Giáo trình Tin học lý thuyết - Chương 1: Bổ túc toán

các phần tử thuộc vào một không gian xác định nào đó, ký hiệu 
là U. Không gian tương ứng có thể được định nghĩa là một tập số nguyên, số thực, … 
Một trường hợp đặc biệt của tập hợp là tập hợp rỗng (empty set). Tập hợp này không 
có chứa bất kỳ phần tử nào, ký hiệu bởi ∅ hoặc { }. 
Ta nói tập hợp A là tập hợp con (subset) của tập hợp B khi mọi phần tử của A là 
thành phần của B ( ký hiệu A ⊆ B). Ngược lại, A không là tập con của B (A ⊄ B ). 
Thí dụ 1.3 : { 1, 2, 4 } ⊆ { 1, 2, 3, 4, 5 } nhưng { 2, 4, 6 } ⊄ { 1, 2, 3, 4, 5 } 
Có thể suy ra rằng tập hợp A ⊆ U và ∅ ⊆ A, ∀A 
Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau (A = B), khi A ⊆ B và B ⊆ A 
Thí dụ 1.4 : { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 1, 4, 3 } nhưng { 1, 2, 3, 4 } ≠ { 2, 1, 3, 5 } 
Tập hợp tất cả các tập hợp con của tập A được gọi là tập lũy thừa (power set) của A 
và xác định bởi 2A. 
Thí dụ 1.5 : Giả sử A = { 1, 2, 3 } 
Thì 2A = { ∅, {1 }, {2 }, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} } 
1.2. Các phép toán trên tập hợp 
Các toán tử cơ bản trên tập hợp bao gồm các toán tử một ngôi (unary) và hai ngôi 
(binary) như sau : 
 2
Chương I : Bổ túc toán 
1) Phép phần bù (complement) : A' = {x | x ∈ A } 
2) Phép hợp (union) : A ∪ B = {x | x ∈A hoặc x ∈B} 
3) Phép giao (intersection) : A ∩ B = {x | x ∈A và x ∈B} 
 4) Phép trừ (difference) : A \ B = {x | x ∈A nhưng x ∉B} 
5) Tích Đecac : A × B = {(a,b) | a ∈A và b∈B} 
Thí dụ 1.6 : Cho A = {1, 2} và B = {2, 3} 
 Ta có : A ∪ B = {1, 2, 3} 
 A ∩ B = {2} 
A \ B = {1} 
A × B = {(1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} 
2A = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} 
Lưu ý : Nếu A và B lần lượt có số phần tử là n và m thì tập hợp A × B có n × m phần 
tử và tập 2A có 2n phần tử. 
II. QUAN HỆ (Relations) 
Cho hai tập hợp A và B. Một quan hệ hai ngôi R giữa A và B là tập hợp chứa tất cả 
các tập hợp con của A × B mà thành phần thứ nhất A được gọi là miền xác định 
(domain) của R, còn B gọi là miền giá trị (range) của R (có thể trùng với miền xác 
định). Chúng ta sẽ thường dùng quan hệ hai ngôi mà miền xác định và miền giá trị 
cùng thuộc một tập hợp S nào đó. Trong trường hợp này, ta gọi đây là một quan hệ 
trên S. Nếu R là một quan hệ và (a,b) là một cặp trong R thì ta viết aRb. 
Thí dụ 1.7 : Cho S = { 0, 1, 2, 3} 
. Quan hệ "thứ tự nhỏ hơn" trên S được xác định bởi tập : 
 L = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} 
. Quan hệ "bằng" trên S được xác định bởi tập : 
 E = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} 
. Quan hệ "chẵn lẻ" trên S được xác định bởi tập : 
 P = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)} 
Các tính chất của quan hệ 
Ta gọi một quan hệ R trên tập S là: 
 • Phản xạ (reflexive) : nếu aRa là đúng ∀a ∈ S 
 • Đối xứng (symmetric) : nếu aRb thì bRa 
 • Bắc cầu (transitive) : nếu aRb và bRc thì aRc 
Thí dụ 1.8 : 
. L không là quan hệ phản xạ trên S vì (0, 0) ∉ L, nhưng E và P là 2 quan hệ mang 
tính phản xạ. 
. L không là quan hệ đối xứng trên S vì (0, 1) ∈ L nhưng (1, 0) ∉ L, tuy nhiên cả E và 
P đều mang tính đối xứng. 
 3
Chương I : Bổ túc toán 
. Cả L, E và P đều là các quan hệ mang tính bắc cầu, nhưng X = {(1, 0),(0, 3)} thì 
không vì (1, 3) ∉ X. 
2.1. Quan hệ tương đương 
Một quan hệ R trên tập S có đủ các tính chất phản xạ, đối xứng và bắt cầu được gọi là 
quan hệ tương đương. 
Thí dụ 1.9 : E và P là các quan hệ tương đương, còn L và X không là các quan hệ 
tương đương trên S. 
Một tính chất quan trọng của quan hệ tương đương là nếu R là quan hệ tương đương 
trên tập S thì R phân hoạch tập S thành các lớp tương đương (equivalence class) Si 
không rỗng và rời nhau, tức là S = S1 ∪ S2 ∪... và với mọi i ≠ j ta có : 
 + Si ∩ Sj = ∅ 
 + Với mỗi a,b cùng thuộc Si thì aRb là đúng. 
 + Với mỗi a ∈ Si và b ∈ Sj thì aRb là sai. 
Lưu ý rằng số lớp tương đương có thể là vô hạn. Vậy nếu R là quan hệ tương trên S 
và a ∈ S, ta có : 
Si = [a] = {b ∈ S ⏐ aRb} 
Thí dụ 1.10 : 
 . E có 4 lớp tương đương khác nhau: [0] = {0}, [1] = {1}, [2] = {2} và [3] = 
{3} 
 . P có 2 lớp tương đương khác nhau: [0] = [2] = {0, 2} và [1] = [3] = {1, 3} 
2.2. Bao đóng của quan hệ 
Giả sử P là tập hợp một số tính chất của các quan hệ, bao đóng P (P - closure) của 
một quan hệ R trên tập S là quan hệ nhỏ nhất có chứa tất cả các cặp của R thoả mãn 
các tính chất trong P. 
• Bao đóng bắc cầu R+ của R được xác định như sau : 
i) Nếu (a,b) thuộc R thì (a,b) thuộc R+. 
ii) Nếu (a,b) thuộc R+ và (b,c) cũng thuộc R thì (a,c) thuộc R+. 
iii) Không còn gì thêm trong R+. 
• Bao đóng phản xạ và bắc cầu R* của R được xác định như sau : 
 R* = R+ ∪ {(a, a)⏐ a ∈ S} 
Thí dụ 1.11 : Cho quan hệ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} trên tập hợp S = {1, 2, 3} 
Khi đó ta có : 
 R+ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)} 
R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} 
 4
Chương I : Bổ túc toán 
III. PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP 
Phần lớn các định lý trong giáo trình sẽ được chứng minh bằng phương pháp quy nạp 
toán học : 
Giả sử ta cần chứng minh một mệnh đề P(n) với n là một số nguyên không âm. 
Nguyên lý quy nạp toán học cho P(n) được chứng minh theo 2 bước như sau : 
i) P (0) , và 
ii) P( n - 1) kéo theo P (n), ∀n ≥ 1. 
Bước (i) được gọi là cơ sở quy nạp, bước (ii) được gọi là bước quy nạp với P(n-1) là 
giả thiết quy nạp. 
Thí dụ 1.12 : Dùng quy nạp, chứng minh biểu thức : 
6
121
0
2 )+)(+(=∑
=
nnni
n
i
Cơ sở quy nạp : Thay n = 0 trong vế phải của biểu thức và nhận thấy cả 2 vế đều bằng 
0 ⇒ P (0) luôn đúng. 
 Bước quy nạp : Thay n bởi n - 1 để có được giả thiết quy nạp P(n-1), sau đó 
tìm cách để chứng minh P(n), tức chứng minh ∀n ≥ 1, ta có : 
a có nhận xét rằng : 
ậy nếu ta vận dụng giả thiết quy nạp thì chỉ còn phải chứng minh biểu thức : 
ới một vài phép biến đổi đại số đơn giản, biểu thức trên có thể được chứng minh dễ 
6
1) 1)(2n(n ni
6
1)- (2n n 1) - ni
n
0 i
2
1 - n
0 i
2 ++=⇒(= ∑∑
==
T
2
1 - n
2
n
2
0 i0 i
nii += ∑∑
==
V
6
n 1) (2n 1) (n n1)- (2n n 1)- (n 2 +=+
6
+
V
dàng. Hay P(n) được chứng minh, ∀n. 
 5
Chương I : Bổ túc toán 
IV. ĐỒ THỊ VÀ CÂY 
4.1. Đồ thị (Graph) 
Một đồ thị, ký hiệu G = (V, E), bao gồm một tập hữu hạn các đỉnh V (còn gọi là nút) 
và một tập các cạnh E nối giữa 2 nút. 
Thí dụ 1.13 : Đồ thị cho bởi : V = {1, 2, 3, 4, 5} 
và E = {(n, m) | n + m = 4 hoặc n + m = 7} 
1
4
3
2
5
Hình 1.1 - Ví dụ về đồ thị 
Một đường đi (path) trên một đồ thị là dãy các đỉnh v1, v2 , . . ., vk, k ≥ 1, sao cho 
trong đó có một cạnh (vi ,vi +1) cho mỗi i, 1 ≤ i < k. Độ dài của đường đi là k - 1. Nếu 
v1 = vk thì đường đi là một chu trình. 
Chẳng hạn : 1, 3, 4 là một đường đi trong đồ thị trên. 
Đồ thị có hướng (directed graph) 
Một đồ thị có hướng cũng là dạng đồ thị được xác định bởi G = (V, E), trong đó V là 
tập các đỉnh, còn E là tập các đỉnh có thứ tự gọi là các cung (hay các đường nối có 
hướng giữa 2 đỉnh). Ký hiệu một cung từ v đến w có dạng v → w. 
Thí dụ 1.14 : Đồ thị có hướng G = ({1, 2, 3, 4 }, { i → j | i < j }) 
1 2 3 4 
Hình 1.2 - Một đồ thị có hướng 
Một đường đi trên một đồ thị có hướng là dãy các đỉnh v1, v2 , . . ., vk, k ≥ 1, sao cho 
với mỗi i, 1 ≤ i < k, có một cung từ vi đến vi +1. Chẳng hạn 1 → 2 → 3 → 4 là một 
đường đi trên đồ thị định hướng trên (từ 1 đến 4). 
 6
Chương I : Bổ túc toán 
4.2. Cây (trees) 
Cây (cây định hướng có thứ tự) là một đồ thị có hướng với các tính chất sau : 
i) Có một nút đỉnh gọi là nút gốc 
ii) Mỗi nút còn lại đều được dẫn ra từ một nút cha ở trên nó : 
 - Các nút có dẫn ra nút con sau nó được gọi là nút trung gian hay nút trong. 
 - Các nút không dẫn ra nút con gọi là nút lá. 
iii) Thứ tự duyệt trên cây là từ trái sang phải. 
Trong một cây, người ta thường dùng các khái niệm nút cha và nút con để lần lượt chỉ 
thứ tự trước và sau của sự phát sinh nút từ nút gốc trên cây. Nếu có một đường đi từ 
nút v1 đến nút v2 thì v1 được gọi là nút cha của v2 và ngược lại, v2 sẽ là nút con của 
nút v1. 
Ta thường vẽ cây với nút gốc ở trên cùng và các cung chỉ xuống phía dưới, do vậy 
các ký hiệu mũi tên trở nên không còn cần thiết nữa. Các nút con của mỗi nút trên cây 
sẽ được vẽ lần lượt từ trái qua phải theo thứ tự đã xác định. 
Thí dụ 1.15 : Cây minh họa cấu trúc cú pháp của một câu đơn trong ngôn ngữ tiếng 
Việt "An là sinh viên giỏi" 
 An là sinh viên giỏi 
Hình 1.3 - Cây minh họa một câu đơn 
 7
Chương I : Bổ túc toán 
BÀI TẬP CHƯƠNG I 
1.1. Nếu không gian tập hợp là tập các số nguyên dương nhỏ hơn 20. Hãy viết rõ các 
phần tử trong các tập hợp được xác định như sau : 
a) { x ⏐ x + 2 < 10} 
b) { x ⏐ x là số nguyên tố } 
c) { x ⏐ x = x2} 
d) { x ⏐ 2x = 1} 
e) { x ⏐ 3x < 20} 
1.2. Cho tập hợp S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Hãy viết rõ các phần tử trong các tập hợp được xác định như sau : 
f) { x ⏐ x ∈ S và x chẳn } 
g) { x ⏐ x ∈ S và x ≥ x2 + 1 } 
1.3. Cho A = {0, 1, 2} và B = {0, 3, 4}. Hãy viết rõ các tập hợp sau : 
 A ∪ B ; A ∩ B ; A \ B ; A x B và 2A
1.4. Cho ví dụ về quan hệ : 
 a) Phản xạ và đối xứng, nhưng không bắc cầu. 
 b) Phản xạ và bắc cầu, nhưng không đối xứng. 
 c) Đối xứng và bắc cầu, nhưng không phản xạ. 
Trong mỗi trường hợp trên, chỉ rõ tập hợp trên đó quan hệ được xác định. 
1.5. Chứng minh các quan hệ sau đây là các quan hệ tương đương và cho các lớp 
tương đương của chúng. 
 a) Quan hệ R1 trên các số nguyên định nghĩa bởi : iR1j khi và chỉ khi i = j. 
 b) Quan hệ R2 trên một tập thể người định nghĩa bởi : pR2q khi và chỉ khi p, q 
sinh cùng ngày và cùng năm. 
1.6. Cho tập hữu hạn A. Hãy tìm những quan hệ tương đương trên A có số các lớp 
tương đương là lớn nhất hay nhỏ nhất. 
1.7. Cho hai tập hợp sau A = {2, 3, 4, 5} và B = {1, 3, 5, 7, 9}. Giả sử R là quan hệ : 
R = {(x, y) ∈ A × B | x < y} 
 8
Chương I : Bổ túc toán 
Hãy liệt kê các cặp quan hệ thứ tự trong R. 
1.8. Tìm bao đóng bắc cầu, bao đóng phản xạ và bắc cầu của quan hệ được cho như 
sau trên S = { 1, 2, 3, 4, 5}: 
{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 4)} 
1.9. Cho S = {0, 1, 2} và R = {(0, 1), (1, 2)}. Tìm R* và R+. 
 9