Giáo trình Toán rời rạc - Chương V: Một số bài toán tối ưu trên đồ thị

h ứng với một hoán vị nào đó của tập {1, 2, ..., n}. Còn nếu cho trước thành phố xuất phát thì có tất cả là (n-1)! hành trình.
	Giả sử h=(p(1), p(2), ..., p(n), p(1)) (p là một hoán vị) là một hành trình qua các thành phố p(1), ..., p(n) theo thứ tự đó rồi quay về p(1) thì hàm mục tiêu
f(h) =,
sẽ biểu thị tổng độ dài đã đi theo hành trình h, trong đó (i,j) ký hiệu một chặng đường của hành trình, tức là một cặp thành phố kề nhau theo hành trình h.
5.3.4. Ma trận rút gọn: Quá trình tính toán sẽ được thực hiện trên các ma trận suy từ ma trận trọng số M=(mij) ban đầu bằng những phép biến đổi rút gọn để các số liệu được đơn giản.
	Phép trừ phần tử nhỏ nhất của mỗi dòng (t.ư. cột) vào tất cả các phần tử của dòng (t.ư. cột) đó được gọi là phép rút gọn dòng (t.ư. cột). Phần tử nhỏ nhất đó được gọi là hằng số rút gọn dòng (t.ư. cột) đang xét. Ma trận với các phần tử không âm và có ít nhất một phần tử bằng 0 trên mỗi dòng và mỗi cột được gọi là ma trận rút gọn của ma trận ban đầu.
3
Thí dụ 4: 
0
0
1
5
2
M = M’ = ,
tất nhiên có thể rút gọn cách khác
4
2
5
0
0
0
M = M’’ = .
5.3.5. Mệnh đề: Phương án tối ưu xét trên ma trận trọng số ban đầu cũng là phương án tối ưu của bài toán xét trên ma trận rút gọn và đảo lại.
Chứng minh: Có thể xem việc đi tìm chu trình Hamilton của người du lịch như là một bài toán vận tải đặc biệt dưới dạng bảng. Như vậy thì trong bảng (ma trận trọng số hoặc ma trận rút gọn) ta phải có đúng n ô chọn, mỗi ô chọn tượng trưng cho một cặp thành phố trên hành trình cần tìm, trên mỗi dòng và mỗi cột có đúng một ô chọn. Mỗi hành trình h sẽ tương ứng một-một với một tập n ô chọn xác định. f(h) chính là tổng các trọng số ban đầu ghi trong n ô chọn đang xét.
	Với mỗi hành trình h bất kỳ, nếu ký hiệu f¢(h)=là giá trị của hàm mục tiêu ứng với ma trận rút gọn M’ và s là tổng các hằng số rút gọn thì ta có:
f(h) = f¢(h)+s.
	Gọi X là tập toàn bộ các phương án đang xét ở một giai đoạn nào đó, h0 là phương án tối ưu của bài toán xét trên ma trận trọng số ban đầu M, ta có:
f(h0) £ f(h), "hÎX
hay f(h0)-s £ f(h)-s, "hÎX hay f¢(h0) £ f¢(h), "hÎX hay h0 là phương án tối ưu của bài toán xét trên ma trận rút gọn M’.
5.3.6. Phân nhánh: Sự phân hoạch tập hợp tất cả các hành trình ở một giai đoạn nào đó thành hai tập con rời nhau được biểu diễn bằng sự phân nhánh của một cây. Trên cây, mỗi đỉnh được biểu diễn thành một vòng tròn và sẽ tượng trưng cho môt tập hành trình nào đó. Đỉnh X đầu tiên là tập toàn bộ các hành trình. Đỉnh (i,j) biểu diễn tập các hành trình có chứa cặp (i,j) kề nhau. Đỉnh biểu diễn tập các hành trình không chứa cặp (i,j) kề nhau. Tại đỉnh (i,j) lại có sự phân nhánh: đỉnh (k,l) biểu diễn tập các hành trình có chứa cặp (i,j) và cặp (k,l), đỉnh biểu diễn tập các hành trình có chứa cặp (i,j) nhưng không chứa cặp (k,l) ...
	Nếu quá trình diễn ra đủ lớn thì cuối cùng sẽ có những đỉnh chỉ biểu diễn một hành trình duy nhất.
	Vấn đề đặt ra là nên chọn cặp thành phố nào để tiến hành phân nhánh xuất phát từ một đỉnh cho trước trên cây? Một cách tự nhiên ta nên chọn cặp thành phố nào gần nhau nhất để phân nhánh trước, trên ma trận rút gọn thì những cặp thành phố (i,j) như vậy đều có =0 và những hành trình nào chứa cặp (i,j) đều có triển vọng là tốt.
	Trên ma trận rút gọn thường có nhiều cặp thành phố thoả mãn điều kiện đó (=0). Để quyết định ta phải tìm cách so sánh. Vì thành phố i nhất thiết phải nối liền với một thành phố nào đó nên các hành trình h không chứa (i,j) tức là hÎ phải ứng với những độ dài hành trình ít ra có chứa phần tử nhỏ nhất trong dòng i không kể =0 và phần tử nhỏ nhất trong cột j không kể =0 vì thành phố j nhất thiết phải nối liền với một thành phố nào đó ở trước nó trên hành trình. Ký hiệu tổng của hai phần tử nhỏ nhất đó là qij thì ta có f¢(h) ³ qij, "hÎ.
	Vì lý do trên, số qij có thể dùng làm tiêu chuẩn so sánh giữa các cặp thành phố (i,j) cùng có =0. Một cách tổng quát, ở mỗi giai đoạn ta sẽ chọn cặp thành phố (i,j) có =0 trong ma trận rút gọn và có qij lớn nhất để tiến hành phân nhánh từ một đỉnh trên cây.
5.3.7. Tính cận: Với mỗi đỉnh của cây phân nhánh, ta phải tính cận dưới của các giá trị hàm mục tiêu ứng với tập phương án mà đỉnh đó biểu diễn. Cận dưới tính được sẽ ghi bên dưới đỉnh đang xét.
	Theo công thức f(h)=f¢(h)+s và do f¢(h) ³ 0 nên f(h) ³ s, "hÎX. Vì vậy tổng các hằng số rút gọn của ma trận ban đầu có thể lấy làm cận dưới của đỉnh X đầu tiên trên cây. Mặt khác, ta lại có f¢(h) ³ qij, "hÎ, do đó f(h)=f¢(h)+s ³ qij+s, "hÎ. Vì vậy tổng qij+s có thể lấy làm cận dưới cho đỉnh . Sau khi chọn (i,j) để phân nhánh xuất phát từ đỉnh X thì trên bảng có thể xoá dòng i và cột j vì trên đó ô chọn (i,j) là duy nhất. Sau khi bỏ dòng i và cột j thì ma trận M’ lại có thể rút gọn thành ma trận M’’ với s’ là tổng các hằng số rút gọn, f²(h) là giá trị của hàm mục tiêu xét trên M’’. Khi đó ta có f¢(h)=f²(h)+s’, "hÎ(i,j), do đó f(h)=f¢(h)+s=f²(h)+s+s’, "hÎ(i,j). Do f²(h) ³ 0 nên f(h) ³ s+s’, "hÎ(i,j), nghĩa là tổng s+s’ có thể lấy làm cận dưới cho đỉnh (i,j) trong cây phân nhánh.
	Nếu tiếp tục phân nhánh thì cận dưới của các đỉnh tiếp sau được tính toán tương tự, vì đây là một quá trình lặp. Ta chỉ cần xem đỉnh xuất phát của các nhánh giống như đỉnh X ban đầu.. Để tiết kiệm khối lượng tính toán, người ta thường chọn đỉnh có cận dưới nhỏ nhất để phân nhánh tiếp tục.
5.3.8. Thủ tục ngăn chặn hành trình con: Một đường đi hoặc chu trình Hamilton không thể chứa chu trình con với số cạnh tạo thành nhỏ hơn n. Vì vậy ta sẽ đặt mii=¥ (i=1, ..., n) để tránh các khuyên.
	Với i¹j và nếu (i,j) là ô chọn thì phải đặt ngay m’ji=¥ trong ma trận rút gọn.
	Nếu đã chọn (i,j) và (j,k) và n>3 thì phải đặt ngay m’ji=m’kj=m’ki=¥.
Chú ý rằng việc đặt m’ij=¥ tương đương với việc xoá ô (i,j) trong bảng hoặc xem (i,j) là ô cấm, nghĩa là hai thành phố i và j không được kề nhau trong hành trình định kiến thiết. Ở mỗi giai đoạn của quá trình đều phải tiến hành thủ tục ngăn chặn này trước khi tiếp tục rút gọn ma trận.
5.3.9. Tính chất tối ưu: Quá trình phân nhánh, tính cận, ngăn chặn hành trình con, rút gọn ma trận phải thực hiện cho đến khi nào có đủ n ô chọn để kiến thiết một hành trình Hamilton, nói cách khác là cho đến khi trên cây phân nhánh đã xuất hiện một đỉnh chỉ biểu diễn một hành trình duy nhất và đã xoá hết được mọi dòng mọi cột trong bảng. Cận dưới của đỉnh cuối cùng này chính là độ dài của hành trình vừa kiến thiết.
a) Nếu cận dưới của đỉnh này không lớn hơn các cận dưới của mọi đỉnh treo trên cây phân nhánh thì hành trình đó là tối ưu.
b) Nếu trái lại thì phải xuất phát từ đỉnh treo nào có cận dưới nhỏ hơn để phân nhánh tiếp tục và kiểm tra xem điều kiện a) có thoả mãn không.
16
Thí dụ 5: Xét bài toán với 6 thành phố, các số liệu cho theo bảng sau:
0
0
0
0
0
5
5
5
16
0
1
M = 
	Tổng các hằng số rút gọn bước đầu là s=48. Trong ma trận rút gọn ta có:
m’14=m’24=m’36=m’41=m’42=m’56=m’62=m’63=m’65=0
và q14=10, q24=1, q36=5, q41=1, q42=0, q56=2, q62=0, q63=9, q65=2. Sau khi so sánh ta thấy q14=10 là lớn nhất nên ta chọn ô (1,4) để phân nhánh. Cận dưới của đỉnh là s+q14=58. Xoá dòng 1 cột 4 rồi đặt m’41=¥.
6
1
2
3
4
1
5
4
6
5
3
2
M’ = .
2
6
6
5
5
3
3
2
2
1
1
6
6
5
5
4
4
3
3
2
M’’ = .
Tổng hằng số rút gọn là s’=1. Vậy cận dưới của đỉnh (1,4) là s+s’=49. Vì 49<58 nên tiếp tục phân nhánh tại đỉnh (1,4). Trong ma trận còn lại, sau khi rút gọn ta có
m”21=m”36=m”42=m”56=m”62=m”63=m”65=0.
6
5
3
2
6
5
3
2
3
3
Ở giai đoạn này, sau khi tính toán ta thấy q21=14 là lớn nhất nên chọn tiếp ô (2,1). Cận dưới của đỉnh là 49+q21=63. Xoá dòng 2 cột 1. Đặt m”42=¥. Rút gọn ma trận còn lại, ta có:
6
5
6
5
4
4
M’’’= .
Tổng hằng số rút gọn là 2. Cận dưới của đỉnh (2,1) là 49+2=51.
	Tiếp tục như vậy cuối cùng ta được 6 ô chọn là:
(1,4), (2,1), (5,6), (3,5), (4,3), (6,2)
và kiến thiết hành trình h0=(1 4 3 5 6 2 1) với f(h0)=63 là cận dưới của đỉnh cuối cùng. cận dưới của đỉnh cuối cùng là 63, trong khi đó đỉnh treo có cận dưới là 58<63 nên phải tiếp tục phân nhánh từ đó để kiểm tra. Sau sự phân nhánh này thì mọi đỉnh treo đều có cận dưới không nhỏ hơn 63 nên có thể khẳng định rằng hành trình h0=(1 4 3 5 6 2 1) là tối ưu.
	Sự phân nhánh từ đỉnh được làm như sau: trong ma trận rút gọn đợt 1, ta đặt m’14=¥ vì xem ô (1,4) là ô cấm, q63=9 là lớn nhất trong các qij, do đó chọn ô (6,3) để phân nhánh. Cận dưới của đỉnh là 58+9=67. Đặt m’36=¥. Rút gọn ma trận với tổng hằng số rút gọn là 15. Cận dưới của đỉnh (6,3) là 58+15=73.
X
X
63
64
56
73
51
49
65
63
67
58
48
X
X
X
X
63
BÀI TẬP CHƯƠNG V:
1. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến các đỉnh khác trong đồ thị sau:
3
k
d
12
7
2
1
2
2
4
4
b
e
5
4
g
a
h
3
7
5
1
11
c
b
4
h
f
g
d
c
2. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến các đỉnh khác trong đồ thị sau:
5
2
10
4
1
k
i
2
1
3
6
10
e
8
5
4
3
a
5
3
2
8
6
3
7
3. Cho đồ thị có trọng số như hình dưới đây. Hãy tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh N.
4
2
2
2
9
2
8
3
M
H
L
G
K
J
F
A
3
6
2
5
B
C
D
E
1
4
2
2
3
I
3
2
5
3
4
3
2
4
7
5
A
N
G
F
D
C
4. Tìm đường đi ngắn nhất từ B đến các đỉnh khác của đồ thị có ma trận trọng số là (các ô trống là ¥):
A
E
B
G
F
E
D
C
B
5. Tìm W* bằng cách áp dụng thuật toán Floyd vào đồ thị sau:
8
C
B
6
2
3
8
13
5
20
F
3
E
D
A
v1
4
1
6. Giải bài toán mạng vận tải sau bằng thuật toán Ford-Fulkerson với luồng vận tải khởi đầu bằng 0.
4
4
2
v2
v5
8
2
4
2
v7
v0
v4
8
3
4
4
6
6
v3
v6
6
6
7. Giải bài toán mạng vận tải sau bằng thuật toán Ford-Fulkerson với luồng vận tải khởi đầu được cho kèm theo.
v1
6
0
2
8
15
10
8
10
v0
16
8
20
10
8
v7
25
3
16
0
6
10
28
v6
v5
v4
v2
v3
3
6
4
10
0
2
15
5
0
0
7
0
0
8
6
7
2
2
2
v10
30
1
15
4
2
v11
v8
2
12
v9
0
20
8. Hãy giải bài toán người du lịch với 6 thành phố, có số liệu cho trong ma trận trọng số sau:
.