Giáo trình Toán chuyên ngành Điện - Chương 1: Hàm giải tích

ược gọi là điểm ngoài 
của tập E. 
P 
O 
x 
y 
a 
b 
N
T 
c M 
9
Ví dụ: Xét tập E là hình tròn | z | < 1. Mọi điểm của E đều là điểm trong. Biên của E 
là đường tròn | z | = 1. Mọi điểm | η | > 1 là điểm ngoài của E. 
 c. Miền: Ta gọi miền trên mặt phẳng phức là tập hợp G có các tính chất sau: 
 - G là tập mở, nghĩa là chỉ có các điểm trong. 
 - G là tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tuỳ ý thuộc G, bao giờ cũng có thể 
nói chúng bằng một đường cong liên tục nằm gọn trong G. 
 Tập G, thêm những điểm biên gọi là tập kín và kí hiệu là G . Miền G gọi là bị 
chặn nếu tồn tại một hình trong bán kính R chứa G ở bên trong. 
Trên hình a là miền đơn liên, hình b là miền nhị liên và hình c là miền tam liên. 
Hướng dương trên biên L của miền là hướng mà khi đi trên L theo hướng đó thì phần 
của miền G kề với người đó luôn nằm bên trái. 
Ví dụ 1: Vẽ miền 
3
zarg
6
π<<π 
Ta vẽ tia 1Ou sao cho (Ox, 1Ou ) = 6
π . Sau đó vẽ tia 2Ou sao cho (Ox, 2Ou ) = 3
π . 
Mọi điểm z nằm trong 21Ouu đều có argumen thoả mãn điều kiện bài toán. Ngược lại 
các điểm có argumen nằm giữa 
6
π và 
3
π đều ỏ trong góc 21Ouu 
Vậy miền 
3
zarg
6
π<<π là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai cạnh Ou1 và Ou2 
Ví dụ 2: Vẽ miền Rez > -1 
Mọi điểm nằm bên phải đường thẳng x = -1 đều thoả mãn Rez > -1. Ngược lại mọi 
điểm z có phần thực lớn hơn -1 đều nằm bên phải đường thẳng x = -1. Vậy miền Rez 
> -1 là nửa mặt phẳng phức gạch chéo trên hình vẽ. 
 a b c 
O x 
y 
u1 
u2 
O x 
y 
-1
10
2. Định nghĩa hàm biến phức: 
 a. Định nghĩa: Giả sử E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức. Nếu có một 
quy luật cho ứng với mỗi số phức z∈E một số phức xác định w thì ta nói rằng w là 
một hàm số đơn trị của biến phức z xác định trên E và ký hiệu: 
 w = f(z), z∈E (1) 
Tập E được gọi là miền xác định của hàm số. Nếu ứng với một giá trị z∈E ta có nhiều 
giá trị của w thì ta nói w là một hàm đa trị. Sau này khi nói đến hàm số mà không nói 
gì thêm thì đó là một hàm đơn trị. 
Ví dụ: Hàm w = 
z
1 xác định trong toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm z = 0 
 Hàm w = 
1z
z
2 + xác định trong toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm z = ±j vì z
2+1 
= 0 khi z = ±j 
 Hàm 1zzw ++= xác định trong toàn bộ mặt phẳng phức. Đây là một hàm 
đa trị. Chẳng hạn, với z = 0 ta có 1w = . Vì 1 = cos0 + j sin0 nên w có hai giá trị: 
1
2
0sinj
2
0cosw1 =+= 
 1sinjcos
2
20sinj
2
20cosw2 −=π+π=π++π+= 
nên ứng với z = 0 ta có hai giá trị w1 = 1 và w1 = -1 
b. Phần thực và phần ảo của hàm phức: Cho hàm w = f(z) nghĩa là cho phần 
thực u và phần ảo v của nó. Nói khác đi u và v cũng là hai hàm của z. Nếu z= x+jy thì 
có thể thấy u và v là hai hàm thực của các biến thực độc lập x và y. Tóm lại. cho hàm 
phức w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thưc u = u(x, y) và v = v(x, y) 
và có thể viết w = f(z) dưới dạng: 
w = u(x, y) + jv(x, y) (2) 
Ta có thể chuyển về dạng (2) hàm phức cho dưới dạng (1). 
Ví dụ 1: Tách phần thực và phần ảo của hàm phức 
z
1w = 
Ta có: 
222222 yx
jy
yx
x
yx
jyx
)jyx)(jyx(
jyx
jyx
1
z
1w +−+=+
−=−+
−=+== 
Vậy: 
 2222 yx
yv
yx
xu +−=+= 
Ví dụ 2: Tách phần thực và phần ảo của hàm w = z3 
Ta có: )yyx3(j)xy3x(yjxyj3yjx3x)jyx(zw 322333222333 −+−=+++=+== 
Vậy: 3223 yyx3vxy3xu −=−= 
11
Ví dụ 3: Cho hàm )yx(jyxw 22 ++−= . Hãy biểu diễn w theo z = x + jy và z= x - 
jy 
Vì 
2
zzx += và 
j2
zzy −= nên: 
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+++−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
22
2
zz
2
zzjzz
2
j
2
zzw 
Rút gọn ta có: 
jzzz)j1(
2
1)zz)(j1(
4
1w 22 ++++−= 
Ví dụ 4: Cho w = x2 - y2 + 2jxy. Hãy biểu diễn w theo z 
Ta có: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
j2
zz
2
zzj2
2
zzj
2
zzw
2
2
2
Hay: 2
2222
z
2
zz
2
zz
2
zz
2
zz2
2
zz
2
zzw =−++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += 
3. Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức: Để biểu diễn hình học một hàm 
biến số thực ta vẽ đồ thị của hàm số đó. Để mô tả hình học một hàm biến số phức ta 
không thể dùng phương pháp đồ thị nữa mà phải làm như sau: 
Cho hàm biến phức w = f(z), z∈E. Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z) 
và uOv (mặt phẳng w). Ví mỗi điểm z0∈E ta có một điểm w0 = f(z0) trong mặt phẳng 
w. Cho nên về mặt hình học, hàm w = f(z0 xác định một phép biến hình từ mặt phẳng 
z sang mặt phẳng w. Điểm w0 được gọi là ảnh của z0 và z0 là nghịch ảnh của w0. 
Cho đường cong L có phương trình tham số x = x(t), y = y(t). Ảnh của L qua phép 
biến hình w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng w có toạ 
độ: 
 u = u[x(t), y(t)] (3) 
 v = v[x(t), y(t)] 
Thông thường thì ảnh của đường cong L là đường cong Γ có phương trình tham số (3) 
Muốn được phương trình quan hệ trực tiếp giữa u và v ta khử t trong (3). Muốn tìm 
ảnh của một miền G ta coi nó được quét bởi họ đường cong L.Ta tìm ảnh Γ của L. 
Khi L quét nên miền G thì Γ quét nên miền ∆ là ảnh của G. 
4. Các hàm biến phức thường gặp: 
a. Ví dụ 1: Hàm w = kz (k > 0) 
Đặt z = rejϕ , w = ρejθ = krejϕ . Ta có ρ = kr, θ = ϕ + 2kπ . Vậy đây là một phép co 
dãn hay phép đồng dạng với hệ số k 
12
b. Ví dụ 2: w = zejα (α ∈ R) 
Đặt z = rejϕ , w = ρejθ = rejϕejα = rej(α+ϕ). Ta có ρ = r, θ = ϕ + α + 2kπ. Như vậy đây là 
phép quay mặt phẳng z một góc α. 
 c. Ví dụ 3: w = z + b với b = b1 + jb2 
Đặt z = x + jy w = u + jv, ta có: 
 u = x + b1 ; v = y + b2 
Vậy đây là một phép tịnh tiến 
d. Ví dụ 4: w = az + b với a = kejα là phép biến hình tuyến tính nguyên. Nó là 
hợp của ba phép biến hình: 
- phép co dãn s = kz 
- phép quay t = sjα 
- phép tịnh tiến w = t + b 
e. Ví dụ 5: w = z2 
Đặt z = rejϕ , w = ρejθ ta có: ρ = r2 ; θ = 2ϕ + 2kπ. Mỗi tia z = ϕo biến thành tia argw 
= 2ϕo, mỗi đường tròn | z | = ro biến thành đường tròn | w | = 2or . Nếu D = {z: 0 < ϕ < 
2π } thì f(D) = {-w: 0 0 biến thành 
toàn bộ mặt phẳng phức w. 
1
z
x
y 
k
w 
u 
v
r
z
x
y 
r
w
u 
v
b 
z 
x
y 
w
b
13
f. Ví dụ 6: w = | z |. z 
Đặt z = rejϕ , w = ρejθ ta có: ρ = r2 ; θ = ϕ + 2kπ. Miền D = {z: 0 < ϕ < π } được biến 
đơn diệp lên chính nó, nghĩa là nửa mặt phẳng phức Imz > 0 được biến thnàh nửa mặt 
phẳng phức Imw > 0. 
g. Ví dụ 7: 3 zw = 
Với z ≠ 0 thì w có 3 giá trị khác nhau. Đặt z = rejϕ , w = ρejθ ta có: 3 r=ρ ; 
3
k2
3k
π+ϕ=θ . Miền D = {z: 0 < ϕ < π } có ảnh là ba miền: ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ π<θ<=
3
0:wB1 ; 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ π<θ<π=
3
2:wB2 ; ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ π−<θ<π−=
33
2:wB3 
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC 
1. Giới hạn của hàm biến phức: Định nghĩa giới hạn và liên tục của hàm biến phức 
cũng tương tự như hàm biến thực. 
a. Định nghĩa 1: Giả sử f(z) là hàm xác định trong lân cận của zo(có thể trừ zo). Ta 
nói số phức A là giới hạn của f(z) khi z dần tới zo nếu khi | z - zo | → 0 thì | f(z)-A→0. 
Nói khác đi, với mọi ε > 0 cho trước, luôn luôn tồn tại δ > 0 để khi | z - zo | < δ thì 
|f(z)-A| < ε. 
Ta kí hiệu: A)z(flim
ozz
=→ 
Dễ dàng thấy rằng nếu f(z) = u(x,y) +jv( x,y) ; zo = xo + jyo; A = α+ jβ thì: 
β=α=⇔=
→
→
→
→→ )y,x(vlim)y,x(ulimA)z(flim
oyy
oxx
oyy
oxxozz
Trong mặt phẳng phức, khi z dần tới zo nó có thể tiến theo nhiều đường khác 
nhau. Điều đó khác với trong hàm biến thực, khi x dần tới xo, nó tiến theo trục Ox. 
b. Định nghĩa 2: Ta nói số phức A là giới hạn của hàm w = f(z) khi z dần ra vô 
cùng, nếu khi | z | → +∞ thì | f(z) - A | → 0. Nói khác đi, với mọi ε > 0 cho trước, luôn 
luôn tồn tại R > 0 để khi | z | > R thì | f(z) - A | < ε. 
Ta kí hiệu: A)z(flim
z
=∞→ 
c. Định nghĩa 3: Ta nói hàm w = f(z) dần ra vô cùng khi z dần tới zo, nếu khi | 
z - zo | → 0 thì | f(z) | → +∞. Nói khác đi, với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý, luôn 
luôn tồn tại δ > 0 để khi | z - zo | M. 
Ta kí hiệu: ∞=→ )z(flimozz 
d. Định nghĩa 4: Ta nói hàm w = f(z) dần ra vô cùng khi z dần ra vô cùng, nếu 
khi | z | → +∞ thì | f(z) | → +∞. Nói khác đi, với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý, luôn 
luôn tồn tại R > 0 để khi | z | > R thì | f(z) | > M. 
Ta kí hiệu: ∞=∞→ )z(flimz 
14
2. Hàm liên tục: Ta định nghĩa hàm liên tục như sau: 
Định nghĩa: Giả sử w = f(z) là một hàm số xác định trong một miền chứa điểm 
zo. Hàm được gọi là liên tục tại zo nếu )z(f)z(flim o
ozz
=→ 
Dễ thấy rằng nếu f(z ) = u(x, y) + jv(x, y) liên tục tại zo = xo + jyo thì u(x, y) và 
v(x, y) là những hàm thực hai biến, liên tục tại (xo, yo) và ngược lại. Hàm w = f(z) liên 
tục tại mọi điểm trong miền G thì được gọi là liên tục trong miền G. 
Ví dụ: Hàm w = z2 liên tục trong toàn bộ mặt phẳng phức vì phần thực u = x2 - y2 và 
phần ảo v = 2xy luôn luôn liên tục. 
3. Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm w = f(z) xác định trong một miền chứa điểm 
z = x + jy. Cho z một số gia ∆z = ∆x + j∆y. Gọi ∆w là số gia tương ứng của hàm: 
 ∆w = f(z + ∆z) - f(z) 
Nếu khi ∆z → 0 tỉ số 
z
w
∆
∆ dần tới một giới hạn xác định thì giới hạn đó được gọi là 
đạo hàm của hàm w tại z và kí hiệu là f’(z) hay w’( z ) hay 
dz
dw . Ta có: 
z
)z(f)zz(flim
z
wlim)z('f
0z0z ∆
−∆+=∆
∆=
→∆→∆
 (4) 
Về mặt hình thức, định nghĩa này giống định nghĩa đạo hàm của hàm biến số thực. 
Tuy nhiên ở đây đòi hỏi 
z
w
∆
∆ phải có cùng giới hạn khi ∆z → 0 theo mọi cách. 
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của w = z2 tại z. 
Ta có : ∆w = (z + ∆z)2 - z2 = 2z.∆z + ∆z2 
z
w
∆
∆ = 2z + ∆z 
Khi ∆z → 0 thì 
z
w
∆
∆ → 2z. Do vậy đạo hàm của hàm là 2z. 
Ví dụ 2: Hàm jyxzw −== có đạo hàm tại z không 
Cho z một số gia ∆z = ∆x + j∆y. Số gia tương ứng của w là: 
yjxzzzzzzzw ∆−∆=∆=−∆+=−∆+=∆ 
Nếu ∆y = 0 thì ∆z = ∆x khi đó ∆w = ∆x ; 1
x
w
z
w =∆
∆=∆
∆ nên 1
x
wlim
0x
0y
=∆
∆
→∆ →∆
∆x = 0 thì ∆z = -j∆y khi đó ∆w = -j∆y ; 1
yj
w
z
w −=∆
∆=∆
∆ nên 1
x
wlim
0x
0y
−=∆
∆
→∆ →∆
Như vậy khi cho ∆z → 0 theo hai đường khác nhau tỉ số 
z
w
∆
∆ có những giới hạn khác 
nhau. Vậy hàm đã cho không có đạo hàm tại mọi z. 
3. Điều kiện khả vi: Như thế ta phải tìm điều kiện để hàm có đạo hàm tại z. Ta có 
định lí sau: