Giáo trình Toán rời rạc - Chương 5: Một số bài toán tối ưu trên đồ thị

 trên mỗi dòng và mỗi cột có đúng một ô chọn. Mỗi hành 
trình h sẽ tương ứng mộtmột với một tập n ô chọn xác định. f(h) chính là tổng các 
trọng số ban đầu ghi trong n ô chọn đang xét. 
 Với mỗi hành trình h bất kỳ, nếu ký hiệu f(h)= 
hji
ijm
),(
' là giá trị của hàm mục 
tiêu ứng với ma trận rút gọn M’ và s là tổng các hằng số rút gọn thì ta có: 
f(h) = f(h)+s. 
 Gọi X là tập toàn bộ các phương án đang xét ở một giai đoạn nào đó, h0 là 
phương án tối ưu của bài toán xét trên ma trận trọng số ban đầu M, ta có: 
f(h0)  f(h), hX 
hay f(h0)s  f(h)s, hX hay f(h0)  f(h), hX hay h0 là phương án tối ưu của bài 
toán xét trên ma trận rút gọn M’. 
3 
2 
5 
1 0 0 
4 2 
0 
0 
0 
5 
 81 
5.3.6. Phân nhánh: Sự phân hoạch tập hợp tất cả các hành trình ở một giai đoạn nào 
đó thành hai tập con rời nhau được biểu diễn bằng sự phân nhánh của một cây. Trên 
cây, mỗi đỉnh được biểu diễn thành một vòng tròn và sẽ tượng trưng cho môt tập hành 
trình nào đó. Đỉnh X đầu tiên là tập toàn bộ các hành trình. Đỉnh (i,j) biểu diễn tập các 
hành trình có chứa cặp (i,j) kề nhau. Đỉnh ),( ji biểu diễn tập các hành trình không chứa 
cặp (i,j) kề nhau. Tại đỉnh (i,j) lại có sự phân nhánh: đỉnh (k,l) biểu diễn tập các hành 
trình có chứa cặp (i,j) và cặp (k,l), đỉnh ),( lk biểu diễn tập các hành trình có chứa cặp 
(i,j) nhưng không chứa cặp (k,l) ... 
 Nếu quá trình diễn ra đủ lớn thì cuối cùng sẽ có những đỉnh chỉ biểu diễn một 
hành trình duy nhất. 
 Vấn đề đặt ra là nên chọn cặp thành phố nào để tiến hành phân nhánh xuất phát 
từ một đỉnh cho trước trên cây? Một cách tự nhiên ta nên chọn cặp thành phố nào gần 
nhau nhất để phân nhánh trước, trên ma trận rút gọn thì những cặp thành phố (i,j) như 
vậy đều có ijm' =0 và những hành trình nào chứa cặp (i,j) đều có triển vọng là tốt. 
 Trên ma trận rút gọn thường có nhiều cặp thành phố thoả mãn điều kiện đó 
( ijm' =0). Để quyết định ta phải tìm cách so sánh. Vì thành phố i nhất thiết phải nối liền 
với một thành phố nào đó nên các hành trình h không chứa (i,j) tức là h ),( ji phải ứng 
với những độ dài hành trình ít ra có chứa phần tử nhỏ nhất trong dòng i không kể ijm' =0 
và phần tử nhỏ nhất trong cột j không kể ijm' =0 vì thành phố j nhất thiết phải nối liền 
với một thành phố nào đó ở trước nó trên hành trình. Ký hiệu tổng của hai phần tử nhỏ 
nhất đó là ij thì ta có f(h)  ij, h ),( ji . 
 Vì lý do trên, số ij có thể dùng làm tiêu chuẩn so sánh giữa các cặp thành phố 
(i,j) cùng có ijm' =0. Một cách tổng quát, ở mỗi giai đoạn ta sẽ chọn cặp thành phố (i,j) 
có ijm' =0 trong ma trận rút gọn và có ij lớn nhất để tiến hành phân nhánh từ một đỉnh 
trên cây. 
5.3.7. Tính cận: Với mỗi đỉnh của cây phân nhánh, ta phải tính cận dưới của các giá trị 
hàm mục tiêu ứng với tập phương án mà đỉnh đó biểu diễn. Cận dưới tính được sẽ ghi 
bên dưới đỉnh đang xét. 
 Theo công thức f(h)=f(h)+s và do f(h)  0 nên f(h)  s, hX. Vì vậy tổng các 
hằng số rút gọn của ma trận ban đầu có thể lấy làm cận dưới của đỉnh X đầu tiên trên 
cây. Mặt khác, ta lại có f(h)  ij, h ),( ji , do đó f(h)=f(h)+s  ij+s, h ),( ji . Vì 
vậy tổng ij+s có thể lấy làm cận dưới cho đỉnh ),( ji . Sau khi chọn (i,j) để phân nhánh 
xuất phát từ đỉnh X thì trên bảng có thể xoá dòng i và cột j vì trên đó ô chọn (i,j) là duy 
nhất. Sau khi bỏ dòng i và cột j thì ma trận M’ lại có thể rút gọn thành ma trận M’’ với 
s’ là tổng các hằng số rút gọn, f(h) là giá trị của hàm mục tiêu xét trên M’’. Khi đó ta 
có f(h)=f(h)+s’, h(i,j), do đó f(h)=f(h)+s=f(h)+s+s’, h(i,j). Do f(h)  0 nên 
 82 
f(h)  s+s’, h(i,j), nghĩa là tổng s+s’ có thể lấy làm cận dưới cho đỉnh (i,j) trong cây 
phân nhánh. 
 Nếu tiếp tục phân nhánh thì cận dưới của các đỉnh tiếp sau được tính toán tương 
tự, vì đây là một quá trình lặp. Ta chỉ cần xem đỉnh xuất phát của các nhánh giống như 
đỉnh X ban đầu.. Để tiết kiệm khối lượng tính toán, người ta thường chọn đỉnh có cận 
dưới nhỏ nhất để phân nhánh tiếp tục. 
5.3.8. Thủ tục ngăn chặn hành trình con: Một đường đi hoặc chu trình Hamilton 
không thể chứa chu trình con với số cạnh tạo thành nhỏ hơn n. Vì vậy ta sẽ đặt mii= 
(i=1, ..., n) để tránh các khuyên. 
 Với ij và nếu (i,j) là ô chọn thì phải đặt ngay m’ji= trong ma trận rút gọn. 
 Nếu đã chọn (i,j) và (j,k) và n>3 thì phải đặt ngay m’ji=m’kj=m’ki=. 
Chú ý rằng việc đặt m’ij= tương đương với việc xoá ô (i,j) trong bảng hoặc xem 
(i,j) là ô cấm, nghĩa là hai thành phố i và j không được kề nhau trong hành trình định 
kiến thiết. Ở mỗi giai đoạn của quá trình đều phải tiến hành thủ tục ngăn chặn này trước 
khi tiếp tục rút gọn ma trận. 
5.3.9. Tính chất tối ƣu: Quá trình phân nhánh, tính cận, ngăn chặn hành trình con, rút 
gọn ma trận phải thực hiện cho đến khi nào có đủ n ô chọn để kiến thiết một hành trình 
Hamilton, nói cách khác là cho đến khi trên cây phân nhánh đã xuất hiện một đỉnh chỉ 
biểu diễn một hành trình duy nhất và đã xoá hết được mọi dòng mọi cột trong bảng. Cận 
dưới của đỉnh cuối cùng này chính là độ dài của hành trình vừa kiến thiết. 
a) Nếu cận dưới của đỉnh này không lớn hơn các cận dưới của mọi đỉnh treo trên cây 
phân nhánh thì hành trình đó là tối ưu. 
b) Nếu trái lại thì phải xuất phát từ đỉnh treo nào có cận dưới nhỏ hơn để phân nhánh 
tiếp tục và kiểm tra xem điều kiện a) có thoả mãn không. 
Thí dụ 5: Xét bài toán với 6 thành phố, các số liệu cho theo bảng sau: 
M = 


























595523
548274612
1818251621
05351320
25301147
2630164327
 Tổng các hằng số rút gọn bước đầu là s=48. Trong ma trận rút gọn ta có: 
m’14=m’24=m’36=m’41=m’42=m’56=m’62=m’63=m’65=0 
16 
1 
0 
16 
5 
5 
5 0 0 0 0 0 
 83 
và 14=10, 24=1, 36=5, 41=1, 42=0, 56=2, 62=0, 63=9, 65=2. Sau khi so sánh ta 
thấy 14=10 là lớn nhất nên ta chọn ô (1,4) để phân nhánh. Cận dưới của đỉnh )4,1( là 
s+14=58. Xoá dòng 1 cột 4 rồi đặt m’41=. 
M’ = 


























040013
04322412
22900
05351315
24290131
101402711
. 





















00013
022412
2290
051315
2429131
 M’’ = 





















00013
022412
2290
051315
2328120
. 
Tổng hằng số rút gọn là s’=1. Vậy cận dưới của đỉnh (1,4) là s+s’=49. Vì 49<58 nên tiếp 
tục phân nhánh tại đỉnh (1,4). Trong ma trận còn lại, sau khi rút gọn ta có 
m”21=m”36=m”42=m”56=m”62=m”63=m”65=0. 
Ở giai đoạn này, sau khi tính toán ta thấy 21=14 là lớn nhất nên chọn tiếp ô (2,1). Cận 
dưới của đỉnh )1,2( là 49+21=63. Xoá dòng 2 cột 1. Đặt m”42=. Rút gọn ma trận còn 
lại, ta có: 


















000
02241
229
0513
 M’’’= 


















000
02241
007
0513
. 
Tổng hằng số rút gọn là 2. Cận dưới của đỉnh (2,1) là 49+2=51. 
 Tiếp tục như vậy cuối cùng ta được 6 ô chọn là: 
(1,4), (2,1), (5,6), (3,5), (4,3), (6,2) 
và kiến thiết hành trình h0=(1 4 3 5 6 2 1) với f(h0)=63 là cận dưới của đỉnh cuối cùng. 
cận dưới của đỉnh cuối cùng là 63, trong khi đó đỉnh treo )4,1( có cận dưới là 58<63 nên 
phải tiếp tục phân nhánh từ đó để kiểm tra. Sau sự phân nhánh này thì mọi đỉnh treo đều 
có cận dưới không nhỏ hơn 63 nên có thể khẳng định rằng hành trình h0=(1 4 3 5 6 2 1) 
là tối ưu. 
 Sự phân nhánh từ đỉnh )4,1( được làm như sau: trong ma trận rút gọn đợt 1, ta đặt 
m’14= vì xem ô (1,4) là ô cấm, 63=9 là lớn nhất trong các ij, do đó chọn ô (6,3) để 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1 2 3 4 5 6 
1 2 3 5 6 
2 
3 
4 
5 
6 
1 2 3 5 6 
2 
3 
4
5 
6 
2 2 3 3 5 5 6 6 
3 3 
4 4 
5 
6 6 
5 
 84 
phân nhánh. Cận dưới của đỉnh )3,6( là 58+9=67. Đặt m’36=. Rút gọn ma trận với tổng 
hằng số rút gọn là 15. Cận dưới của đỉnh (6,3) là 58+15=73. 
BÀI TẬP CHƢƠNG V: 
1. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến các đỉnh khác trong đồ 
thị sau: 
2. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến các đỉnh khác trong đồ 
thị sau: 
X 
)4,1( 
)3,6( 
)3,6( 
)4,1(
X
)1,2( 
)1,2(
)6,5( 
)6,5(
X
)5,3( 
)5,3(
X
)2,6(
X
)3,4(
X
)2,6( 
48 
58 
67 63 65 
49 
51 
73 56 
64 63 
63 
c 
b 
e 
d 
k 
h 
a g 
4 
4 
3 
2 
2 
1 
2 
7 
5 
4 3 
7 
11 
12 
5 
b f 
c 
d 
e 
g 
h 
i 
k a 
1 
10 
6 
3 
4 
1 
4 
1 
3 
6 
8 
10 
4 
2 
2 
5 
3 
5 
2 
8 
5 
 85 
3. Cho đồ thị có trọng số như hình dưới đây. Hãy tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến 
đỉnh N. 
4. Tìm đường đi ngắn nhất từ B đến các đỉnh khác của đồ thị có ma trận trọng số là (các 
ô trống là ): 






















414
422
1224
4214
24126
423
63
5. Tìm W* bằng cách áp dụng thuật toán Floyd vào đồ thị sau: 
6. Giải bài toán mạng vận tải sau bằng thuật toán Ford-Fulkerson với luồng vận tải khởi 
đầu bằng 0. 
A B C D E 
J 
F 
K 
G 
L 
H 
M 
I 
N 
7 3 8 3 
2 9 5 7 
3 
5 
2 
2 
3 
2 
2 
4 
6 
3 
2 
2 2 
5 
4 
4 
3 4 
1 
2 
3 
A B C D E F G 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
B C 
F A D 
E 
3 
1 
20 
2 
3 
8 
5 
13 
4 
6 
8 
v1 v5 
v2 v6 
v3 v4 v0 v7 
2 
8 
6 
4 
2 4 
4 
4 
6 
3 
4 
2 
8 
 86 
7. Giải bài toán mạng vận tải sau bằng thuật toán Ford-Fulkerson với luồng vận tải khởi 
đầu được cho kèm theo. 
8. Hãy giải bài toán người du lịch với 6 thành phố, có số liệu cho trong ma trận trọng số 
sau: 


























874325
346294414
2120271423
07331122
23342169
2432144525
. 
v1 
v0 v3 
v2 
v4 
v5 
v6 v7 
v8 
v9 
v10 v11 
4 
10 
6 
8 
8 
28 
5 
15 
12 
20 
2 
7 
4 
6 1 
8 
15 
10 
6 
20 
10 
10 
3 30 
15 
8 
6 
2 
8 
6 
0 
16 
0 
2 
2 
0 
2 
0 0 
10 
16 
6 
3 25 
7 
2 
0 
0 
0 
2