Giáo trình Toán rời rạc - Chương 7: Đồ thị phẳng và tô màu đồ thị

, tồn tại một 
đường đi từ u đến v, nếu đường này có độ dài chẵn thì tô màu 0 cho v, nếu đường này có 
độ dài lẻ thì tô màu 1 cho v. Nếu có hai đường đi mang tính chẵn lẻ khác nhau cùng nối 
a b c 
d e 
f g h 
3 1 2 
2 4 
4 3 1 
 109 
u với v thì dễ thấy rằng G phải chứa ít nhất một chu trình độ dài lẻ. Điều mâu thuẫn này 
cho biết hai màu 0 và 1 tô đúng đồ thị G. 
7.3.5. Mệnh đề: Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một đồ thị không chứa K3 và có 
sắc số bằng n. 
Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo n. 
 Trường hợp n=1 là hiển nhiên. 
 Giả sử ta có đồ thị Gn với kn đỉnh, không chứa K3 và có sắc số là n. Ta xây dựng 
đồ thị Gn+1 gồm n bản sao của Gn và thêm kn
n
 đỉnh mới theo cách sau: mỗi bộ thứ tự 
(v1, v2, …, vn), với vi thuộc bản sao Gn thứ i, sẽ tương ứng với một đỉnh mới, đỉnh mới 
này được nối bằng n cạnh mới đến các đỉnh v1, v2, …, vn. Dễ thấy rằng Gn+1 không chứa 
K3 và có sắc số là n+1. 
7.3.6. Định lý (Định lý 5 màu của Kempe-Heawood): Mọi đồ thị phẳng đều có 
thể tô đúng bằng 5 màu. 
Chứng minh: Cho G là một đồ thị phẳng. Không mất tính chất tổng quát có thể xem G 
là liên thông và có số đỉnh n ≥ 5. Ta chứng minh G được tô đúng bởi 5 màu bằng quy 
nạp theo n. 
 Trường hợp n=5 là hiển nhiên. Giả sử định lý đúng cho tất cả các đồ thị phẳng có 
số đỉnh nhỏ hơn n. Xét G là đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh. 
 Theo Hệ quả 7.1.4, trong G tồn tại đỉnh a với deg(a) ≤ 5. Xoá đỉnh a và các cạnh 
liên thuộc với nó, ta nhận được đồ thị phẳng G’ có n−1 đỉnh. Theo giả thiết quy nạp, có 
thể tô đúng các đỉnh của G’ bằng 5 màu. Sau khi tô đúng G’ rồi, ta tìm cách tô đỉnh a 
bằng một màu khác với màu của các đỉnh kề nó, nhưng vẫn là một trong 5 màu đã dùng. 
Điều này luôn thực hiện được khi deg(a) < 5 hoặc khi deg(a)=5 nhưng 5 đỉnh kề a đã 
được tô bằng 4 màu trở xuống. 
 Chỉ còn phải xét trường hợp deg(a)=5 mà 5 đỉnh kề a là b, c, d, e ,f đã được tô 
bằng 5 màu rồi. Khi đó trong 5 đỉnh b, c, d, e ,f phải có 2 đỉnh không kề nhau, vì nếu 5 
đỉnh đó đôi một kề nhau thì b c d e f là đồ thị đầy đủ K5 và đây là một đồ thị không 
phẳng, do đó G không phẳng, trái với giả thiết. Giả sử b và d không kề nhau (Hình 1). 
 Hình 1 Hình 2 Hình 3 
f 
a 
e 
d 
c 
b 
m n 
f 
a 
c 
e 
m n 
(1) 
(2) 
(3) (4) 
(2) 
(5) 
a 
f 
e 
d 
c 
b 
m n 
(1) 
(1) 
(2) 
(2) 
(5) 
 110 
Xoá 2 đỉnh b và d và cho kề a những đỉnh trước đó kề b hoặc kề d mà không kề a (Hình 
2), ta được đồ thị mới G’’ có n−2 đỉnh. Theo giả thiết quy nạp, ta có thể tô đúng G’’ 
bằng 5 màu. Sau khi các đỉnh của G’’ được tô đúng rồi (Hình 2), ta dựng lại 2 đỉnh b và 
d, rồi tô b và d bằng màu đã tô cho a (màu 1, Hình 3), còn a thì được tô lại bằng màu 
khác với màu của b, c, d, e, f. Vì b và d không kề nhau đã được tô bằng cùng màu 1, nên 
với 5 đỉnh này chỉ mới dùng hết nhiều lắm 4 màu.. Do đó G được tô đúng bằng 5 màu. 
7.3.7. Định lý (Định lý 4 màu của Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng đều có thể tô 
đúng bằng 4 màu. 
 Định lý Bốn màu đầu tiên được đưa ra như một phỏng đoán vào năm 1850 bởi 
một sinh viên người Anh tên là F. Guthrie và cuối cùng đã được hai nhà toán học Mỹ là 
Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứng minh vào năm 1976. Trước năm 1976 cũng 
đã có nhiều chứng minh sai, mà thông thường rất khó tìm thấy chỗ sai, đã được công bố. 
Hơn thế nữa đã có nhiều cố gắng một cách vô ích để tìm phản thí dụ bằng cách cố vẽ 
bản đồ cần hơn bốn màu để tô nó. 
 Có lẽ một trong những chứng minh sai nổi tiếng nhất trong toán học là chứng 
minh sai “bài toán bốn màu” được công bố năm 1879 bởi luật sư, nhà toán học nghiệp 
dư Luân Đôn tên là Alfred Kempe. Nhờ công bố lời giải của “bài toán bốn màu”, 
Kempe được công nhận là hội viên Hội Khoa học Hoàng gia Anh. Các nhà toán học 
chấp nhận cách chứng minh của ông ta cho tới 1890, khi Percy Heawood phát hiện ra 
sai lầm trong chứng minh của Kempe. Mặt khác, dùng phương pháp của Kempe, 
Heawood đã chứng minh được “bài toán năm màu” (tức là mọi bản đồ có thể tô đúng 
bằng 5 màu). 
 Như vậy, Heawood mới giải được “bài toán năm màu”, còn “bài toán bốn màu” 
vẫn còn đó và là một thách đố đối với các nhà toán học trong suốt gần một thế kỷ. Việc 
tìm lời giải của “bài toán bốn màu” đã ảnh hưởng đến sự phát triển theo chiều hướng 
khác nhau của lý thuyết đồ thị. 
 Mãi đến năm 1976, khai thác phương pháp của Kempe và nhờ công cụ máy tính 
điện tử, Appel và Haken đã tìm ra lời giải của “bài toán bốn màu”. Chứng minh của họ 
dựa trên sự phân tích từng trường hợp một cách cẩn thận nhờ máy tính. Họ đã chỉ ra 
rằng nếu “bài toán bốn màu” là sai thì sẽ có một phản thí dụ thuộc một trong gần 2000 
loại khác nhau và đã chỉ ra không có loại nào dẫn tới phản thí dụ cả. Trong chứng minh 
của mình họ đã dùng hơn 1000 giờ máy. Cách chứng minh này đã gây ra nhiều cuộc 
tranh cãi vì máy tính đã đóng vai trò quan trọng biết bao. Chẳng hạn, liệu có thể có sai 
lầm trong chương trình và điều đó dẫn tới kết quả sai không? Lý luận của họ có thực sự 
là một chứng minh hay không, nếu nó phụ thuộc vào thông tin ra từ một máy tính không 
đáng tin cậy? 
 111 
7.3.8. Những ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị: 
1) Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh viên nào 
có hai môn thi cùng một lúc. 
 Có thể giải bài toán lập lịch thi bằng mô hình đồ thị, với các đỉnh là các môn thi, 
có một cạnh nối hai đỉnh nếu có sinh viên phải thi cả hai môn được biểu diễn bằng hai 
đỉnh này. Thời gian thi của mỗi môn được biểu thị bằng các màu khác nhau. Như vậy 
việc lập lịch thi sẽ tương ứng với việc tô màu đồ thị này. 
 Chẳng hạn, có 7 môn thi cần xếp lịch. Giả sử các môn học đuợc đánh số từ 1 tới 
7 và các cặp môn thi sau có chung sinh viên: 1 và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 7, 2 và 3, 2 và 
4, 2 và 5, 2 và 7, 3 và 4, 3 và 6, 3 và 7, 4 và 5, 4 và 6, 5 và 6, 5 và 7, 6 và 7. Hình dưới 
đây biểu diễn đồ thị tương ứng. Việc lập lịch thi chính là việc tô màu đồ thị này. Vì số 
màu của đồ thị này là 4 nên cần có 4 đợt thi. 
2) Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số 1 tới số 12 được phân chia cho các 
đài truyền hình sao cho không có đài phát nào cách nhau không quá 240 km lại dùng 
cùng một kênh. Có thể chia kênh truyền hình như thế nào bằng mô hình tô màu đồ thị. 
 Ta xây dựng đồ thị bằng cách coi mỗi đài phát là một đỉnh. Hai đỉnh được nối với 
nhau bằng một cạnh nếu chúng ở cách nhau không quá 240 km. Việc phân chia kênh 
tương ứng với việc tô màu đồ thị, trong đó mỗi màu biểu thị một kênh. 
3) Các thanh ghi chỉ số: Trong các bộ dịch hiệu quả cao việc thực hiện các vòng lặp 
được tăng tốc khi các biến dùng thường xuyên được lưu tạm thời trong các thanh ghi chỉ 
số của bộ xử lý trung tâm (CPU) mà không phải ở trong bộ nhớ thông thường. Với một 
vòng lặp cho trước cần bao nhiêu thanh ghi chỉ số? Bài toán này có thể giải bằng mô 
hình tô màu đồ thị. Để xây dựng mô hình ta coi mỗi đỉnh của đồ thị là một biến trong 
vòng lặp. Giũa hai đỉnh có một cạnh nếu các biến biểu thị bằng các đỉnh này phải được 
lưu trong các thanh ghi chỉ số tại cùng thời điểm khi thực hiện vòng lặp. Như vậy số 
màu của đồ thị chính là số thanh ghi cần có vì những thanh ghi khác nhau được phân 
cho các biến khi các đỉnh biểu thị các biến này là liền kề trong đồ thị. 
1 
7 2 
3 6 
5 4 
Đỏ 
Xanh 
Đỏ Vàng 
Vàng Nâu 
Nâu 
 112 
BÀI TẬP CHƯƠNG VI: 
1. Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông có 10 mặt, tất cả các đỉnh đều có bậc 4. 
Tìm số đỉnh của đồ thị G. 
2. Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông có 9 đỉnh, bậc các đỉnh là 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 
4, 5. Tìm số cạnh và số mặt của G. 
3. Tìm số đỉnh, số cạnh và đai của: 
a) Kn; b) Km,n. 
4. Chứng minh rằng: 
a) Kn là phẳng khi và chỉ khi n ≤ 4. 
b) Km,n là phẳng khi và chỉ khi m ≤ 2 hay n ≤ 2. 
5. Đồ thị nào trong các đồ thị không phẳng sau đây có tính chất: Bỏ một đỉnh bất kỳ và 
các cạnh liên thuộc của nó tạo ra một đồ thị phẳng. 
a) K5; b) K6; c) K3,3. 
6. Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh và m cạnh, trong đó n ≥ 3. Chứng 
minh rằng: 
m ≤ 3n − 6. 
7. Trong các đồ thị ở hình dưới đây, đồ thị nào là phẳng, đồ thị nào không phẳng? Nếu 
đồ thị là phẳng thì có thể kẻ thêm ít nhất là bao nhiêu cạnh để được đồ thị không phẳng? 
 G1 G2 G3 
8. Chứng minh rằng đồ thị Peterson (đồ thị trong Bài tập 8, Chương IV) là đồ thị không 
phẳng. 
9. Cho G là một đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, m cạnh và đai là g, với g ≥ 3. Chứng 
minh rằng: 
m ≤ 
2g
g
(n − 2). 
10. Đa diện lồi có d mặt (d ≥ 5), mà từ mỗi đỉnh có đúng 3 cạnh. Hai người chơi trò 
chơi như sau: mỗi người lần lượt tô đỏ một mặt trong các mặt còn lại. Người thắng là 
a 
b 
c 
d 
e 
f 
g 
h 
f 
c d e 
g 
b f 
b 
c a 
d e 
g f 
 113 
người tô được 3 mặt có chung một đỉnh. Chứng minh rằng tồn tại cách chơi mà người 
được tô trước luôn luôn thắng. 
11. Chứng minh rằng: 
a) Một đồ thị phẳng có thể tô đúng các đỉnh bằng hai màu khi và chỉ khi đó là đồ thị 
phân đôi. 
b) Một đồ thị phẳng có thể tô đúng các miền bằng hai màu khi và chỉ khi đó là đồ thị 
Euler. 
12. Tìm sắc số của các đồ thị cho trong Bài tập 7. 
13. Tìm sắc số của các đồ thị Kn, Km,n, Cn, và Wn. 
14. Khoa Toán có 6 hội đồng họp mỗi tháng một lần. Cần có bao nhiêu thời điểm họp 
khác nhau để đảm bảo rằng không ai bị xếp lịch họp hai hội đồng cùng một lúc, nếu các 
hội đồng là: 
H1 = {H, L, P}, H2 = {L, M, T}, H3 = {H, T, P}. 
15. Một vườn bách thú muốn xây dựng chuồng tự nhiên để trưng bày các con thú. 
Không may, một số loại thú sẽ ăn thịt các con thú khác nếu có cơ hội. Có thể dùng mô 
hình đồ thị và tô màu đồ thị như thế nào để xác định số chuồng khác nhau cần có và 
cách nhốt các con thú vào các chuồng thú tự nhiên này? 
16. Chứng minh rằng một đơn đồ thị phẳng có 8 đỉnh và 13 cạnh không thể được tô 
đúng bằng hai màu. 
17. Chứng minh rằng nếu G là một đơn đồ thị phẳng có ít hơn 12 đỉnh thì tồn tại trong 
G một đỉnh có bậc ≤ 4. Từ đó hãy suy ra rằng đồ thị G có thể tô đúng bằng 4 màu.