℎ
Cột dọc ܮ௫ giá trị của ݔ
15
ℎ௠బ ℎ௠భ ℎ௠మ ℎ௠య ℎ௠ర
ݔ௡బ ℎ௠బݔ௡బ ℎ௠భ ݔ௡బ ℎ௠మݔ௡బ ℎ௠యݔ௡బ ℎ௠రݔ௡బ
ݔ௡భ ℎ௠బݔ௡భ ℎ௠భݔ௡భ ℎ௠మݔ௡భ ℎ௠యݔ௡భ ℎ௠రݔ௡భ
ݔ௡మ ℎ௠బݔ௡మ ℎ௠భݔ௡మ ℎ௠మݔ௡మ ℎ௠యݔ௡మ ℎ௠రݔ௡మ
ݔ௡య ℎ௠బݔ௡య ℎ௠భݔ௡య ℎ௠మݔ௡య ℎ௠యݔ௡య ℎ௠రݔ௡య
ݔ௡ర ℎ௠బݔ௡ర ℎ௠భݔ௡ర ℎ௠మݔ௡ర ℎ௠యݔ௡ర ℎ௠రݔ௡ర
ݔ௡ఱ ℎ௠బݔ௡ఱ ℎ௠భݔ௡ఱ ℎ௠మݔ௡ఱ ℎ௠యݔ௡ఱ ℎ௠రݔ௡ఱ
ݔ௡ల ℎ௠బݔ௡ల ℎ௠భݔ௡ల ℎ௠మݔ௡ల ℎ௠యݔ௡ల ℎ௠రݔ௡ల
Dạng ma trận
 Nếu ݔ là đầu vào
o Xây dựng ma trận ܪଵ có kích thước ܮ௬ × ܮ௫
o ܺ = x்
o ܻ = y்
o ܻ = ܪଵܺ
 Nếu ℎ là đầu vào
o Xây dựng ma trận ܺ có kích thước ܮ௬ × ܮ௛
o ܪ = h்
o ܻ = y்
o ܻ = ܺℎ
16
02/10/2012
9
Dạng lật và trượt
 ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ∑ ℎ ݊ − ݉ ݔ ݉௠
17
݉଴ ݉ଵ ݉ଶ 0 ݉ெ
݉
ℎ(݉)
݊଴ ݊ଵ ݊ଶ 0 ݊௅
݊
ݔ(݊)
−1 1
−݉଴−݉ଵ−݉ଶ0−݉ெ
݉
ℎ(−݉)
Dạng lật và trượt
 ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ∑ ℎ ݊ − ݉ ݔ ݉௠
 Nếu ݊ < ݉଴ + ݊଴
 Nếu ݉଴ + ݊଴ ≤ ݊ < ݉ெ + ݊଴
18
݊଴ ݊ଵ ݊ଶ 0 ݊௅
݉
ݔ(݉)
−1 1݊ − ݉଴0−݉ெ + ݊
݊଴ 0 ݊௅
݉
ݔ(݉)
−1 1−݉ெ + ݊ ݊ − ݉଴
02/10/2012
10
Dạng lật và trượt
 ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ∑ ℎ ݊ − ݉ ݔ ݉௠
 Nếu ݊଴ + ݉ெ < ݊ ≤ ݉଴ + ݊௅
 Nếu ݉଴ + ݊௅ < ݊ ≤ ݉ெ + ݊௅
19
݊଴ 0 ݊௅
݉
ݔ(݉)
݊ − ݉଴−݉ெ + ݊
݊଴ ݊௅
݉
ݔ(݉)
−݉ெ + ݊ ݊ − ݉଴
Dạng lật và trượt
 ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ∑ ℎ ݊ − ݉ ݔ ݉௠
 Nếu ݉ெ+݊௅ < ݊
20
݊଴ ݊௅
݉
ݔ(݉)
−݉ெ + ݊ ݊ − ݉଴
02/10/2012
11
Dạng khối cộng chồng lấp
- Khối dữ liệu vào ݔ được chia thành các khối có chiều dài ܮ.
Khối ݔ0 Khối ݔ1 Khối ݔ2
ܮ + ܯ
ܮ + ܯ
ܮ + ܯ
ݕݐ݁݉݌
ܮ
ݔ = 
ݕ0 = 
ݕ1 =
ݕ2 =
݊ = 0 ݊ = ܮ ݊ = 2ܮ ݊ = 3ܮ
Dạng khối cộng chồng lấp
Vd: Tính tích chập ݔ = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] với ℎ = [1, 2, −1, 1] bằng
phương pháp cộng dồn khối, chọn ܮ = 3.
Kq: ݔ = ૚, ૚, ૛, ૚, ૛, ૛, ૚, ૚, ૙ , chập từng khối nhỏ với ℎ:
02/10/2012
12
Dạng khối cộng chồng lấp
Block 0 Block 1 Block 2
ℎ ݔ 1 1 2 1 2 2 1 1 0
1 1 1 2 1 2 2 1 1 0
2 2 2 4 2 4 4 2 2 0
-1 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -1 -1 0
1 1 1 2 1 2 2 1 1 0
࢔ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
࢟૙ 1 3 3 4 -1 2
࢟૚ 1 4 5 3 0 2
࢟૛ 1 3 1 0 1
࢟ 1 3 3 5 3 7 4 3 3 0 1
Phương pháp xử lý mẫu
 Các kết nối phần tử cơ bản
o Bộ cộng
o Bộ nhân một hằng số
o Bộ trễ một đơn vị
 Thực hiện bằng cách dùng 1 thanh ghi nội. Tại thời điểm ݊:
24
+
ݔଵ(݊)
ݔଶ(݊)
ݔଵ(݊) + ݔଶ(݊)
ݔ(݊) ܽ ܽݔ(݊)
ݔ(݊) ࢠି૚ ݔ(݊ − 1)
02/10/2012
13
Phương pháp xử lý mẫu
• Đưa mẫu đã lưu trong thanh ghi ra ngõ ra ݔ ݊ − 1
• Nhận mẫu vào ݔ(݊) và đưa lên thanh ghi. Mẫu này sẽ được
đưa ra ở thời điểm ݊ + 1.
• Xem thanh ghi là trạng thái nội của bộ lọc: 
߱1(݊) = ݔ(݊ − 1)
 Đối với bộ làm trễ bậc cao hơn: dùng nhiều biến trạng thái
nội (thanh ghi hơn).
 Tổng quát, khi trễ ܦ đơn vị, nội dung các thanh ghi là ߱݅(݊), 
݅ = 1, 2,  , ܦ. Ký hiệu ngõ vào ߱0(݊). Phương trình I/O 
của bộ trễ ܦ đơn vị: 
ݕ ݊ = ߱ܦ(݊)
߱଴(݊) = ݔ ݊
߱௜(݊) = ߱௜ିଵ(݊), ݅ = ܦ, ܦ − 1,  , 2, 1
25
Bộ lọc FIR dạng trực tiếp
 Phương trình tích chập trực tiếp của bộ lọc FIR bậc ܯ:
ݕ ݊ = ℎ0ݔ ݊ + ℎ1ݔ ݊ – 1 +  ℎܯݔ ݊ – ܯ
Với đáp ứng xung ℎ = [ℎ0, ℎ1,  , ℎܯ]
26
ℎ0
ℎ1
ℎ2
ℎ3
z-1
z-1
ݔ(݊ – 2)
ݔ(݊)
ݔ(݊ – 1)
ݕ(݊)
z-1
02/10/2012
14
Bộ lọc FIR dạng trực tiếp
 Đặt các trạng thái nội:
 Giải thuật xử lý mẫu: với mỗi mẫu vào ݔ(݊)
߱0 = ݔ
ݕ = ℎ0߱0 + ℎ1߱1 + ℎ2߱2 + ℎ3߱3
߱3 = ߱2
߱2 = ߱1
߱1 = ߱0
27
ℎ0
ℎ1
ℎ2
ℎ3
z-1
z-1
z-1
ݔ(݊)
߱1(݊)
߱2(݊)
ݕ(݊)߱0(݊)
߱3(݊)
Bộ lọc FIR dạng trực tiếp
 Xác định thuật toán sử lý mẫu trực tiếp, với
ℎ = [1, 2, −1, 1], ݔ = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
 Sử dụng thuật toán để tính đáp ứng ngõ ra.
 Phương trình I/O của bộ lọc:
ݕ(݊) = ݔ(݊) + 2ݔ(݊– 1)– ݔ(݊– 2) + ݔ(݊– 3)
 Với trạng thái nội ߱݅(݊) = ݔ(݊– 1), ݅ = 1,2,3, và đặt
߱0(݊) = ݔ(݊).
28
02/10/2012
15
Bộ lọc FIR dạng trực tiếp
 Sơ đồ và thuật toán xử lý mẫu:
 Đối với mỗi mẫu vào x
߱0 = ݔ
ݕ = ߱0 + 2߱1– ߱2 + ߱3
߱3 = ߱2
߱2 = ߱1
29
2
-
1
z-1
z-1
z-1
ݔ
߱1
߱2
ݕ(݊)߱0
߱3
Bộ lọc FIR dạng trực tiếp
 Thuật toán xử lý mẫu trực tiếp cho ngõ ra như sau:
30
݊ ݔ ߱0 ߱1 ߱2 ߱3 ݕ = ߱0 + 2߱1 – ߱2 + ߱3
0 1 1 0 0 0 1
1 1 1 1 0 0 3
2 2 2 1 1 0 3
3 1 1 2 1 1 5
4 2 2 1 2 1 3
5 2 2 2 1 2 7
6 1 1 2 2 1 4
7 1 1 1 2 2 3
8 0 0 1 1 2 3
9 0 0 0 1 1 0
10 0 0 0 0 1 1