Giáo trình Tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian

ịnh, ngoài ra còn có trường hợp hệ thống ở biên 
ổn định. 
Các tiêu chuẩn ổn định theo vị trí nghiệm đặc tính của hệ thống được tóm tắt thành: 
1. Hệ LT – TT – BB là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên 
trái mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp. 
2. Hệ LT – TT – BB là không ổn định nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên phải 
mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp. 
3. Hệ LT – TT – BB là ở biên ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu, không có 
nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, và có một số nghiệm lặp trên trục ảo 
của mặt phẳng phức. 
Dựa vào định nghĩa khác về ổn định là: ổn định BIBO (bounded-input, bounded 
output), tức là hệ thống ổn định nếu các ngõ vào bị chặn tạo các ngõ ra bị chặn. Ngược lại 
là hệ BIBO không ổn định. Hệ BIBO ở biên ổn định luôn là hệ BIBO ổn định, tuy nhiên, 
điều ngược lại không đúng. 
Hoạt động đặc tính của hệ thống là cực kỳ quan trọng do không chỉ xác định đáp 
ứng hệ thống với điều kiện nội tại (hoạt động ngõ vào – zêrô) mà còn xác định đáp ứng 
với ngõ vào (hoạt động trạng thái – zêrô) và tín hổn định của hệ thống. Đáp ứng của hệ 
thống với tín hiệu từ ngoài được xác định dùng đáp ứng xung, mà tự thân đáp ứng xung 
đã bao gồm các chế độ đặc tính. Độ rộng của đáp ứng xung được gọi là hằng số thời gian 
của hệ thống, chỉ thị tốc độ đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào. Hằng số thời gian giữ 
vai trò quan trọng để xác định nhiều hoạt động khác nhau của hệ thống như đáp ứng theo 
thời gian và tính lọc của hệ thống, sự phân tán của xung, và tốc độ truyền xung qua hệ 
thống. 
Tài liệu tham khảo 
1. Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, 
California, 1987. 
2. Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 
1980. 
3. Lathi, B.P., Modern Digital and Analog Communication Systems, Third 
Ed,.Oxford University Press, New York, 1998. 
Bài tập 
2.2-1 Hệ LT – TT –BB đặc trưng bởi phương trình 
 )()1()()65( 2 tfDtyDD +=++ 
(a) Tìm đa thức đặc tính, phương trình đặc tính, nghiệm đặc tính, và các chế 
độ đặc tính của hệ thốn gnày 
(b) Tìm )(0 ty , thành phần ngõ vào – zêrô của đáp ứng )(ty khi 0³t , nếu 
điều kiện đầu là 2)0(0 =y và 1)0(0 -=y& 
2.2-2 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()()44( 2 tDftyDD =++ , điều kiện đầu là 3)0(0 =y và 4)0(0 -=y& 
2.2-3 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()2()()1( tfDtyDD +=+ , điều kiện đầu là 1)0(0 =y và 1)0(0 =y& 
2.2-4 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()23()()9( 2 tfDtyD +=+ , điều kiện đầu là 0)0(0 =y và 6)0(0 =y& 
2.2-5 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()2(4)()134( 2 tfDtyDD +=++ , điều kiện đầu là 5)0(0 =y và 59,15)0(0 =y& 
2.2-6 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()2()()1( 22 tfDtyDD +=+ , điều kiện đầu là 4)0(0 =y và 1)0(0 -=y& 
2.2-7 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 
 )()()65)(1( 2 tDftyDDD =+++ , điều kiện đầu là 2)0(0 =y , 1)0(0 -=y& và 5)0(0 =y&& 
2.3-1 Tìm đáp ứng xung của hệ thống đặc trưng bởi phương trình 
 )()5()()34( 2 tfDtyDD ==++ 
2.3-2 Làm lại bài tập 2.3-1 nếu 
 )()117()()65( 22 tfDDtyDD ++=++ 
2.3-3 Làm lại bài tập 2.3-1 với bộ lọc bậc một 
 )()1()()1( tfDtyD --=+ X 
2.3-4 Tìm đáp ứng xung của hệ LT – TT BB đặc trưng bởi phương trình 
 )()92()()96( 2 tfDtyDD +=++ 
2.4-1 Nếu )()()( tgtftc *= , chứng minh là gfc AAA = , với gf AA , và cA là diện 
tích tương ứng lần lượt là )(),( tgtf và )(tc . Kiểm tra đặc tính diện tích của 
tích phân chập trong thí dụ 2.6 và 2.8. 
2.4-2 Nếu )()()( tctgtf =* , chứng minh là )(1)()( atc
a
atgatf =* . Đặc tính tỉ lệ 
thời gian của tích phân chập cho là cả )(tf và )(tg đều được tỉ lệ theo a, tích 
phân chập của chúng cũng được tỉ lệ theo a (và nhân với a/1 ). 
2.4-3 C hứng tõ là tích phân chập của hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ và tích phân 
chập giữa hai hàm lẻ hay hai hàm chẵn là hàm chẵn. 
Hướng dẫn: dùng đặc tính tỉ lệ theo thời gian của tích phân chập trong bài tập 
2.4-2. 
2.4-4 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính )()( tuetue btat -- * . 
2.4-5 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính )()( tutu * , )()( tuetue atat -- * và 
)()( tuttu * . 
2.4-6 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính )()(.sin tutut * , và )()(.cos tutut * 
2.4-7 Đáp ứng xung đơn vị của hệ LT- TT –BB là )()( tueth t-= . Tìm đáp ứng 
(trạng thái – zêrô) )(ty khi tín hiệu vào )(tf là 
(a) )(tu (b) )(tue t- (c) )(2 tue t- (d) )(.3sin tut 
2.4-8 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )(]2[)( 23 tueeth tt -- -= khi tín hiệu vào )(tf là 
(a) )(tu (b) )(tue t- (c) )(2 tue t- 
2.4-9 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )()21()( 2 tuetth t--= khi tín hiệu vào )()( tutf = 
2.4-10 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )(.3cos4)( 2 tuteth t-= khi tín hiệu vào )(tf là 
 (a) )(tu (b) )(tue t- 
2.4-11 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu )()( tueth t-= khi tín hiệu vào )(tf là (a) )(2 tue t- , 
(b) )()3(2 tue t-- (c) )3(2 -- tue t (d) xung vuông vẽ ở hình P2.4-11, và vẽ )(ty 
trong trường hợp (d). Hướng dẫn: ngõ vào tại (d) có thể được viết thành 
)1()( -- tutu . Trường hợp (c) và (d), dùng tính dời theo thời gian (2.34) của 
tích phân chập. (Ngoài ra, còn có thể dùng tính bất biến và tính xếp chồng) 
2.4-12 Hệ thống lọc bậc nhất có đáp ứng xung )(2)()( tuetth t-+-= d 
(a) Tìm đáp ứng trạng thái –zêrô của bộ lọc khi có tín hiệu vào )(tue t- 
 (b) Vẽ ngõ vào và đáp ứng trạng thái – zêrô tương ứng 
2.4-13 Vẽ hàm 
1
1
)( 2 +
=
t
tf và )(tu . Tìm )()( tutf * và vẽ kết quả. 
2.4-14 Hình P2.4-14 vẽ )(tf và )(tg . Tìm và vẽ )()()( tgtftc *= 
2.4-15 Tìm và vẽ )()()( tgtftc *= vẽ ở hình P2.4-15 
2.4-16 Tìm và vẽ )()()( 21 tftftc *= trong cặp hàm vẽ ở hình P2.4-16 
2.4-17 Hệ LT – TT – BB, nếu đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào )(tf là )(ty , 
chứng minh là đáp ứng đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào )(tf& là )(ty& , 
và đáp ứng khi ngõ vào ò ¥-
t
df tt )( là ò ¥-
t
dy tt )( . 
2.4-18 Nếu )()()( tctgtf =* , chứng minh )()()()()( tctgtftgtf &&& =*=* 
Mở rộng kết quả để chứng minh là ( ) )()()( ))()( tctgtf nmnm +=* 
Trong đó )()( tx m là đạo hàm của )(tx , và mọi đạo hàm của )(tf và )(tg tồn tại 
Hướng dẫn: Dùng phần đầu trong hướng dẫn trong bài tập 2.4-17 và đặc tính dời theo 
thời gian của tích phân chập. 
2.4-19 Như đã bàn trong chương 1 (hình 1.27b), có thể biểu diễn ngõ vào theo các 
thành phần hàm bước, như vẽ trong hình P2.4-19. Nếu )(tg là hàm bước đơn 
vị của hệ LT – TT – BB , chứng minh là đáp ứng (trạng thái-zêrô) )(ty của hệ 
 LT – TT – BB theo ngõ vào )(tf có thể biểu diễn thành 
 ò
¥
¥-
*=-= )()()()()( tgtfdtgfty && ttt 
Hướng dẫn: từ hình P2.4-19, thành phần đáp ứng bước được tô bóng được cho bởi . 
)(])([)( tttt D-D@D-D ntufntfu & . Đáp ứng hệ thống là tổng tất cả các thành phần. 
2.4-20 Điện tích đường đặt dọc theo truc x có mật độ điện tích )(xf . Chứng tõ là 
điện trường )(xE do điện tích đường tạo nên tại điểm x là 
 )()()( xhxfxE *= với 24
1
)(
x
xh
pe
= 
 Hướng dẫn: Điện tích trong khoảng tD đặt tại tt D= n là ( ) tt DDnf . Đồng thời, 
theo luật Coulomb, điện trường )(rE tại khoảng cách r đến điện tích q được cho bởi 
 24
)(
r
q
rE
pe
= 
2.4-21 Xác định )(sH , hàm truyền của bộ trễ lý tưởng theo thời gian T giây. Tìm kết 
quả bằng hai phương pháp: dùng phương trình (2.48) và dùng phương trình 
(2.49). 
2.5-1 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()2()()127( 2 tfDtyDD +=++ nếu điều 
kiện đầu là 0)0( =+y , 1)0( =+y& và khi ngõ vào )(tf 
(a) )(tu (b) )(tue t- (c) )(2 tue t- 
2.5-2 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()3()()256( 2 tfDtyDD +=++ nếu điều 
kiện đầu là 0)0( =+y , 2)0( =+y& và khi ngõ vào )()( tutf = . 
2.5-3 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()1()()44( 2 tfDtyDD +=++ nếu điều 
kiện đầu 4/9)0( =+y , 5)0( =+y& , khi ngõ vào )(tf (a) )(3 tue t- (b) )(tue t- 
2.5-4 Dùng phương pháp cổ điển, giải )()1()()2( 2 tfDtyDD +=+ nếu điều kiện 
đầu 2)0( =+y , 1)0( =+y& , khi ngõ vào )()( tutf = . 
2.5-5 Làm lại bài tập 2.5-1, nếu ngõ vào )()( 3 tuetf t-= 
2.6-1 Giải thích, lý luận và cho biết các hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi các phương 
trình sau là ổn định tiệm cận, biên ổn định hay không ổn định 
(a) )()1()()128( 2 tfDtyDD -=++ 
(b) )()5()()23( 2 tfDtyDDD +=++ 
(c) )()5()()2( 22 tfDtyDD +=+ 
(d) )()13()()56)(1( 2 tfDtyDDD +=+-+ 
2.6-2 Làm lại bài 2.6-1, nếu 
(a) )()1()()52)(1( 2 tfDtyDDD -=+++ 
(b) )()92()()9)(1( 2 tfDtyDD +=++ 
(c) )()92()()9)(1( 22 tfDtyDD +=++ 
 (d) )(3)()9)(4)(1( 222 tDftyDDD =+++ 
2.6-3 Đối với hệ LT – TT – BB có đáp ứng xung là )()( tuth = 
(a) Xác định các nghiệm đặc tính của hệ thống này 
(b) Hệ thống là ổ định tiệm cận, ở biên tiệm cận, hay không ổn định 
(c) Hệ thống có ổn địnhBIBO 
(d) Hệ thống có thể dùng làm gì? 
2.6-4 Trong phần 2.6, ta đã chứng minh là hệ LT – TT – BB thì điều kiện (2.65) là 
đủ để hệ ổn định BIBO. Chứng minh đây cũng là điều kiện cần để có ổn định 
BIBO. Nói cách khác, chứng minh là khi phương trình (2.65) không thỏa thì 
tồn tại ngõ vào bị chặn, tạo ngõ ra không bị chặn. 
Hướng dẫn: giả sử là hệ thống tồn tại có )(th vi phạm phương trình (2.65) và 
tạo ngõ ra bị chặn với từng ngõ vào bị chặn. Thiết lập nghịch lý này qua việc 
xem một ngõ vào )(tf định nghĩa với 1)( 1 =-ttf khi 0)( ³th và 
1)( 1 -=-ttf khi 0)( <th , với 1t là thời điểm hằng. 
2.7-1 Dữ liệu với tốc độ 1 triệu xung trong một giây được truyền qua kênh thông 
tin. Đáp ứng bước đơn vị )(tg của kênh truyền được vẽ ở hình P2.7-1. 
(a) Cho biết kênh truyền này có truyền được dữ liệu với tốc độ yêu cầu 
không? 
(b) Có thể truyền tín hiệu gồm các thành phần có tần số cao hơn 15 kHz có 
thể truyền qua kênh với độ trung thực cao hơn? 
2.7-2 Một kênh thông tin có khổ sóng 10kHz. Xung có độ rộng 0,5 ms được 
truyền qua kênh này. 
(a) Xác định độ rộng của xung thu được 
(b) Tìm tốc độ tối đa mà các xung này có thể truyền qua kênh mà không bị 
giao thoa giữa các xung liên tiếp. 
2.7-3 Hệ LT – TT – BB bậc một có phương trình đặc tính 410-=l 
(a) Xác định rT , thời gian lên của đáp ứng bước đơn vị 
(b) Xác định băng thông của hệ thống 
(c) Xác định tốc độ mà xung thông tin có thể truyền qua hệ thống.