Giáo trình Tín hiệu và hệ thống - Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống

trị tương lai của ngõ vào. 
Ngõ ra hệ không nhân quả phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào, nên 
đáp ứng ra xuất hiện trước khi có nguyên nhân. Khi hệ không nhân quả có biến 
độc lập là thời gian (hệ thời gian), thì hệ là hệ dự báo, nên không thể thực hiện 
được hệ thống trong thực tế, dù cho có được phép xấp xỉ gần đúng với một số 
khâu trễ tại ngõ ra. Hệ không nhân quả có biến độc lập khác biến thời gian (thí 
dụ có biến không gian) thì thực hiện được. 
5. Nếu các phẩn tử trong hệ thống có kích thước bé so với độ dài sóng của tín 
hiệu, ta có thể giả sử là mỗi phần tử là có tham số tập trung, và hệ thống được 
xem là hệ có tham số tập trung. Trong giả sử này thì các tín hiệu chỉ là hàm 
theo thời gian. Khi giả sử này không đúng thì tín hiệu là hàm theo không gian 
và thời gian; và còn được gọi là hệ có tham số phân bố. 
6. Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra liên tục theo thời gian là hệ liên tục theo 
thời gian; hệ thống có các tín hiệu vào và ngõ ra là rơòi rạc theo thời gian là hệ 
rời rạc theo thời gian. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục theo thời gian, ta có tín hiệu 
rời rạc theo thời gian. Có thể xử lý tín hiẹu liên tục theo thời gian dùng hệ rời 
rạc xử lý các mẩu của tín hiệu này. 
7. Hệ thống có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog là hệ thống 
analog; còn hệ có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là 
hệ thống số. 
8. Nếu có thể khôi phục tín hiệu vào f(t) từ ngõ ra y(t) của hệ thống S thông qua 
một số phép tính, thì hệ thống S được gọi là hệ khả nghịch, ngược lại là hệ 
không khả nghịch. 
Hệ thống có mô hình tìm được từ kiến thức của cấu trúc bên trong của hệ thống được 
gọi là mô tả nội tại. Ngược lại, mô tả bên ngoài của hệ thống có mô tả được nhìn từ các 
đầu ngõ vào và ngõ ra của hệ thống; mô tả này có được từ bằng cách đưa vào hệ thống 
một ngõ vào đã biết rồi đo lường ngõ ra. Trong hầu hết các hệ thống thực tế, thì mô tả nội 
tại thường tương đương với mô tả từ bên ngoài. Tuy nhiên, trong một số trường hợp mô 
tả bên ngoài không cung cấp đủ thông tin về hệ thống, trường hợp này, hệ được gọi là hệ 
không điều khiểun được hay không quan sát được. 
Tài liệu tham khảo 
1. Papoulis, A., The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill, New 
York, 1962. 
2. Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 
1980. 
3. Lathi, B.P., Signals, Systems and Communications, Viley, New York, 1965. 
4. Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, 
California, 1987. 
Bài tập 
1.1-1 Tìm năng lượng của tín hiệu trong hình P1.1-1. Nhận xét về năng lượng khi 
tín hiệu đổi dấu. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu được nhân với k. 
1.1-2 Làm lại bài tập 1.1-1 dùng hình P1.1-2. 
1.1-3 (a) Tìm năng lượng của cặp tín hiệu x(t) và y(t) được vẽ ở hình P1.1-3a và 
P1.1-3b. Vẽ và tìm năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) và x(t) + y(t). Nhận 
xét gỉ tử các kết quả ? (b) Làm lại phần (a) dùng hình P1.1-3, cho biết nhận 
xét trong phần (a) còn có giá trị không? 
1.1-4 Tìm công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) trong hình P1.1-4. Tìm tiếp công 
suất và trị rms của (a) – f(t) (b) 2 f(t) (c) c f(t). Nhận xét. 
1.1-5 Chứng minh là công suất của tín hiệu 
 tj
n
mk
k
keDtf wå
=
=)( là 
2
å
=
=
n
mk
kf DP 
 Với giả sử các tần số là phân biệt, với ki ww ¹ với mọi ki ¹ 
1.1-6 Tìm công suất và trị rms của từng tín hiệu sau 
(a) ÷
ø
ö
ç
è
æ +
3
100cos10
p
t (b) ÷
ø
ö
ç
è
æ ++÷
ø
ö
ç
è
æ +
5
150sin16
3
100cos10
pp
tt 
 (c) ( ) tt 10cossin210+ (d) tt 10cos5cos10 
 (e) tsn 10cos10 (f) te tj 0cosw
a 
1.3-1 Trong hình P1.3-1, tín hiệu )()(1 tftf -= . Biểu diễn các tín hiệu 
)(2 tf , )(3 tf , )(4 tf và )(5 tf theo )(tf , )(1 tf và các tính chất: dời theo 
thời gian, tỉ lệ theo thời gian và tính khả nghịch theo thời gian. Thí dụ 
)()()( 12 TtfTtftf -+-= . 
1.3-2 Từ tín hiệu )(tf ở hình P1.3-2, vẽ các tín hiệu (a) )( tf - (b) )6( +tf 
(c) )3( tf (d) )2/(tf 
1.3-3 Từ tín hiệu )(tf ở hình P1.3-3, vẽ các tín hiệu (a) )4( -tf (b) )5,1/(tf 
(c) )( tf - (d) )42( -tf (e) )2( tf - 
1.4-1 Vẽ các tín hiệu (a) )7()5( --- tutu (b) )7()5( -+- tutu 
 (c) )]2()1([2 --- tutut (d) )]4()2()[4( ---- tutut 
1.4-2 Biểu diễn các tín hiệu trong hình P1.4-2 dùng biểu thức xác định với mọi t. 
1.4-3 Tín hiệu )(tf có năng lượng fE , chứng tõ là năng lượng của các tín hiệu 
)(tf- , )( tf - và )( Ttf - đều có giá trị fE . Chứng tõ là năng lượng của tín 
hiệu )(atf cùng tín hiệu )( batf - là aE f / . Điều này cho thấy phép dời và 
phép nghịch theo thời gian không ảnh hưởng lên năng lượng tín hiệu. Mặt 
khác, phép nén theo thời gian (a > 1) giảm năng lượng và phép giãn theo thởi 
gian (a < 1) làm tăng năng lượng. Cho biết năng lượng thay đổi ra sao khi 
nhân tín hiệu với hằng số a. 
1.4-4 Đơn giãn các biểu thức sau: 
(a) )(
2
sin
2
t
t
t d÷
ø
ö
ç
è
æ
+
 (b) )(
9
2
2 wdw
w
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+j
(c) )()]603cos([ 0 tte t d-- (d) 
[ ]
)1(
4
)2(sin
2
2 -÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
t
t
t
d
p
(e) )3(
2
1
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
wd
wj
 (f) )(
sin wd
w
w
÷
ø
ö
ç
è
æ k 
1.4-5 Tính các tích phân sau: 
(a) ò
¥
¥-
- tttd dtf )()( (e) ò
¥
¥-
-+ dtet t)3(d 
(b) ò
¥
¥-
- ttdt dtf )()( (f) ò
¥
¥-
-+ dttt )1()4( 3 d 
(c) ò
¥
¥-
- td w det tj)( (g) ò
¥
¥-
-- dtttf )3()2( d 
(d) ò
¥
¥-
- tdtt pd sin)2( (h) [ ]ò
¥
¥-
- -- dxxxe x )3()5(cos 2
)1( dp 
 Hướng dẫn: )(xd tồn tại tại x = 0. Thí dụ )1( t-d tồn tại tại 1 – t = 0 và tính tiếp. 
1.4-6 (a) Tìm và vẽ dtdf / của tín hiệu )(tf ở hình P1.3-3 
 (b) Tìm và vẽ 22 / dtfd của tín hiệu )(tf ở hình P1.4-2a 
1.4-7 Tìm và vẽ giá trị ò ¥-
t
dxxf )( của tín hiệu )(tf trong hình P1.4-7 
1.4-8 Dùng định nghĩa hàm tổng quát, chứng tỏ )(td là hàm chẵn theo t. 
Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.24a) để định nghĩa )(td . Thay biến t = - x 
để chứng minh 
 ò
¥
¥-
=- )0()()( fdf dttt 
1.4-9 Chứng minh là 
 )(
1
)( t
a
at dd = 
 Hướng dẫn: chứng minh ò
¥
¥-
= )0(
1
)()( fdf
a
dtatt 
1.4-10 Chứng minh ò
¥
¥-
-= )0()()( ffd && dttt trong đó )(tf và )(tf& liên tục tại t = 0, và 
0)( ®tf khi ±¥®t . Tích phân nhằm định nghĩa )(td& là hàm tổng quát. 
Hướng dẫn: dùng phương pháp tích phân từng phần. 
1.4-11 Tín hiệu tt wa cos có thể được xem là tổng của hàm mủ ste và ste- (phương 
trình (1.30c) dùng tần số phức ws js += và ws js -= . Xác định các tín 
hiệu sin sau trong mặt phẳng phức: (a) cos3t (b) e-3tcos3t (c) e2tcos3t 
(d) e-2t (d) e2t (f) 5. 
 1.5-1 Tìm và vẽ các thành phần chẵn và lẻ của (a) u(t) (b) tu(t) (c) )(sin 0 ttuw 
 (d) )(cos 0 ttuw (e) t0sinw (f) t0cosw 
 1.6-1 Tìm quan hệ vào-ra của bộ tích phân lý tưởng. Xác định thành phần đáp ứng với 
 ngõ vào zêrô và đáp ứng trạng thái zêrô. 
1.7-1 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ tuyến tính và hệ phi tuyến. 
(a) )()(2 2 tfty
dt
dy
=+ (c) )(2)(3 tfty =+ 
(b) )()(3 2 tfttty
dt
dy
=+ (f) )(2)()(sin tf
dt
df
tyt
dt
dy
+=+ 
(e) )()(2
2
tfty
dt
dy
=+÷
ø
ö
ç
è
æ (g) 
dt
df
tfty
dt
dy
)()(2 =+ 
(d) )()(2 tfty
dt
dy
=+ (h) ò ¥-=
t
dfty ss )()( 
1.7-2 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ bất biến và hệ thay đổi theo thời gian. 
(a) )2()( -= tfty (d) )2()( --= tfty 
(b) )()( tfty -= (e) ò-=
5
5
)()( tt dfty 
(c) )()( atfty = (f) 
2
)( ÷
ø
ö
ç
è
æ=
dt
df
ty 
1.7-3 Hệ thống tuyến tính bất biến (TT-BB) có ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , và hai điều 
kiện đầu )0(1x và )0(2x , ta ghi nhận được quan sát sau: 
 Tìm )(ty khi cả hai ngõ vào đều bằng zêrô và ngõ vào )(tf có dạng hình P1.7-3. 
Hướng dẫn: Có ba nguyên nhân: ngõ vào và từng điều kiện đầu. Từ tính tuyến 
tính, khi nguyên nhân tăng giá trị k, thì đáp ứng cũng tăng với cùng giá trị k. Tuy 
nhiên, khi cộng thêm nguyên nhân một giá trị, thì đáp ứng cũng được cộng thêm 
một giá trị tương ứng. 
1.7-4 Hệ thống được đặc trưng bởi quan hệ vào-ra là 
dt
df
tf
ty
)(
)(
2
= . 
 Chứng minh là hệ thống thỏa tính đồng nhất nhưng không thỏa tính cộng. 
1.7-5 Chứng minh là trong mạch hình P1.5-7 là hệ tuyến tính trạng thái zêrô, nhưng phi 
tuyến với ngõ vào zêrô. Giả sử các điốt có đặc tính giống nhau. 
Hướng dẫn: trong trạng thái (khi điện áp đầu của tụ 0)0( =Cv ) thì mạch là tuyến 
tính. Nếu ngõ vào 0)( =tf , và )0(Cv khác zêrô, dòng điện )(ty không có tính 
tuyến tính theo nguyên nhân )0(Cv . 
1.7-6 Cuộn L và tụ C trong hình P1.7-6 là linh kiện phi tuyến, nên là mạch không tuyến 
tính. Ba phần tử còn lại là tuyến tính. Chứng tõ là ngõ ra )(ty của mạch phi 
tuyến thỏa điều kiện tuyến tính theo ngõ vào )(tf và các điều kiên đầu (tất cả 
các dỏng điện ban đầu qua cuộn dây và điện áp ban đầu qua tụ). Chú ý là nguồn 
dòng là hở mạch khi dòng điện là zêrô. 
1.7-7 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ nhân quả và hệ không nhân quả. 
(a) )2()( -= tfty (c) )()( atfty = 1>a 
(b) )()( tfty -= (d) )()( atfty = 1<a 
1.7-8 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác 
định hệ khả nghịch và hệ không khả nghịch. Trường hợp hệ khả nghịch, tìm quan 
hệ vào-ra của hệ khả nghịch. 
(a) ò ¥-=
t
dfty tt )()( (c) )()( tfty n= n: số nguyên 
(b) )63()( -= tfty (d) )](cos[)( tfty = 
1.8-1 Cho mạch hình 1.8-1, tìm phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa những ngõ 
vào )(1 ty và )(2 ty với ngõ vào )(tf . 
1.8-2 Làm lại bài tập 1.8-1 dùng hình 1.8-2. 
1.8-3 Nước vào thùng chứa với lưu lượng iq đơn vị/giây và lưu lượng ra khỏi vòi là 0q 
đơn vị/giây (hình P1.8-3). Tìm phương trình của quan hệ giữa ngõ ra 0q và ngõ 
vào iq . Lưu tốc tỉ lệ với h. Nên Rhq =0 với R là lực cản của vòi. Xác định 
phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa h và ngõ vào iq . 
 Hướng dẫn: lưu tốc thực của nước tại thời điểm tD là tqqi D- )( 0 , còn có giá trị là 
hAD vớ A là diện tích mặt cắt của thùng chứa.