Giáo trình Trí tuệ nhân tạo - Nguyễn Hoàng Cương

i t−îng. Nã sö dông c¸c biÕn ( biÕn ®èi
t−îng ) ®Ó chØ mét ®èi t−îng trong mét miÒn ®èi t−îng nµo ®ã. §Ó m« t¶ c¸c thuéc tÝnh cña ®èi t−îng, c¸c 
quan hÖ gi÷a c¸c ®èi t−îng, trong logic vÞ tõ, ng−êi ta dùa vµo c¸c vÞ tõ ( predicate). Ngoµi c¸c kÕt nèi 
logic nh− trong logic mÖnh ®Ò, logic vÞ tõ cÊp mét cßn sö dông c¸c l−îng tö. Ch¼ng h¹n, l−îng tö ∀ (víi 
mäi) cho phÐp ta t¹o ra c¸c c©u nãi tíi mäi ®èi t−îng trong mét miÒn ®èi t−îng nµo ®ã. 
Ch−¬ng nµy dµnh cho nghiªn cøu logic vÞ tõ cÊp mét víi t− c¸ch lµ mét ng«n ng÷ biÓu diÔn tri
thøc. Logic vÞ tõ cÊp mét ®ãng vai trß cùc k× quan träng trong biÓu diÔn tri thøc, v× kh¶ n¨ng biÓu diÔn cña
nã ( nã cho phÐp ta biÓu diÔn tri thøc vÒ thÕ giíi víi c¸c ®èi t−îng, c¸c thuéc tÝnh cña ®èi t−îng vµ c¸c
quan hÖ cña ®èi t−îng), vµ h¬n n÷a, nã lµ c¬ së cho nhiÒu ng«n ng÷ logic kh¸c. 
 Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương 
 Đinh Mạnh Tường Trang 58 
6.1 Có ph¸p vµ ng÷ nghÜa cña logic vÞ tõ cÊp mét. 
6.1.1 Có ph¸p. 
 C¸c ký hiÖu. 
 Logic vÞ tõ cÊp mét sö dông c¸c lo¹i ký hiÖu sau ®©y. 
• C¸c ký hiÖu h»ng: a, b, c, An, Ba, John,... 
• C¸c ký hiÖu biÕn: x, y, z, u, v, w,... 
• C¸c ký hiÖu vÞ tõ: P, Q, R, S, Like, Havecolor, Prime,... 
Mçi vÞ tõ lµ vÞ tõ cña n biÕn ( n≥0). Ch¼ng h¹n Like lµ vÞ tõ cña hai biÕn, Prime lµ vÞ tõ mét biÕn.
C¸c ký hiÖu vÞ tõ kh«ng biÕn lµ c¸c ký hiÖu mÖnh ®Ò. 
• C¸c ký hiÖu hµm: f, g, cos, sin, mother, husband, distance,... 
Mçi hµm lµ hµm cña n biÕn ( n≥1). Ch¼ng h¹n, cos, sin lµ hµm mét biÕn, distance lµ hµm cña ba
biÕn. 
• C¸c ký hiÖu kÕt nèi logic: ∧ ( héi), ∨ (tuyÓn), ⎤ ( phñ ®Þnh), ⇒(kÐo theo), ⇔ (kÐo theo nhau). 
• C¸c ký hiÖu l−îng tö: ∀ ( víi mäi), ∃ ( tån t¹i). 
• C¸c ký hiÖu ng¨n c¸ch: dÊu phÈy, dÊu më ngoÆc vµ dÊu ®ãng ngoÆc. 
C¸c h¹ng thøc 
C¸c h¹ng thøc ( term) lµ c¸c biÓu thøc m« t¶ c¸c ®èi t−îng. C¸c h¹ng thøc ®−îc x¸c ®Þnh ®Ö quy nh−
sau. 
• C¸c ký hiÖu h»ng vµ c¸c ký hiÖu biÕn lµ h¹ng thøc. 
• NÕu t1, t2, t3, ..., tn lµ n h¹ng thøc vµ f lµ mét ký hiÖu hµm n biÕn th× f( t1, t2, ..., tn) lµ h¹ng thøc. Mét 
h¹ng thøc kh«ng chøa biÕn ®−îc gäi lµ mét h¹ng thøc cô thÓ ( ground term). 
Ch¼ng h¹n, An lµ ký hiÖu h»ng, mother lµ ký hiÖu hµm mét biÕn, th× mother (An) lµ mét h¹ng thøc cô 
thÓ. 
1.21 C¸c c«ng thøc ph©n tö 
Chóng ta sÏ biÓu diÔn c¸c tÝnh chÊt cña ®èi t−îng, hoÆc c¸c quan hÖ cña ®èi t−îng bëi c¸c c«ng 
thøc ph©n tö ( c©u ®¬n). 
C¸c c«ng thøc ph©n tö ( c©u ®¬n) ®−îc x¸c ®Þnh ®Ö quy nh− sau. 
• C¸c ký hiÖu vÞ tõ kh«ng biÕn ( c¸c ký hiÖu mÖnh ®Ò ) lµ c©u ®¬n. 
• NÕu t1, t2,...,tn lµ n h¹ng thøc vµ p lµ vÞ tõ cña n biÕn th× p( t1,t2,...,tn) lµ c©u ®¬n. 
Ch¼ng h¹n, Hoa lµ mét ký hiÖu h»ng, Love lµ mét vÞ tõ cña hai biÕn, husband lµ hµm cña mét biÕn,
th× Love ( Hoa, husband( Hoa)) lµ mét c©u ®¬n. 
Comment [LTT1]: 
Comment [LTT2]: 
 Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương 
 Đinh Mạnh Tường Trang 59 
1.21.1 C¸c c«ng thøc 
Tõ c«ng thøc phÇn tö, sö dông c¸c kÕt nèi logic vµ c¸c l−îng tö, ta x©y dùng nªn c¸c c«ng thøc
(c¸c c©u). 
C¸c c«ng thøc ®−îc x¸c ®Þnh ®Ö quy nh− sau: 
• C¸c c«ng thøc ph©n tö lµ c«ng thøc. 
• NÕu G vµ H lµ c¸c c«ng thøc, th× c¸c biÓu thøc (G ∧ H), (G ∨ H), (⎤ G), (G⇒H), (G⇔H) lµ c«ng 
thøc. 
• NÕu G lµ mét c«ng thøc vµ x lµ biÕn th× c¸c biÓu thøc ( ∀ x G), (∃ x G) lµ c«ng thøc. 
C¸c c«ng thøc kh«ng ph¶i lµ c«ng thøc ph©n tö sÏ ®−îc gäi lµ c¸c c©u phøc hîp. C¸c c«ng thøc 
kh«ng chøa biÕn sÏ ®−îc gäi lµ c«ng thøc cô thÓ. Khi viÕt c¸c c«ng thøc ta sÏ bá ®i c¸c dÊu ngoÆc kh«ng 
cÇn thiÕt, ch¼ng h¹n c¸c dÊu ngoÆc ngoµi cïng. 
• L−îng tö phæ dông (∀) cho phÐp m« t¶ tÝnh chÊt cña c¶ mét líp c¸c ®èi t−îng, chø kh«ng
ph¶i cña mét ®èi t−îng, mµ kh«ng cÇn ph¶i liÖt kª ra tÊt c¶ c¸c ®èi t−îng trong líp. Ch¼ng h¹n sö dông vÞ 
tõ Elephant(x) (®èi t−îng x lµ con voi ) vµ vÞ tõ Color(x, Gray) (®èi t−îng x cã mÇu x¸m) th× c©u “ tÊt c¶ 
c¸c con voi ®Òu cã mÇu x¸m” cã thÓ biÓu diÔn bëi c«ng thøc ∀x (Elephant(x) ⇒ Color(x, Gray)). 
• L−îng tö tån t¹i (∃) cho phÐp ta t¹o ra c¸c c©u nãi ®Õn mét ®èi t−îng nµo ®ã trong mét líp
®èi t−îng mµ nã cã mét tÝnh chÊt hoÆc tho¶ m·n mét quan hÖ nµo ®ã. Ch¼ng h¹n b»ng c¸ch sö dông c¸c
c©u ®¬n Student(x) (x lµ sinh viªn) vµ Inside(x, P301), (x ë trong phßng 301), ta cã thÓ biÓu diÔn c©u “ Cã 
mét sinh viªn ë phßng 301” bëi biÓu thøc ∃x (Student(x) ∧ Inside(x,P301). 
 Mét c«ng thøc lµ c«ng thøc ph©n tö hoÆc phñ ®Þnh cña c«ng thøc ph©n tö ®−îc gäi lµ literal. 
Ch¼ng h¹n, Play(x, Football), ⎤ Like( Lan, Rose) lµ c¸c literal. Mét c«ng thøc lµ tuyÓn cña c¸c literal sÏ
®−îc gäi lµ c©u tuyÓn. Ch¼ng h¹n, Male(x) ∨ ⎤ Like(x, Foodball) lµ c©u tuyÓn. 
 Trong c«ng thøc ( ∀x G), hoÆc ∃x G trong ®ã G lµ mét c«ng thøc nµo ®ã, th× mçi xuÊt hiÖn cña
biÕn x trong c«ng thøc G ®−îc gäi lµ xuÊt hiÖn buéc. Mét c«ng thøc mµ tÊt c¶ c¸c biÕn ®Òu lµ xuÊt hiÖn 
buéc th× ®−îc gäi lµ c«ng thøc ®ãng. 
VÝ dô: C«ng thøc ∀xP( x, f(a, x)) ∧ ∃y Q(y) lµ c«ng thøc ®ãng, cßn c«ng thøc ∀x P( x, f(y, x)) 
kh«ng ph¶i lµ c«ng thøc ®ãng, v× sù xuÊt hiÖn cña biÕn y trong c«ng thøc nµy kh«ng chÞu rµng buéc bëi
mét l−îng tö nµo c¶ (Sù xuÊt hiÖn cña y gäi lµ sù xuÊt hiÖn tù do). 
 Sau nµy chóng ta chØ quan t©m tíi c¸c c«ng thøc ®ãng. 
6.1.2 Ng÷ nghÜa.
Còng nh− trong logic mÖnh ®Ò, nãi ®Õn ng÷ nghÜa lµ chóng ta nãi ®Õn ý nghÜa cña c¸c c«ng thøc
trong mét thÕ giíi hiÖn thùc nµo ®ã mµ chóng ta sÏ gäi lµ mét minh häa. 
§Ó x¸c ®Þnh mét minh ho¹, tr−íc hÕt ta cÇn x¸c ®Þnh mét miÒn ®èi t−îng ( nã bao gåm tÊt c¶ c¸c
®èi t−îng trong thÕ giíi hiÖn thùc mµ ta quan t©m). 
 Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương 
 Đinh Mạnh Tường Trang 60 
 Trong mét minh ho¹, c¸c ký hiÖu h»ng sÏ ®−îc g¾n víi c¸c ®èi t−îng cô thÓ trong miÒn ®èi t−îng
c¸c ký hiÖu hµm sÏ ®−îc g¾n víi mét hµm cô thÓ nµo ®ã. Khi ®ã, mçi h¹ng thøc cô thÓ sÏ chØ ®Þnh mét
®èi t−îng cô thÓ trong miÒn ®èi t−îng. Ch¼ng h¹n, nÕu An lµ mét ký hiÖu h»ng, Father lµ mét ký hiÖu
hµm, nÕu trong minh ho¹ An øng víi mét ng−êi cô thÓ nµo ®ã, cßn Father(x) g¾n víi hµm; øng víi mçi x
lµ cha cña nã, th× h¹ng thøc Father(An) sÏ chØ ng−êi cha cña An . 
 Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u ®¬n . 
Trong mét minh ho¹, c¸c ký hiÖu vÞ tõ sÏ ®−îc g¾n víi mét thuéc tÝnh, hoÆc mét quan hÖ cô thÓ
nµo ®ã. Khi ®ã mçi c«ng thøc ph©n tö (kh«ng chøa biÕn) sÏ chØ ®Þnh mét sù kiÖn cô thÓ. §−¬ng nhiªn sù
kiÖn nµy cã thÓ lµ ®óng (True) hoÆc sai (False). Ch¼ng h¹n, nÕu trong minh ho¹, ký hiÖu h»ng Lan øng víi 
mét c« g¸i cô thÓ nµo ®ã, cßn Student(x) øng víi thuéc tÝnh “x lµ sinh viªn” th× c©u Student (Lan) cã gi¸ 
trÞ ch©n lý lµ True hoÆc False tuú thuéc trong thùc tÕ Lan cã ph¶i lµ sinh viªn hay kh«ng. 
 Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u phøc hîp. 
 Khi ®· x¸c ®Þnh ®−îc ng÷ nghÜa cña c¸c c©u ®¬n, ta cã thÓ thùc hiÖn ®−îc ng÷ nghÜa cña c¸c c©u
phøc hîp (®−îc t¹o thµnh tõ c¸c c©u ®¬n b»ng c¸ch liªn kÕt c¸c c©u ®¬n bëi c¸c kÕt nèi logic) nh− trong
logic mÖnh ®Ò. 
VÝ dô: C©u Student(Lan) ∧ Student(An) nhËn gi¸ trÞ True nÕu c¶ hai c©u Student(Lan) vµ
Student(An) ®Òu cã gi¸ trÞ True, tøc lµ c¶ Lan vµ An ®Òu lµ sinh viªn. 
 C©u Like(Lan, Rose) ∨ Like(An, Tulip) lµ ®óng nÕu c©u Like(Lan, Rose) lµ ®óng hoÆc c©u 
Like(An, Tulip) lµ ®óng. 
 Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u chøa c¸c l−îng tö. 
 Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u ∀x G, trong ®ã G lµ mét c«ng thøc nµo ®ã, ®−îc x¸c ®Þnh nh− lµ ng÷ nghÜa
cña c«ng thøc lµ héi cña tÊt c¶ c¸c c«ng thøc nhËn ®−îc tõ c«ng thøc G b»ng c¸ch thay x bëi mét ®èi 
t−îng trong miÒn ®èi t−îng. Ch¼ng h¹n, nÕu miÒn ®èi t−îng gåm ba ng−êi {Lan, An, Hoa} th× ng÷ nghÜa
cña c©u ∀x Student(x) ®−îc x¸c ®Þnh lµ ng÷ nghÜa cña c©u Student(Lan) ∧ Student(An) ∧ Student(Hoa). 
C©u nµy ®óng khi vµ chØ khi c¶ ba c©u thµnh phÇn ®Òu ®óng, tøc lµ c¶ Lan, An, Hoa ®Òu lµ sinh viªn. 
 Nh− vËy, c«ng thøc ∀x G lµ ®óng nÕu vµ chØ nÕu mäi c«ng thøc nhËn ®−îc tõ G b»ng c¸ch thay x 
bëi mét ®èi t−îng trong miÒn ®èi t−îng ®Òu ®óng, tøc lµ G ®óng cho tÊt c¶ c¸c ®èi t−îng x trong miÒn ®èi
t−îng. 
 Ng÷ nghÜa cña c«ng thøc ∃x G ®−îc x¸c ®Þnh nh− lµ ng÷ nghÜa cña c«ng thøc lµ tuyÓn cña tÊt c¶ 
c¸c c«ng thøc nhËn ®−îc tõ G b»ng c¸ch thay x bëi mét ®èi t−îng trong miÒn ®èi t−îng. Ch¼ng h¹n, nÕu
ng÷ nghÜa cña c©u Younger(x,20) lµ “ x trÎ h¬n 30 tuæi ” vµ miÒn ®èi t−îng gåm ba ng−êi {Lan, An, Hoa} 
th× ng÷ nghÜa cña c©u ∃x Yourger(x,20) lµ ng÷ nghÜa cña c©u Yourger(Lan,20) ∨ Yourger(An,20) ∨
Yourger(Hoa,20). C©u nµy nhËn gi¸ trÞ True nÕu vµ chØ nÕu Ýt nhÊt mét trong ba ng−êi Lan, An, Hoa trÎ 
h¬n 20. 
 Nh− vËy c«ng thøc ∃x G lµ ®óng nÕu vµ chØ nÕu mét trong c¸c c«ng thøc nhËn ®−îc tõ G b»ng
c¸ch thay x b»ng mét ®èi t−îng trong miÒn ®èi t−îng lµ ®óng. 
 B»ng c¸c ph−¬ng ph¸p ®· tr×nh bµy ë trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc gi¸ trÞ ch©n lý ( True, False ) 
cña mét c«ng thøc bÊt kú trong mét minh ho¹. (L−u ý r»ng, ta chØ quan t©m tíi c¸c c«ng thøc ®óng ). 
 Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương 
 Đinh Mạnh Tường Trang 61 
 Sau khi ®· x¸c ®Þnh kh¸i niÖm minh ho¹ vµ gi¸ trÞ ch©n lý cña mét c«ng thøc trong mét minh ho¹,
cã thÓ ®−a ra c¸c kh¸i niÖm c«ng thøc v÷ng ch¾c ( tho¶ ®−îc, kh«ng tho¶ ®−îc ), m« h×nh cña c«ng thøc 
gièng nh− trong logic mÖnh ®Ò. 
 C¸c c«ng thøc t−¬ng ®−¬ng 
 Còng nh− trong logic mÖnh ®Ò, ta nãi hai c«ng thøc G vµ H t−¬ng ®−¬ng ( viÕt lµ G ≡ H ) nÕu 
chóng cïng ®óng hoÆc cïng sai trong mét minh ho¹. Ngoµi c¸c t−¬ng ®−¬ng ®· biÕt trong logic mÖnh ®Ò,
trong logic vÞ tõ cÊp mét cßn cã c¸c t−¬ng ®−¬ng kh¸c liªn quan tíi c¸c l−îng tö. Gi¶ sö G lµ mét c«ng
thøc, c¸ch viÕt G(x) nãi r»ng c«ng thøc G cã chøa c¸c xuÊt hiÖn cña biÕn x. Khi ®ã c«ng thøc G(y) lµ c«ng
thøc nhËn ®−îc tõ G(x) b»ng c¸ch thay tÊt c¶ c¸c xuÊt hiÖn cña x bëi y. Ta nãi G(y) lµ c«ng thøc nhËn
®−îc tõ G(x) b»ngc¸ch ®Æt tªn l¹i ( biÕn x ®−îc ®æi tªn l¹i lµ y ). 
Chóng ta cã c¸c t−¬ng ®−¬ng sau ®©y: 
1. ∀x G(x) ≡ ∀y G(y) 
 ∃x G(x) ≡ ∃y G(y) 
§Æt tªn l¹i biÕn ®i sau l−îng tö phæ dông ( tån t¹i ), ta nhËn ®−îc c«ng thøc t−¬ng ®−¬ng . 
2. ⎤ (∀x G(x)) ≡ ∃x ( ⎤ G(x)) 
⎤ ( ∃x G(x)) ≡ ∀x ( ⎤ G(x)) 
3. ∀x (G(x) ∧ H(x)) ≡ ∀x G(x) ∧ ∀x H(x) 
∃x (G(x) ∨ H(x)) ≡ ∃x G(x) ∨ ∃x H(x) 
vÝ dô : ∀x Love(x, Husband(x)) ≡ ∀y Love(y, Husband(y)).