Giáo trình Toán rời rạc - Chương VIII: Đại số Boole

ng những cách lập bản đồ Karnaugh bốn biến được cho trong hình dưới đây.
	Hai ô được gọi là kề nhau nếu các hội sơ cấp mà chúng biểu diễn chỉ khác nhau một biến. Do đó, mỗi một ô kề với bốn ô khác. Sự rút gọn một khai triển tổng các tích bốn biến được thực hiện bằng cách nhận dạng các khối gồm 2, 4, 8 hoặc 16 ô biểu diễn các hội sơ cấp có thể tổ hợp lại được. Mỗi ô biểu diễn một hội sơ cấp hoặc được dùng để lập một tích có ít biến hơn hoặc được đưa vào trong khai triển. Cũng như trong trường hợp bản đồ Karnaugh hai và ba biến, mục tiêu là cần phải nhận dạng các khối lớn nhất có chứa các số 1 bằng cách dùng một số ít nhất các khối, mà trước hết là các khối lớn nhất.
8.4.2. Phương pháp Quine-McCluskey:
8.4.2.1. Mở đầu: Ta đã thấy rằng các bản đồ Karnaugh có thể được dùng để tạo biểu thức cực tiểu của các hàm Boole như tổng của các tích Boole. Tuy nhiên, các bản đồ Karnaugh sẽ rất khó dùng khi số biến lớn hơn bốn. Hơn nữa, việc dùng các bản đồ Karnaugh lại dựa trên việc rà soát trực quan để nhận dạng các số hạng cần được nhóm lại. Vì những nguyên nhân đó, cần phải có một thủ tục rút gọn những khai triển tổng các tích có thể cơ khí hoá được. Phương pháp Quine-McCluskey là một thủ tục như vậy. Nó có thể được dùng cho các hàm Boole có số biến bất kỳ. Phương pháp này được W.V. Quine và E.J. McCluskey phát triển vào những năm 1950. Về cơ bản, phương pháp Quine-McCluskey có hai phần. Phần đầu là tìm các số hạng là ứng viên để đưa vào khai triển cực tiểu như một tổng các tích Boole mà ta gọi là các nguyên nhân nguyên tố. Phần thứ hai là xác định xem trong số các ứng viên đó, các số hạng nào là thực sự dùng được.
8.4.2.2. Định nghĩa: Cho hai hàm Boole F và G bậc n. Ta nói G là một nguyên nhân của F nếu TGTF, nghĩa là GF là một hằng đúng.
	Dễ thấy rằng mỗi hội sơ cấp trong một dạng tổng chuẩn tắc của F là một nguyên nhân của F. Hội sơ cấp A của F được gọi là một nguyên nhân nguyên tố của F nếu trong A xoá đi một biến thì hội nhận đuợc không còn là nguyên nhân của F.
	Nếu F1, , Fk là các nguyên nhân của F thì , . Khi đó . Do đó là một nguyên nhân của F.
	Cho S là một hệ các nguyên nhân của F. Ta nói rằng hệ S là đầy đủ đối với F nếu , nghĩa là .
8.4.2.3. Mệnh đề: Hệ các nguyên nhân nguyên tố của hàm F là một hệ đầy đủ.
Chứng minh: Gọi S là hệ các nguyên nhân nguyên tố của F. Ta có ,
Nên Giả sử dạng tổng chuẩn tắc hoàn toàn của F là nên .
	Xét , nếu G’ không phải là nguyên nhân nguyên tố của F thì bằng cách xoá bớt một số biến trong G’ ta thu được nguyên nhân nguyên tố G của F. Khi đó và hay . Vì vậy hay .
	Dạng tổng chuẩn tắc được gọi là dạng tổng chuẩn tắc thu gọn của F.
8.4.2.4. Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn:
	Giả sử F là một hàm Boole n biến x1, x2, , xn. Mỗi hội sơ cấp của n biến đó được biểu diễn bằng một dãy n ký hiệu trong bảng {0, 1, −} theo quy ước: ký tự thứ i là 1 hay 0 nếu xi có mặt trong hội sơ cấp là bình thường hay với dấu phủ định, còn nếu xi không có mặt thì ký tự này là −. Chẳng hạn, hội sơ cấp của 6 biến x1, , x6 là được biểu diễn bởi 0−11−0. Hai hội sơ cấp được gọi là kề nhau nếu các biểu diễn nói trên của chúng chỉ khác nhau ở một vị trí 0, 1. Rõ ràng các hội sơ cấp chỉ có thể dán được với nhau bằng phép dán nếu chúng là kề nhau.
	Thuật toán được tiến hành như sau: Lập một bảng gồm nhiều cột để ghi các kết quả dán. Sau đó lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1: Viết vào cột thứ nhất các biểu diễn của các nguyên nhân hạng n của hàm Boole F. Các biểu diễn được chia thành từng nhóm, các biểu diễn trong mỗi nhóm có số các ký hiệu 1 bằng nhau và các nhóm xếp theo thứ tự số các ký hiệu 1 tăng dần.
Bước 2: Lần lượt thực hiện tất cả các phép dán các biểu diễn trong nhóm i với các biểu diễn trong nhóm i+1 (i=1, 2, ). Biểu diễn nào tham gia ít nhất một phép dán sẽ được ghi nhận một dấu * bên cạnh. Kết quả dán được ghi vào cột tiếp theo.
Bước 3: Lặp lại Bước 2 cho cột kế tiếp cho đến khi không thu thêm được cột nào mới. Khi đó tất cả các biểu diễn không có dấu * sẽ cho ta tất cả các nguyên nhân nguyên tố của F.
Thí dụ 9: Tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn của các hàm Boole:
,
.
 0 0 1 0 *
 0 0 1 1 *
 1 1 0 0 *
 1 0 1 1 *
 1 1 0 1 *
 1 1 1 0 *
 1 1 1 1 *
 0 0 1 − 
 − 0 1 1 
 1 1 0 − *
 1 1 − 0 *
 1 − 1 1 
 1 1 − 1 *
 1 1 1 − *
 1 1 − −
 0 0 0 1 *
 0 1 0 1 *
 0 0 1 1 *
 1 0 0 1 *
 1 0 1 1 *
 0 1 1 1 *
 1 1 1 1 *
 0 − 0 1 *
 0 0 − 1 *
 − 0 0 1 *
 − 0 1 1 *
 1 0 − 1 *
 0 1 − 1 *
 0 − 1 1 *
 1 − 1 1 *
 − 1 1 1 *
 0 − − 1
 − 0 − 1
 − − 1 1
Từ các bảng trên ta có dạng tổng chuẩn tắc thu gọn của F1 và F2 là:
,
8.4.2.5. Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu:
	Sau khi tìm được dạng tổng chuẩn tắc thu gọn của hàm Boole F, nghĩa là tìm được tất cả các nguyên nhân nguyên tố của nó, ta tiếp tục phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (cực tiểu) của F như sau.
	Lập một bảng chữ nhật, mỗi cột ứng với một cấu tạo đơn vị của F (mỗi cấu tạo đơn vị là một hội sơ cấp hạng n trong dạng tổng chuẩn tắc hoàn toàn của F) và mỗi dòng ứng với một nguyên nhân nguyên tố của F. Tại ô (i, j), ta đánh dấu cộng (+) nếu nguyên nhân nguyên tố ở dòng i là một phần con của cấu tạo đơn vị ở cột j. Ta cũng nói rằng khi đó nguyên nhân nguyên tố i là phủ cấu tạo đơn vị j. Một hệ S các nguyên nhân nguyên tố của F được gọi là phủ hàm F nếu mọi cấu tạo đơn vị của F đều được phủ ít nhất bởi một thành viên của hệ. Dễ thấy rằng nếu hệ S là phủ hàm F thì nó là đầy đủ, nghĩa là tổng của các thành viên trong S là bằng F.
	Một nguyên nhân nguyên tố được gọi là cốt yếu nếu thiếu nó thì một hệ các nguyên nhân nguyên tố không thể phủ hàm F. Các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu được tìm như sau: tại những cột chỉ có duy nhất một dấu +, xem dấu + đó thuộc dòng nào thì dòng đó ứng với một nguyên nhân nguyên tố cốt yếu.
	Việc lựa chọn các nguyên nhân nguyên tố trên bảng đã đánh dấu, để được một dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu, có thể tiến hành theo các bước sau.
Bước 1: Phát hiện tất cả các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu.
Bước 2: Xoá tất cả các cột được phủ bởi các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu.
Bước 3: Trong bảng còn lại, xoá nốt những dòng không còn dấu + và sau đó nếu có hai cột giống nhau thì xoá bớt một cột.
Bước 4: Sau các bước trên, tìm một hệ S các nguyên nhân nguyên tố với số biến ít nhất phủ các cột còn lại.
	Tổng của các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu và các nguyên nhân nguyên tố trong hệ S sẽ là dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của hàm F.
	Các bước 1, 2, 3 có tác dụng rút gọn bảng trước khi lựa chọn. Độ phức tạp chủ yếu nằm ở Bước 4. Tình huống tốt nhất là mọi nguyên nhân nguyên tố đều là cốt yếu. Trường hợp này không phải lựa chọn gì và hàm F có duy nhất một dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu cũng chính là dạng tổng chuẩn tắc thu gọn. Tình huống xấu nhất là không có nguyên nhân nguyên tố nào là cốt yếu. Trường hợp này ta phải lựa chọn toàn bộ bảng.
Thí dụ 10: Tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của các hàm Boole cho trong Thí dụ 9.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Các nguyên nhân nguyên tố đều là cốt yếu nên dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của F1 là:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
	Các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu nằm ở dòng 1 và 2. Sau khi rút gọn, bảng còn dòng 3, 4 và một cột 3. Việc chọn S khá đơn giản: có thể chọn một trong hai nguyên nhân nguyên tố còn lại. Vì vậy ta được hai dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu là:
,
.
BÀI TẬP CHƯƠNG VIII:
1. Cho S là tập hợp các ước nguyên dương của 70, với các phép toán •, + và ’ được định nghĩa trên S như sau:
a • b = UCLN(a, b), a + b = BCNN(a, b), a’ = 70/a.
Chứng tỏ rằng S cùng với các phép toán •, + và ’ lập thành một đại số Boole.
2. Chứng minh trực tiếp các định lý 6b, 7b, 8b (không dùng đối ngẫu để suy ra từ 6a, 7a, 8a).
3. Chứng minh rằng:
a) (a+b).(a+b’) = a;
b) (a.b)+(a’.c) = (a+c).(a’+b).
4. Cho các hàm Boole F1, F2, F3 xác định bởi bảng sau:
x
y
z
F1
F2
F3
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Vẽ mạch thực hiện các hàm Boole này.
5. Hãy dùng các cổng NAND để xây dựng các mạch với các đầu ra như sau:
	a) 	b) xy	c) x+y	d) xy.
6. Hãy dùng các cổng NOR để xây dựng các mạch với các đầu ra được cho trong Bài tập 5.
7. Hãy dùng các cổng NAND để dựng mạch cộng bán phần.
8. Hãy dùng các cổng NOR để dựng mạch cộng bán phần.
9. Dùng các bản đồ Karnaugh, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (khai triển cực tiểu) của các hàm Boole ba biến sau:
a) .
b) .
c) .
d) .
10. Dùng các bản đồ Karnaugh, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của các hàm Boole bốn biến sau:
	a) .
	b) .
	c) .
	d) .
11. Dùng phương pháp Quine-McCluskey, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của các hàm Boole ba biến cho trong Bài tập 9 và hãy vẽ mạch thực hiện các dạng tối thiểu tìm được.
12. Dùng phương pháp Quine-McCluskey, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của các hàm Boole bốn biến cho trong Bài tập 9 và hãy vẽ mạch thực hiện các dạng tối thiểu tìm được.
13. Hãy giải thích làm thế nào có thể dùng các bản đồ Karnaugh để rút gọn dạng tích chuẩn tắc (tích các tổng) hoàn toàn của một hàm Boole ba biến. (Gợi ý: Đánh dấu bằng số 0 tất cả các tuyển sơ cấp trong biểu diễn và tổ hợp các khối của các tuyển sơ cấp.)
14. Dùng phương pháp ở Bài tập 13, hãy rút gọn dạng tích chuẩn tắc hoàn toàn:
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Cam-Chu Đức Khánh, Lý thuyết đồ thị, NXB Thành phố Hồ Chí Minh, 1999.
[2] Hoàng Chúng, Đại cương về toán học hữu hạn, NXB Giáo dục, 1997.
[3] Phan Đình Diệu, Lý thuyết Ô-tô-mat và thuật toán, NXB Đại học và THCN, 1977.
[4] Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2000.
[5] Nguyễn Xuân Quỳnh, Cơ sở toán rời rạc và ứng dụng, NXB Giáo dục, 1995.
[6] Đặng Huy Ruận, Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2000.
[7] Nguyễn Tô Thành-Nguyễn Đức Nghĩa, Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 1997.
[8] Claude Berge, Théorie des graphes et ses applications, Dunod, Paris 1963.
[9] Richard Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Macmillan Publishing Company, New york 1992.