Giáo trình Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

số. Trong hệ truyền không méo, td (độ dốc âm của )( wjHÐ ) cần là hằng số trong dải tần 
công tác. Đây còn là yêu cầu về tính ổn định của đáp ứng biên độ. 
 Nói chung thì có sự xung đột giữa hai yêu cầu về truyền không méo. Khi ta cố tiệm 
cận với đáp ứng biên độ lý tưởng, là lúc mà đáp ứng pha càng lệch khỏi đáp ứng pha lý 
tưởng. Tần số cắt càng sắc nét (dải chuyển tiếp càng bé) thì đáp ứng pha càng tăng tính 
phi tuyến khi ở gần vùng chuyển tiếp. Ta có thể kiểm nghiệm lại từ hình 7.34, vẽ đặc tính 
trễ của các họ mạch lọc Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Chebyshev có tần số cắt 
sắc nét hơn so với Butterworth, cho thấy có sự thay đổi lớn về thời gian trễ của nhiều 
thành phần tần số so với Butterworth. 
 Trong các ứng dụng khi yếu tố tuyến tính về pha là quan trọng, có thể có hai xu 
hướng: 
1. Nếu td = hằng số (pha tuyến tính) là quan trọng nhất, ta thiết kế bộ lọc để td tạo 
phẳng tối đa quanh 0=w và chấp nhận kết quả là đáp ứng biên độ sẽ không phẳng 
hay tần số cắt không còn sắc nét. 
Khác với mạch lọc Butterworth, được thiết kế để có biên độ phẳng tối đa tại 0=w 
mà không làm suy giảm đáp ứng pha. Họ các mạch lọc phẳng tối đa td được gọi là 
mạch lọc Bessel – Thomson, là họ có mẫu số của H(s) bậc n là đa thức Bessel. 
2. Nếu cả đáp ứng biên độ và đáp ứng pha đều quan trọng, ta bắt đầu với mạch lọc 
thỏa các đặc tính về đáp ứng biên độ, bỏ qua các đặc tính về đáp ứng pha. Ta ghép 
nối tiếp mạch lọc này với mạch lọc khác, mạch cân bằng (equalizer), có đáp ứng 
biên độ phẳng với mọi tần số (mạch lọc thông hết allpass) với td có đặc tính bù với 
đặc tính của mạch lọc chính sao cho đặc tính pha tổng là xấp xỉ tuyến tính. Dạng 
nối đuôi này cho pha tuyến tính và đáp ứng biên độ của mạch lọc chính (theo yêu 
cầu) 
Lọc thông hết 
 Lọc thông hết có số cực và zêrô bằng nhau. Tất cả các cực đều nằm bên trái mặt 
phẳng phức để mạch ổn định. Các zêrô là ảnh phản chiếu của cực qua trục ảo. Nói cách 
khác, với mỗi cực jba +- , ta có zêrô tại jba + . Do đó, các zêrô đều nằm bên phải mặt 
phẳng phức. Các mạch lọc với cấu hình cực – zêrô này được gọi là mạch lọc thông hết; 
tức là đáp ứng biên độ là hằng với mọi tần số. Ta có thể kiểm nghiệm qua xem xét hàm 
truyền có cực tại jba +- và zêrô tại jba + : 
jbas
jbas
sH
-+
--
=)( và 
)(
)()(
bja
bja
jbaj
jbaj
sH
-+
-+-=
-+
--
=
w
w
w
w , do đó: 
 1
)()(
)()(
)(
22
22
=
-+
-+-
=
ba
ba
jH
w
w
w (7.65) 
 úû
ù
êë
é --úû
ù
êë
é
-
-
=Ð --
a
b
a
b
jH
www 11 tantan)( 
 úû
ù
êë
é --=úû
ù
êë
é --úû
ù
êë
é --=Ð ---
a
b
a
b
a
b
jH
wpwwpw 111 tan2tantan)( (7.66) 
Ta thấy là dù đáp ứng biên độ là đơn vị bất chấp vị trí cực và zêrô, đáp ứng pha phụ 
thuộc vào vị trí cực (hay zêrô). Thông qua chỉnh định cực hợp lý, ta có thể có đáp ứng 
pha cần thiết là bù của đáp ứng pha của mạch lọc chính. 
7.9 Tóm tắt 
Đáp ứng của hệ LT – TT – BB có hàm truyền )(sH với tín hiệu sin không dừng, 
tần số w cũng là tín hiệu sin có cùng tần số. Biên độ ngõ ra là )( wjH nhân với biên độ 
vào, và sóng sin ra bị dời pha một góc )( wjHÐ so với tín hiệu vào. Đồ thị )( wjH theo 
w cho thấy độ lợi biên độ của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng 
biên độ của hệ thống. Đồ thị )( wjHÐ theo w cho thấy góc dời pha của sóng sin với 
nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng pha. 
 Vẽ đáp ứng tần số được đơn giản hóa bằng cách dùng đơn vị logarithm cho trục 
biên độ và trục tần số, và được gọi là giảm đồ Bode. Dùng đơn vị logarithm cho phép 
thực hiện phép cộng (thay vì nhân) đáp ứng biên độ của bốn dạng thừa số trong hàm 
truyền là (1) hằng số (2) có cực hay zêrô tại gốc (3) có cực hay zêrô bậc nhất (4) có các 
cực hay zêrô dạng phức. Vẽ đáp ứng pha thì dùng đơn vị tuyến tính cho cho goác pha và 
đơn vị logarithm cho trục tần số. Đặc tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha cho phép 
vẽ dễ dàng các hàm truyền ngay cả với bậc cao hơn. 
 Đáp ứng tần số của hệ thống được xác định từ vị trí các cực và zêrô của hàm truyền 
trên mặt phẳng phức. Ta có thể thiết kế bộ lọc có tính tuyển chọn tần số bằng cách sắp 
xếp thích hợp vị trí các cực và zêrô trong hàm truyền. Sắp xếp vị trí cực (hay zêrô) gần 
trục 0wj trong mặt phẳng phức làm tăng (hay giảm) đáp ứng tần số tại tần số 0ww = . Từ 
ý niệm này, kết hợp đúng để đặt thích hợp vị trí các cực và zêrô giúp ta có được đặc tính 
mạch lọc cần có. 
 Phần này xét hai loại mạch lọc analog là Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc 
Butterworth có đáp ứng biên độ phẳng trong băng thông. Đáp ứng biên độ của lọc 
Chebyshev có nhấp nhô trong băng thông. Mặt khác, đáp ứng của lọc Chebyshev ở 
stopband tốt hơn so với lọc Butterworth. Các bước thiết kế lọc thông thấp có thể dùng 
cho trường hợp thông cao, thông dải và triệt dải thông qua việc dùng các biến đổi tần số 
thích hợp trong phần 7.7. 
 Mạch lọc allpass có độ lợi là hằng số nhưng pha thay đổi theo tần số. Do đó, khi đặt 
mạch lọc allpass nối đuôi với hệ thống sẽ làm đáp ứng biên độ không đổi nhưng có pha 
thay đổi. Do đó, dạng lọc allpass được dùng thay đổi đáp ứng pha của hệ thống. 
 Tham khảo 
1. Wai-Kai Chen, Passive and active Filters, Wiley, New York, 1986. 
2. Van Valkenberg, M.E., Analog Filter Design, Holt, Rinehart and Winston, New 
York, 1982. 
3. Christian E. Eisenmann, Filter Design Tables and Graphs, Transmission 
Networks International, Inc., Knightdale, N.C., 1977. 
 Bài tập 
7.1-1 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền 
45
2
)( 2 ++
+
=
ss
s
sH 
 Tìm đáp ứng với các ngõ vào sin không dừng: (a) )302cos(5 0+t 
(b) )452sin(5 0+t (c) )403cos(10 0+t . Quan sát thấy chúng đều là sóng sin không dừng. 
7.1-2 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền 
 2)2(
3
)(
+
+
=
s
s
sH 
 Tìm đáp ứng xác lập của hệ thống với các ngõ vào sau: (a) )(10 tu 
(b) )()602cos( 0 tut + (c) )()453sin( 0 tut - (d) )(3 tue tj . 
7.1-3 Bộ lọc allpass mô tả bằng hàm truyền 
10
)10(
)(
+
--
=
s
s
sH 
 Tìm đáp ứng với các ngõ vào không dừng: (a) tje w (b) )cos( qw +t (c) tcos 
(d) sìnt (e) t10cos (f) t100cos . Nhận xét về đáp ứng mạch lọc. 
7.2-1 Vẽ giản đồ Bode của các hàm truyền sau: 
(a) 
)20)(2(
)100(
++
+
ss
ss
 (b) 
)100(
)20)(10(
2 +
++
ss
ss
 (c) 
)1000()20(
)200)(10(
2 ++
++
ss
ss
7.2-2 Làm lại bài tập 7.2-1 nếu 
(a) 
)164)(1( 2
2
+++ sss
s
 (b) 
)10014,14)(1( 2 +++ sss
s
 (c) 
)10014,14(
)10(
2 ++
+
sss
s
7.3-1 Phản hồi có thể dùng để tăng (hay giảm) băng thông của hệ thống. Xét hệ thống 
trong hình 7.3-1a có hàm truyền 
c
c
s
sG
w
w
+
=)( . 
(a) Chứng tõ khổ sóng 3 dB của hệ thống là cw 
(b) Để giảm băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với 9,0)( -=sH , như vẽ 
trong hình P7.3-1c. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là cw10 . 
(c) Để tăng băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với 9)( =sH , như vẽ trong 
hình P7.3-1b. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là 10/cw . 
(d) Độ lợi của hệ thống tại dc nhân với băng thông 3dB gọi là tích số độ lợi – băng 
thông của hệ thống. Chứng tõ là tích này là giống nhau cho ba hệ thống trong 
hình P7.3-1. Kết quả này cho thấy khi tăng băng thông thì độ lợi giảm và ngược 
lại. 
7.4-1 Dùng phương pháp đồ thị của phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của 
hệ LT – TT – BB mô tả bởi hàm truyền 
)71)(71(
)71)(71(
502
502)( 2
2
jsjs
jsjs
ss
sssH
++-+
+---
=
++
+-= 
 Cho biết đây là dạng mạch lọc gì? 
7.4-2 Dùng phương pháp đồ thị trong phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và pha của hệ LT 
–TT – BB có các cực và zêrô vẽ trong hình P7.4-2. 
7.4-3 Thiết kế bộ lọc bandpass bậc hai với tần số trung tâm 10=w . Độ lợi là zêrô tại 
0=w và ¥=w . Chọn vị trí cực là 10ja ±- . Biện luận về ảnh hưởng của a lên 
đápứng tần số. 
7.5-1 Tìm hàm truyền )(sH và đáp ứng biên độ )( wjH của mạch lọc Butterworth 
thông thấp bậc ba có tần số cắt 3dB tại 100=cw . Tìm kết quả không dùng bảng 
7.1 hay 7.2. Dùng các bảng này để kiểm nghiệm lại kết quả 
7.5-2 Xác định bậc n, là bậc của mạch lọc thông thấp Butterworth, tương ứng với tần số 
cắt cw cần thiết thỏa được các tiêu chí của mạch lọc thông thấp. Tìm các giá trị 
của cw , một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của passband, và một 
thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của stopband trong các trường hợp: 
(a) dBGp 5,0ˆ -³ , dBGs 20ˆ -£ , 100=pw rad/s và 200=Sw rad/s 
(b) 9885,0ˆ ³pG , 
310ˆ -£sG , 1000=pw rad/s và 2000=Sw rad/s 
 (c) Độ lợi tại 3 cw cần lớn hơn dB50- 
7.5-3 Tìm hàm truyền )(sH và đáp ứng biên độ )( wjH của mạch lọc thông thấp 
Butterworth thỏa các tiêu chí dBGp 3ˆ -³ , dBGs 14ˆ -£ , 000.100=pw rad/s và 
000.150=Sw rad/s . Cần thỏa quá (nếu có thể) các yêu cầu của sGˆ . Xác định pGˆ 
và sGˆ của thiết kế. 
7.6-1 Làm lại bài tập 7.5-1 cho mạch lọc Chebyshev, không dùng bảng 
7.6-2 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau dBGp 1ˆ -³ , 
dBGs 22ˆ -£ , 100=pw rad/s và 200=Sw rad/s. 
7.6-3 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau dBGp 2ˆ -³ , 
dBGs 25ˆ -£ , 10=pw rad/s và 15=Sw rad/s. 
7.6-4 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev có tần số cắt 3 dB là cw , và độ lợi giảm 
- 50 dB tại 3 cw . 
7.7-1 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGp 1ˆ -³ , dBGs 20ˆ -£ , 20=pw rad/s và 10=Sw rad/s. 
7.7-2 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGp 1ˆ -³ , dBGs 22ˆ -£ , 20=pw rad/s và 10=Sw rad/s. 
7.7-3 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGp 3ˆ -³ , dBGs 17ˆ -£ , 1001 =pw rad/s, 2502 =pw rad/s và 401 =Sw rad/s, 
5002 =Sw rad/s. 
7.7-4 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGs 17ˆ -£ , dBr 1ˆ £ , 1001 =pw rad/s, 2502 =pw rad/s và 401 =Sw rad/s, 
5002 =Sw rad/s. 
7.7-5 Tìm hàm truyền )(sH của mạch lọc triệt dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: 
 dBGs 24ˆ -£ , dBGp 3ˆ -³ , 201 =pw rad/s, 602 =pw rad/s và 301 =Sw rad/s, 
382 =Sw rad/s.