Giáo trình Tín hiệu hệ thống - Chương 4: Phân tích hệ thống dùng phép biến đổi Laplace

- 94 - 
4.5.2 Ví dụ 
Làm lại ví dụ 2 ở mục 4.4.2 
Chương IV 
- 95 - 
4.6 HÀM TRUYỀN ĐẠT 
4.6.1 Định nghĩa hàm truyền đạt 
Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến là 
Y(t) = x(t) * h(t) 
ở đây x(t) là tín hiệu vào và h(t) là đáp ứng xung. Nếu hệ nhân quả và tín hiệu x(t) đưa vào hệ 
thống ở thời điểm 0t ≥ thì ta có thể áp dụng tính chất chập của phép biến đổi Laplace để có: 
Y(s) = X(s).H(s) 
Vậy, biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là tích của biến đổi Laplace của tín hiệu vào 
và đáp ứng xung. Từ đây ta có định nghĩa: 
Hàm truyền đạt của hệ thống (system transfer function) là hàm theo biến s. Khi được nhân 
với biến đổi Laplace của tín hiệu vào, hàm này sẽ tạo ra biến đổi Laplace của đáp ứng trạng 
thái 0. 
Trong một hệ thống, ứng với mỗi X(s) chỉ có duy nhất một Y(s) tương ứng. Do đó, hàm 
truyền đạt H(s) là duy nhất và là biến đổi Laplace của đáp ứng xung. Vì đáp ứng xung đặc 
trưng cho hệ trong miền thời gian nên hàm truyền đạt đặc trưng cho hệ trong miền s. 
Ta có thể viết: 
H(s) = Y(s)/X(s) 
Vậy, hàm truyền đạt cũng là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào. 
Từ hàm truyền đạt, ta có thể tính được đáp ứng trạng thái 0 rất đơn giản bằng cách: 
Tính biến đổi Laplace của tín hiệu vào, nhân với hàm truyền đạt rồi tính biến đổi Laplace 
ngược. 
4.6.2 Tính hàm truyền đạt 
Ta có thể tính hàm truyền đạt bằng cách tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung, nhưng 
muốn có đáp ứng xung ta phải giải phương trình vi phân khá phức tạp. Thực ra thì ta có thể 
tính được hàm truyền đạt mà không cần phải giải phương trình vi phân. 
1. Tính hàm truyền đạt từ phương trình hệ thống 
Phương trình vi phân của hệ tuyến tính bất biến bậc n có dạng chuẩn sau: 
∑∑
==
=+
m
0r
r
r
r
n
1k
k
k
k dt
)t(xdb
dt
)t(yda)t(y 
Các hệ số ak và br là các hằng số thực. 
Giả sử các điều kiện đầu bằng 0, tính biến đổi Laplace cho cả hai vế, ta được: 
Giải ra H(s) dạng chuẩn như sau: 
Chương IV 
- 96 - 
Ví dụ: 
Trong hệ thống điều khiển quỹ đạo tàu vũ trụ, đáp ứng y(t) của động cơ đẩy phản lực đối với 
tín hiệu kích hoạt x(t) được thể hiện trong phương trình sau: 
)t(x9
dt
)t(dx3
dt
)t(dy5.1
dt
)t(yd5.0)t(y 2
2
++−−= 
(a) Tìm hàm truyền đạt 
(b) Tìm đáp ứng xung 
2. Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ mạch điện 
Ta chuyển sơ đồ mạch thành sơ đồ biến đổi như trình bày trong mục 4.5.1, dùng các kỹ thuật 
phân tích mạch để viết các phương trình chỉ ra các mối quan hệ, từ đó rút ra hàm truyền đạt. 
Ví dụ: 
Tìm hàm truyền của mạch lọc cầu T cung cấp cho tải là điện trở Ω2 
Chương IV 
- 97 - 
3. Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ khối 
Chương IV 
- 98 - 
4.6.3 Quan hệ giữa các đặc điểm của hàm truyền đạt và đáp ứng của hệ thống 
Hàm truyền đạt của một hệ tuyến tính bất biến bậc n là: 
)s(D
)s(N
sa...sa1
sb...sbb)s(H n
n1
m
m10 =+++
+++= 
Phân tích tử số và mẫu số ra tích các thừa số, ta được: 
)s(D
)s(N
)ps)...(ps)(ps(
)zs)...(zs)(zs(
a
b)s(H
n21
m21
n
m =−−−
−−−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
ở đây zi là điểm không, pi là điểm cực và bm/an là độ lợi (gain). Qua đây ta thấy hàm hệ thống 
được đặc trưng bởi các cực, không và độ lợi. Như vậy, một hệ thống sẽ được đặc trưng bởi vị 
trí của các cực và không của hàm truyền đạt (ngoại trừ điều kiện đầu và độ lợi). 
Ta sẽ phân tích kỹ hơn về điều này. 
Biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là: 
)s)...(s(
)s)...(s(
)ps)...(ps(
)zs)...(zs(G)s(X
)s(D
)s(N)s(X).s(H)s(Y
r1
k1
n1
m1
α−α−
β−β−⋅−−
−−=== 
ở đây zi là điểm không của hàm truyền đạt, pi là điểm cực của hàm truyền đạt, iβ là điểm 
không của tín hiệu vào, iα là điểm cực của tín hiệu vào, G là một hằng số thực. 
Ta đã biết dạng của tín hiệu phụ thuộc vào các điểm cực. Do đó, trong đáp ứng trạng thái 0, 
sẽ có những thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của tín hiệu vào và sẽ có những 
thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của hàm truyền đạt. 
Ta tính biến đổi Laplace hai vế của phương trình hệ thống sau: 
∑∑
==
=+
m
0r
r
r
r
n
1k
k
k
k dt
)t(xdb
dt
)t(yda)t(y 
với điều kiện đầu khác 0. Kết quả là: 
∑∑
==
=++
m
0r
r
r
n
1k
k
k )s(Xsb)s(I)s(Ysa)s(Y 
ở đây I(s) là một đa thức theo s có các hệ số là hằng số, được tạo ra do biến đổi Laplace của 
đạo hàm của y(t) với điều kiện đầu khác 0. 
Ta có thể viết lại Y(s) dưới dạng: 
)s(D
)s(I)s(X
)s(D
)s(N)s(Y += 
Y(s) chính là biến đổi Laplace của tín hiệu ra. Ta thấy Y(s) là tổng của hai số hạng: 
- Số hạng thứ nhất là biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0. 
- Số hạng thứ hai là biến đổi Laplace của đầu ra khi điều kiện đầu khác 0 và tín hiệu vào 
bằng 0, tức đây chính là đáp ứng đầu vào 0. Dạng của các thành phần của đáp ứng đầu vào 0 
phụ thuộc vào điểm cực của hàm truyền đạt. Tử số của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng 
gì đến đáp ứng đầu vào không, do đó điểm không của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng gì 
đến đáp ứng đầu vào 0. 
Chương IV 
- 99 - 
4.6.4 Sử dụng hàm truyền đạt xác định tính ổn định và đáp ứng tần số của hệ thống 
Đôi khi ta có thể phân tích và thiết kế hệ thống trực tiếp từ hàm truyền đạt mà không cần phải 
đưa một tín hiệu cụ thể vào hệ thống. Ví dụ như, việc hiệu chỉnh hệ thống điều khiển thường 
được thực hiện bằng cách đưa thêm các thành phần vào trong hệ thống để làm thay đổi vị trí 
của các điểm cực và điểm không của hàm truyền đạt. Do đó ta tạo ra được sự thay đổi mong 
muốn trong các đặc điểm về sự dao động và suy giảm của hệ thống. Một ví dụ khác, ta có thể 
đánh giá sự ổn định của hệ thống dựa vào hàm truyền đạt mà không cần tìm tín hiệu ra. Hay 
như một ví dụ khác nữa, ta có thể xác định đáp ứng tần số của hệ thống từ hàm truyền đạt mà 
không cần thực hiện phân tích riêng trong miền tần số. 
1. Tính ổn định của hệ thống 
Trong hầu hết các trường hợp, ta đều cần một hệ thống tạo ra tín hiệu ra bị chặn với tín hiệu 
vào bị chặn. Nghĩa là, hệ phải có tính chất ổn định BIBO. 
Ta có thể xác định được hệ thống có ổn định BIBO hay không dựa vào hàm truyền đạt qua 
hai điều kiện. 
Điều kiện 1: 
Bậc của tử số của hàm truyền đạt không được lớn hơn bậc của mẫu số của hàm truyền đạt. 
Ta xét hàm truyền đạt có bậc của tử lớn hơn k so với bậc của mẫu. Chia tử cho mẫu ta được: 
)s(D
)s(NCsC...sC
)s(D
)s(N)s(H 101
k
k ++++== 
ở đây bậc của N1(s) nhỏ hơn bậc của D(s). Nếu cho tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị (tín hiệu 
bị chặn) thì biến đổi Laplace của tín hiệu ra là: 
)s(sD
)s(N
s
CC...sC)s(H
s
1)s(Y 101
1k
k ++++== − 
Giả sử N1(s)/sD(s) tương ứng với một tín hiệu bị chặn y1(t) nào đó, thì 
Trong y(t), thành phần trong dấu ngoặc vuông sau bị chặn nhưng thành phần trong dấu ngoặc 
vuông trước là không bị chặn. 
Vì ta tìm được một tín hiệu ra không bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn với k > 0 nên hệ không 
ổn định BIBO với k > 0. 
Như vậy, bậc của tử không lớn hơn bậc của mẫu là một điều kiện cho hệ ổn định. 
Điều kiện 2: 
Các điểm cực của hàm truyền đạt phải nằm bên trái trong mặt phẳng s, tức điểm cực là 
ω±γ−= jp với 0>γ . 
Như đã trình bày trong mục 4.3.4 về sự liên quan giữa điểm cực và dạng tín hiệu, nếu hàm 
truyền đạt H(s) chỉ có các điểm cực đơn thì đáp ứng xung h(t) có dạng: 
)t(uAe)t(h t1
γ−= 
hoặc )t(u)tsin(Be)t(h t2 ω= γ− 
[ ])t(y)t(uC)t(C...
dt
)t(dC)t(y 1011k
1k
k ++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ δ++δ= −
−
Chương IV 
- 100 - 
hoặc )t(u)tcos(Ce)t(h t3 ω= γ− 
Ta thấy các đáp ứng này bị chặn nếu 0≥γ . 
Nếu H(s) có các điểm cực bội thì: 
)t(ue)t(f)t(h t11
γ−= 
hoặc )t(u)tsin(e)t(f)t(h t22 ω= γ− 
hoặc )t(u)tcos(e)t(f)t(h t33 ω= γ− 
Ta thấy các đáp ứng này bị chặn nếu 0>γ . 
Bây giờ ta xét tín hiệu vào bị chặn và không có điểm cực nào trùng với điểm cực của hàm 
truyền đạt. Kết quả là các thành phần của tín hiệu ra phụ thuộc vào các điểm cực của tín hiệu 
vào sẽ có cùng dạng với các thành phần của tín hiệu vào. Các thành phần này bị chặn do tín 
hiệu vào bị chặn. Còn các thành phần của tín hiệu ra phụ thuộc vào các điểm cực của hàm 
truyền đạt thì bị chặn nếu 0≥γ cho trường hợp điểm cực đơn và nếu 0>γ cho trường hợp 
điểm cực bội. 
Tiếp đến ta xét tín hiệu vào bị chặn và có một điểm cực trùng với một điểm cực của hàm 
truyền đạt. Tín hiệu ra lúc này sẽ có một điểm cực bội tại vị trí của điểm cực chung. Do đó 
tín hiệu ra chỉ bị chặn nếu điểm cực của hàm truyền đạt có 0>γ . 
Với hai tín hiệu đã trình bày trên, ta thấy hệ thống sẽ tạo ra tín hiệu ra bị chặn với mọi tín 
hiệu vào bị chặn nếu 0>γ . Điều này có nghĩa là các cực của hàm truyền đạt nằm bên trái 
của mặt phẳng s là điều kiện cho hệ ổn định BIBO. 
Nếu hệ thống có hàm truyền đạt có các cực nằm bên trái mặt phẳng s và các cực đơn nằm 
trên trục ảo, ta nói hệ ở ranh giới ổn định. Hệ này sẽ tạo ra tín hiệu ra bị chặn với tất cả tín 
hiệu vào bị chặn ngoại trừ tín hiệu vào có điểm cực cũng nằm trên trục ảo ở cùng vị trí với 
một điểm cực của hàm truyền đạt. 
Cuối cùng, hệ thống có điểm cực nằm bên phải mặt phẳng s hay các cực bội nằm trên trục ảo 
thì sẽ không ổn định. Vì các thành phần của tín hiệu ra phụ thuộc vào các điểm cực này luôn 
luôn không bị chặn. 
Điều kiện tương đương: 
Điều kiện tương đương với điều kiện thứ 2 là hệ sẽ ổn định BIBO nếu đáp ứng xung của hệ 
khả tích tuyệt đối. 
2. Đáp ứng tần số của hệ thống 
Ta có thể tìm được đáp ứng tần số của hệ tuyến tính bất biến nhân quả từ hàm truyền đạt, nếu 
đáp ứng tần số tồn tại. 
Để làm được điều này, ta thay s bằng f2j π trong hàm truyền đạt: 
{ } dte)t(hdte)t(h)t(hLT)f(H ft2j
0
ft2j
f2js
∫∫ ∞
∞−
π−
∞
π−
π=
===
−
Vì h(t) = 0 với t < 0. 
Đáp ứng tần số tồn tại nếu tích phân trên hội tụ, nghĩa là nếu miền hội tụ của hàm truyền đạt 
có chứa giá trị f2js π= với mọi f. Nói cách khác, đáp ứng tần số tồn tại nếu miền hội tụ có 
Chương IV 
- 101 - 
chứa trục ảo: ω+=π+= j0f2j0s . Miền hội tụ có chứa trục ảo nếu không có điểm cực nào 
của H(s) nằm bên phải mặt phẳng s. Do đó, đáp ứng tần số tồn tại nếu hệ ổn định BIBO. 
Đáp ứng tần số là hàm truyền đạt tính trên trục ảo trong mặt phẳng s.