Giáo trình Toán chuyên ngành Điện - Chương 2: Phép biến hình bảo giác và các hàm sơ cấp cơ bản

 h theo hướng dương trong khi ảnh w tương ứng của nó chạy trên ellip theo 
hướng âm của mặt phẳng. 
32
Vì khi 0 0 nên ảnh của nửa đường 
tròn trên là nửa elip dưới, ảnh của nửa đường tròn dưới là elip trên. 
Chú ý là khi h → 0 thì các bán trục a, b của elip dần ra ∞, nghĩa là nếu đường 
tròn | z | = h càng nhỏ thì ảnh của nó có các bán trục càng lớn. Khi h → 1thì a → 1 và 
b → 0, nghĩa là nếu đường tròn | z | = h càng dần vào đường tròn đơn vị thì elip ảnh 
dẹt dần và tiến tới đoạn kép F1F2 (sở dĩ gọi là đoạn kép vì F1F2 đồng thời là ảnh của 
nửa cung tròn đơn vị trên và nửa cung tròn đơn vị dưới). Ta quy ước bờ trên của đoạn 
là ảnh của nửa cung tròn đơn vị nằm trong nửa mặt phẳng dưới; bờ dưới của đoạn 
thẳng là ảnh của nửa cung tròn đơn vị nằm trong nửa mặt phẳng trên. 
• Nếu gọi L là ảnh của đoạn thẳng: 
⎩⎨
⎧
<
α=
1|z|
Argz
thì phương trình tham số của L là: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
α⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
α⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
sinr
r
1
2
1v
cos
r
1r
2
1u
Khử r trong các phương trình này ta có: 
1
sin
v
cos
u
2
2
2
2
=α−α (6) 
Đây là một hyperbol có các tiêu điểm trùng với F1 và F2. 
Nếu 0 < α < 
2
π thì ảnh (L) là nhánh hyperbol (6) nằm trong góc phần tư thứ tư. Khi 
điểm z chạy trên đoạn bán kính từ gốc toạ độ tới đường tròn đơn vị thì ảnh w của nó 
chạy trên nhánh hyperbol nằm trong góc phần tư thứ tư từ ∞ tới trục thực O1u. 
• Khi cho h biến thiên từ 0 đến 1 thì đường tròn | z | = h sẽ quét nên hình tròn | z | < 1. 
Ảnh (γ) của L trong mặt phẳng w sẽ quét nên mặt phẳng w, bỏ đi lát cắt dọc đoạn 
F1F2. Bờ dưới của lát cắt là ảnh của cung tròn đơn vị trên. Bờ trên của lát cắt là ảnh 
của cung tròn đơn vị dưới. Nửa hình tròn đơn vị trên có ảnh là nửa mặt phẳng dưới. 
Ngược lại nửa hình tròn đơn vị dưới có ảnh là nửa mặt phẳng trên. 
O 
y 
x O1 
F1 
v 
u 
F2 
33
• Tương tự như ở câu đầu tiên ảnh của nửa đường tròn trên: 
 r = h (h > 1) 0 < ϕ < π 
có phương trình tham số là: 
π<ϕ<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ϕ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
ϕ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
0
sin
h
1h
2
1v
cos
h
1h
2
1u
Đây là một cung ellip nằm trong nửa mặt phẳng trên , có các bán trục là ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
h
1h
2
1a 
và ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
h
1h
2
1b 
 Khi nửa đường tròn trên tâm O, bán kính h quét nên phần nửa mặt phẳng trên nằm 
ngoài đường tròn đơn vị thì ảnh của nó quét nên nửa mặt phẳng trên Imz > 0 xem 
hình vẽ). 
Ví dụ 2: Tìm phép biến hình biến nửa hình đơn vị | z | = 1, Imz > 0 thành nửa mặt 
phẳng trên. 
Dễ thấy rằng phép biến hình phải tìm là hợp của hai phép: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
=−= π
t
1t
2
1w
zezt j
5. Hàm luỹ thừa w = zn: Ta xét hàm w = zn với n nguyên dương, lớn hơn hay bằng 2. 
Nếu z = r(cosα + jsinα) thì w = rn(cosnα + jsinnα). Vậy ảnh của tia Argz = α là tia 
Argw = nα nhận được bằng cách quay tia Argz = α quanh gốc toạ độ góc (n - 1)α. 
ảnh của đường tròn | z | = R là đường tròn | w | = Rn. Ảnh của mặt phẳng z là mặt 
phẳng w. 
Tuy nhiên phép biến hình từ mặt phẳng z lên mặt phẳng w không đơn diệp vì nếu hai 
số phức z1 và z2 có cùng môđun và có argumen sai khác nhau một số nguyên lần n
2π 
thì n2
n
1 zz = . 
O
y 
x1 -1 O1 -1
v 
u 1 
34
Muốn hàm w = zn đơn diệp trong một miền G nào đó thì miền G này phải không chứa 
bất kì cặp điểm nào có cùng môđun và có argumen sai khác nhau góc 
n
2π . Chẳng hạn 
miền quạt 
n
2zarg0 π<< là một miền đơn diệp của hàm w = zn. Ảnh của miền quạt 
này, qua phép biến hình, là mặt phẳng w, bỏ đi một lát cắt dọc theo nửa trục thực 
0u > . Bờ trên của lát cắt là ảnh của tia argz = 0 và bờ dưới của lát cắt là ảnh của tia 
n
2zarg π= . 
 Miền quạt 
n
3zarg
n
π<<π cũng là một miền đơn diệp khác của hàm. Ảnh của 
miền quạt này qua phép biến hình là mặt phẳng w, bỏ đi một lát cắt dọc theo nửa trục 
thực âm. 
 Hàm w = zn giải tích trong toàn mặt phẳng, vì ta có: 
 Cznz
dz
dw 1n ∈∀= − 
Phép biến hình w = zn bảo giác tại mọi điểm z ≠ 0. 
6. Hàm n zw = : Đây là hàm ngược của hàm w = zn. Nó là một hàm đa trị vì với mỗi 
số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) ≠ 0 có n căn bậc n cho bởi: 
 1n,,1,0k
n
k2sinj
n
k2cosrw n −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π+ϕ+π+ϕ= K 
Toạ vị của n số phức này là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh tâm O. Giả zử điểm 
z vạch thành một đường cong kín L không bao quanh gốc toạ độ O, xuất phát từ zo. 
Khi đó điểm n zw = trong đó n z là một giá trị nào đó của căn thức mà ta chọn trước 
sẽ vạch nên đường cong kín Γo, xuất phát từ n oo zw = vì khi z xuất phát từ zo chạy 
một vòng trên C thì Argz biến thiên từ giá trị ban đầu Argzo rồi quay về đúng giá trị 
ấy. Các giá trị căn thức khác với giá trị đã chọn sẽ vạch nên đường cong kín Γk, được 
suy ra từ Γo bằng cách quay các góc 2π/n quanh gốc toạ độ. 
y 
x O 
L 
zo 
C 
O 
y 
x 
Γo Γ1 
Γ2 
wo 
w1
w2
35
 Bây giờ ta giả thiết điểm z vạch nên đường cong kín C bao quanh gốc toạ độ 
một vòng theo hướng dương, xuất phát từ điểm zo. Trong trường hợp này, khi z chạy 
một vòng thì arumen của z tăng thêm 2π. Do vậy argumen của w tăng thêm 2π/n. 
Điểm w sẽ vạch nên một đường cong liên tục từ điểm wo tới 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+π=
n
2sinj
n
2cosww o1 . Nghĩa là w đi từ giá trị wo của căn thức tới một giá trị 
khác của căn thức. Do đó điểm w chỉ trở về vị trí xuất phát sau khi z chạy n vòng trên 
C. Điều đó chứng tỏ rằng muốn tách được một hàm đơn trị liên tục từ hàm đa trị 
n zw = thì miền xác định E của hàm đơn trị này không được chứa bất kì một đường 
cong kín nào bao quanh gốc O. Muốn vậy ta có thể lấy E là mặt phẳng phức z cắt di 
một lát cắt γ từ gốc toạ độ ra ∞. Chẳng hạn, có thể chọn γ là nửa trục Ox dương. Khi 
đó các hàm đơn trị tách ra từ hàm đa trị n zw = , mà ta thường gọi là các nhánh đơn 
trị cuả hàm n zw = là những hàm biến phức biến E(mặt phẳng phức với lát cắt dọc 
theo nửa trục Ox dương) lên mỗi hình quạt: 
LL
n
4zarg
n
2
n
2zarg0
π<<π
π<<
Muốn chọn ra một nhánh xác định trong n nhánh trên ta có thể buộc nhánh này phải 
lấy một giá trị wo khi z = zo với wo là căn bậc n nào đó của zo. Mỗi nhánh đơn trị của 
hàm n zw = trong miền xác định E có đạo hàm: 
1
n
1
1nn
n z
n
1
nw
1
)w(
1)z(
−
− ==′=′ 
nên nó là hàm giải tích trong E. 
 Nếu ta không dùng lát cắt γ thì không thể tách được các nhánh đơn trị vì khi 
điểm z vạch nên đường cong kín thì điểm w sẽ chuyển từ nhánh nọ sang nhánh kia. Vì 
vậy O còn được gọi là điểm rẽ nhánh của hàm đa trị n zw = . 
Ví dụ: Xét hàm đa trị 3 zw = 
Gọi Ot1 là tia 3
2Argw π= ; Ot2 là tia 3
4Argw π= . Những nhánh đơn trị của của hàm 
3 zw = là các phép biến hình đơn diệp, biến mặt phẳng phức z, bỏ đi lát cắt dọc theo 
nửa trục Ox dương lên mỗi góc uOt1, t1Ot2, t2Ou. 
 Nhánh ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ+ϕ=ϕ+ϕ==
3
sinj
3
cosr)sinj(cosrzw 333 với 0 < ϕ < 2π biến 
hai điểm A và B nằm lần lượt ở bờ trên và bờ dưới của lát cắt thành hai điểm A’ thuộc 
tia argw = 0 và B’ thuộc tia 
3
2warg π= . Điều đó chứng tỏ nửa trục Ox là đường gián 
đoạn của nhánh này. 
36
7. Hàm mũ: 
 a. Định nghĩa: Ta gọi hàm phức có phần thực u(x,y) = excosy và phần ảo 
v(x,y)=exsiny là hàm mũ biến phức và kí hiệu là ez. 
 w = ez = ex + jy = ex(cosy + jsiny) (1) 
Cho y = 0 ta có w = ex, nghĩa là khi z = x thực ta có hàm biến thực ex đã biết. Ta nói 
rằng hàm mũ w = ez là thác triển của hàm mũ thực ex từ trục thực ra toàn bộ mặt 
phẳng phức. Theo định nghĩa trên ta có: 
 | w | = ex và Argw = y + 2kπ, k nguyên (2) 
 b. Các phép tính về hàm mũ: 
 2z1z2z1z ee.e += 
 2z1z
1z
1z
e
e
e −= (3) 
 nznz e)e( = , n nguyên 
Ta chứng minh công thức đầu tiên. Các công thức sau cũng tương tự. Ta có: 
 z1 = x1 + jy1 ; z2 = x2 + jy2 
Theo định nghĩa ta có: 
 )ysinjy(cosee 11
xz 11 += và )ysinjy(cosee 222x2z += 
Vậy: =2z1z e.e )ysinjy(cose 111x + )ysinjy(cose 222x + 
Hay: [ ])yysin(j)yycos(ee.e 2121xxzz 2121 +++= + 
Theo định nghĩa hàm mũ phức ta có: 
 2z1z)2y1y(j)2x1x(2z1z eee.e ++++ == 
 c. Chu kỳ của hàm mũ: Theo đinh nghĩa, ta có: 
 e2jkπ = cos2kπ + jsin2kπ = 1 ( k nguyên) 
Theo (3) thì: 
 e2jkπ+z = ez. e2jkπ = ez (4) 
Công thức này cho thấy rằng hàm w = ez là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2jπ. Vậy hai 
điểm nằm trên một đường song song với trục ảo và các nhau một khoảng bằng bội số 
của 2jπ thì có cùng ảnh. 
Cần chú ý là nếu 2z1z ee = thì: 
v 
u 
O 
B’
A’
t1 
t2 
y 
x 
A 
B O 
37
 π+=== jk2zzee 122z1z (5) 
vì: π− === jk22z1z
1z
1z
e1e
e
e và z1 - z2 = 2jkπ 
 d. Công thức Euler: Trong (1), cho x = 0 ta có công thức Euler: 
 ysinjycose jy += (6) 
Thay y bằng -y ta có: 
 ysinjycose jy −=− (7) 
Nhờ có công thức Euler mà số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) viết được dưới dạng mũ z = 
rejϕ. Ta có: z = r(cosϕ + jsinϕ) = rejϕ 
Ví dụ: 1 = cos0 + jsin0 = ej0 
 2
j
e
2
sinj
2
cosj
π
=π+π= 
 4
j
e2
4
sinj
4
cos2j1
π
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+π=+ 
 3
4jarctg
e5
3
4arctgsinj
3
4arctgcos5j43 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+ 
 e2+3j = e2(cos3 + jsin3) 
 e-2j = cos2 - jsin2 
 f. Tính giải tích của hàm w = ez: Hàm w = ez giải tích trong toàn bộ mặt phẳng 
vì ∀z, điều kiện C - R được thoả mãn: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ysine
x
jycose
x
)z(w
ysine
x
ycose
y
ysine
y
ycose
x
xx
xx
xx
∂
∂+∂
∂=′
∂
∂−=∂
∂
∂
∂=∂
∂
 g. Phép biến hình w = ez: Vì | w | = ex nên ảnh của đường thẳng x = C1 là 
đường tròn 1Cew = . Vì y là một giá trị của Argw, nên đường thẳng y = C2 có ảnh là 
tia Argw= C2. Khi C2 biến thiên từ 0 đến 2π (0 < C2 < 2π) thì đường y = C2 sẽ quét 
nên miền G là băng 0 < y < 2π. Ảnh của đường thẳng y = C2 là tia Argw = C2 sẽ quét 
nên miền ∆ là ảnh của G. Rõ ràng ∆ là mặt phẳng w, bỏ đi lát cắt dọc theo nửa trục 
thực u dương; bờ trên của lát cắt này ứng với đường y = 0, bờ dưới của lát cắt là ảnh 
của đường y = 2π. 
 Phép biến hình từ băng G lên miền ∆ là một phép biến hình đơn diệp. Tương 
tự, phép biến hình w = ez cũng biến mọi băng 2kπ < y < 2(k+1)π( k nguyên), có chiều 
rộng k, lên miền ∆ nói trên. 
 Phép biến hình w = ez biến cả mặt phẳng z lên mặt phẳng w, nhưng không đơn 
diệp.