Giáo trình Tín hiệu hệ thống - Chương 3: Phân tích tần số cho tín hiệu và hệ thống

ịnh BIBO là luôn luôn tồn tại. 
Ta có thể viết lại quan hệ trên như sau: 
H(f) = Y(f)/X(f) 
Vậy, đáp ứng tần số chính là tỷ số của phổ tín hiệu ra và phổ tín hiệu vào. 
Chuyển sang miền thời gian, dùng tính chất chập ta được: 
y(t) = x(t)*h(t) 
Vậy, 
H(f) = FT {h(t)} 
Đáp ứng tần số chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung. 
3.4.2 Các đặc trưng của hệ thống theo tần số 
Nếu ta biết đáp ứng tần số của hệ thống, ta hoàn toàn có thể xác định được ảnh hưởng của hệ 
thống lên tín hiệu khi tín hiệu truyền qua hệ thống. Việc xét ảnh hưởng này được thực hiện 
dựa vào các đặc trưng của hệ thống theo tần số, như là đáp ứng biên độ, đáp ứng pha, băng 
thông của hệ thống, trễ pha, trễ nhóm. 
1. Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha 
Đáp ứng tần số là biến đổi Fourier của đáp ứng xung, do đó đáp ứng tần số là một hàm phức 
theo tần số và có thể biểu diễn dưới dạng biên độ và pha như sau: 
{ } )f(Hjft2j e|)f(H|dte)t(h)t(hFT)f(H ∠∞
∞−
π− === ∫ 
Từ định nghĩa đáp ứng tần số Y(f) = X(f).H(f), viết lại theo biên độ và pha, ta có: 
)f(Hj)f(Xj)f(Yj e|)f(H|e|)f(X|e|)f(Y| ∠∠∠ = 
Từ đây ta suy ra: 
Chương III 
- 62 - 
)f(H)f(X)f(Y
|)f(H|.|)f(X||)f(Y|
∠+∠=∠
=
Do |H(f)| chỉ ra liên quan giữa phổ biên độ tín hiệu ra với phổ biên độ tín hiệu vào nên ta gọi 
|H(f)| là đáp ứng biên độ của hệ thống (system amplitude response). Cũng như vậy, 
)f(H∠ được gọi là đáp ứng pha của hệ thống (system phase response) vì nó chỉ ra liên quan 
giữa phổ pha của tín hiệu ra với phổ pha của tín hiệu vào. 
Để xác định phổ của tín hiệu ra, ta có thể chập tín hiệu vào với đáp ứng xung, sau đó tính 
biến đổi Fourier của tín hiệu ra. Công việc trên sẽ đơn giản hơn nhiều nếu được thực hiện 
trong miền tần số, vì chỉ cần làm phép nhân phổ tín hiệu vào với đáp ứng tần số. 
Ví dụ: 
Cho hệ thống có đáp ứng tần số là: 
⎩⎨
⎧
≠
<−=
f0
5|f|5/|f|1
)f(H 
Tìm phổ Y(f) của tín hiệu ra và tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là: 
)t6cos(4)t4cos(3)t(x π+π= 
Chương III 
- 63 - 
Trường hợp tín hiệu vào là tín hiệu sin, tín hiệu ra sẽ có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ có 
biên độ và pha là khác đi. Sự khác đi về biên độ và pha đó có thể xác định trực tiếp từ đáp 
ứng biên độ và đáp ứng pha. Cụ thể là: 
[ ])f(Htf2cos|)f(H|.|X|)t(y
)tf2cos(|X|)t(x
111
1
∠+θ+π=
θ+π=
Chương III 
- 64 - 
Ta thường gọi đáp ứng biên độ và đáp ứng pha tại một tần số nào đó là độ lợi (gain) và độ 
dịch pha (phase shift) của hệ thống tại tần số đó. 
Từ đây ta có thể mở rộng ra cho trường hợp tín hiệu vào có dạng tổng của các tín hiệu sin. 
Trong trường hợp này, ta tìm tín hiệu ra đơn giản bằng cách tìm tín hiệu ra ứng với từng tín 
hiệu sin thành phần, sau đó cộng các tín hiệu ra thành phần lại với nhau. Tín hiệu ra thành 
phần được tính rất đơn giản dựa vào độ lợi và dịch pha của hệ thống. 
Hầu hết hệ thống đều có đáp ứng xung là hàm thực. Do đó đáp ứng biên độ là hàm chẵn và 
đáp ứng pha là hàm lẻ: 
)f(H)f(H
|)f(H||)f(H|
−∠=−∠
=−
Nếu hệ thống nhân quả thì h(t) = 0 khi t < 0. Do đó h(t) không chẵn và cũng không lẻ, H(f) 
có cả phần thực và phần ảo khác 0. Do đó, dịch pha của hệ thống không thể bằng 0 trên toàn 
trục tần số, ngoại trừ trường hợp giá trị đầu ra là G lần giá trị đầu vào với G là hằng số. 
Trong trường hợp này, 
)t(.G)t(h δ= 
Hệ thống như thế này không thể thực hiện được về mặt vật lý. 
2. Băng thông của hệ thống 
Ta định nghĩa băng thông của hệ thống giống như định nghĩa băng thông của tín hiệu: 
Băng thông của hệ thống liên tục (system bandwidth) là sai khác giữa hai tần số dương sao 
cho trong khoảng đó đáp ứng biên độ lớn hơn hay bằng α lần đáp ứng biên độ cực đại. Hệ số 
α được chọn tùy ý dựa vào ứng dụng. Tần số fc mà tại đó maxc |)f(H||)f(H| α= được gọi là 
tần số cắt (cutoff frequency). 
Thường chọn 707.0
2
1 ≈=α băng thông tương ứng được gọi là băng thông -3dB và tần số 
cắt tương ứng được gọi là tần số cắt -3dB. 
Tùy theo băng thông của hệ thống mà ta gọi hệ thống là thông thấp, thông cao, thông dải hay 
chắn dải. Hệ được gọi là thông thấp (lowpass system) nếu băng thông chứa các tần số thấp 
hơn tần số cắt, được gọi là thông cao (highpass system) nếu băng thông chứa các tần số cao 
hơn tần số cắt, được gọi là thông dải (bandpass system) nếu băng thông chứa các tần số nằm 
trong một dải tần từ f1 đến f2, được gọi là chắn dải (stopband system) nếu băng thông loại trừ 
đi một dải tần từ f1 đến f2. 
Ví dụ: 
Cho mạch lọc RC sau: 
Chương III 
- 65 - 
(a) Tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là: 
)t12cos(4)t4cos(4)t(x π+π= 
Số hạng đầu là tín hiệu đơn tần chứa thông tin, số hạng sau là tín hiệu giao thoa thêm vào. 
(b) Xác định băng thông -3dB. Đây là mạch lọc loại gì? 
Chương III 
- 66 - 
3. Trễ pha của hệ thống 
Đáp ứng tần số cung cấp cho ta thông tin rất hữu ích cho việc xác định thời gian trễ của tín 
hiệu truyền qua hệ thống. Lý do là vì thời gian trễ của một tín hiệu sin phụ thuộc vào độ dịch 
pha của hệ thống như vừa xét trên. 
Trễ pha của hệ thống được định nghĩa như sau: 
Trễ pha của hệ thống (system phase delay) là thời gian một tín hiệu đơn tần phải trải qua khi 
nó đi qua hệ thống. 
Để tìm trễ pha, ta xét tín hiệu vào là tín hiệu sin: 
)tf2cos(A)t(x θ+π= 
Trễ pha tìm được là: 
f2
)f(H)f(t p π
∠−= 
Nếu đáp ứng pha có giá trị âm tại các tần số dương thì tín hiệu bị trễ đi khi truyền qua hệ 
thống, ngược lại nếu đáp ứng pha có giá trị dương tại các tần số dương thì tín hiệu được làm 
sớm khi truyền qua hệ thống. 
Nếu đáp ứng pha là một đường thẳng đi qua gốc trong một khoảng tần số nào đó thì tất cả 
các thành phần của tín hiệu trong khoảng tần số đó đều đi qua hệ thống với cùng thời gian 
trễ. 
Chương III 
- 67 - 
Ví dụ: 
Xét mạch lọc RC ở trên. Dịch pha đối với tín hiệu mang tin là: 
)rad(25.0)2(H π−=∠ 
Trễ pha đối với tín hiệu mang tin là: 
)s(16/1)2(2/)25.0()2(t p =ππ−−= 
Vậy tín hiệu mang tin tần số 2 Hz đi qua mạch lọc trên sẽ bị trễ đi một khoảng thời gian là 
1/16 (s). 
4. Trễ nhóm của hệ thống 
Để định nghĩa trễ nhóm, ta xét tín hiệu: 
)tf2cos()t(m)t(x cm π= 
ở đây m(t) là tín hiệu thông dải, tần số thấp, nằm trong khoảng c1 fff0 <≤≤ . Ta gọi tín hiệu 
xm(t) là tín hiệu điều biên, m(t) là tín hiệu mang tin và )tf2cos( cπ là sóng mang. Tần số của 
sóng mang là fc. Khi truyền tín hiệu điều biên qua hệ thống, thì tín hiệu này sẽ bị trễ đi một 
khoảng thời gian nào đó. Do tín hiệu điều biên có chứa một nhóm tần số bao quanh tần số 
sóng mang nên thời gian trễ này được gọi là trễ nhóm. Vậy ta có định nghĩa trễ nhóm như 
sau: 
Trễ nhóm của hệ thống (system group delay) là khoảng thời gian trễ của một tín hiệu điều 
biên sóng mang cosine khi nó đi qua hệ thống. 
Chương III 
- 68 - 
3.4.3 Xác định đáp ứng tần số 
Ta đã thấy đáp ứng tần số rất hiệu quả trong việc xác định các đặc điểm của hệ thống và tính 
phổ của tín hiệu ra, do đó, ta cần tính được đáp ứng tần số. 
Một trong các cách tính đáp ứng tần số là giải phương trình vi phân của hệ thống với điều 
kiện đầu bằng 0 và đầu vào là tín hiệu xung để tìm đáp ứng xung. Sau đó ta tính biến đổi 
Fourier của đáp ứng xung. Tuy nhiên, cách này phức tạp do phải giải phương trình vi phân. 
Sau đây ta sẽ xét hai cách khác không cần đến giải phương trình vi phân. 
1. Xác định đáp ứng tần số từ phương trình vi phân 
Ta có phương trình vi phân biểu diễn hệ tuyến tính bất biến có dạng tổng quát là: 
∑∑
==
=
M
1r
r
r
r
N
1k
k
k
k dt
)t(xdb
dt
)t(yda 
Tính biến đổi Fourier hai vế, áp dụng tính chất tuyến tính và đạo hàm, ta được: 
∑
∑
∑∑
=
=
==
π
π
==⇒
π=π
N
1k
k
k
M
1r
r
r
M
1r
r
r
N
1k
k
k
)f2j(a
)f2j(b
)f(X
)f(Y)f(H
)f(X)f2j(b)f(Y)f2j(a
Ví dụ: 
Tìm đáp ứng tần số của mạch lọc RC 
Chương III 
- 69 - 
2. Xác định đáp ứng tần số từ phasor của tín hiệu vào và ra 
Ta biết đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến đối với một tín hiệu vào dạng sin sẽ là một 
tín hiệu có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ khác về biên độ và pha. Điều này gợi ý cho ta 
một cách tính đáp ứng tần số của hệ thống dựa vào đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào dạng 
sin có tần số f nào đó. Bài toán liên quan đến hệ tuyến tính và tín hiệu vào dạng sin có thể 
giải quyết dễ dàng nếu dùng cách biểu diễn phasor. 
Giả sử tín hiệu vào là: 
)Xtf2cos(|X|)t(x 1 ∠+π= 
Tín hiệu ra tương ứng là: 
)Ytf2cos(|Y|)t(y 1 ∠+π= 
Biểu diễn phasor hai tín hiệu trên là: 
Yj
f
Xj
f
e|Y|Y
e|X|X
1
1
∠
∠
=
=
Chương III 
- 70 - 
Đáp ứng tần số là: 
f
f
X
Y)f(H = 
với Yf và Xf là phasor của tín hiệu ra và vào. 
Vậy ta có thể xác định đáp ứng tần số của hệ thống bằng cách tính tỷ số của phasor của tín 
hiệu sin ra trên phasor của tín hiệu sin vào ở tất cả các tần số. 
Để tìm tỷ số này, ta phải biểu diễn tín hiệu sin và các phép toán trong hệ thống dưới dạng 
phasor. Các phép toán trong hệ thống gồm có cộng, nhân với hằng số, đạo hàm và tích phân. 
Phasor tương ứng với các phép toán này được trình bày trong bảng sau: 
Phép toán Miền thời gian Phasor 
 Cộng w(t) + z(t) Wf + Zf 
Nhân với hằng số bw(t) bWf 
 Đạo hàm 
dt
)t(dw fWf2j π 
 Tích phân ∫ dt)t(w f2jWfπ 
Trường hợp hệ thống được biểu diễn bằng sơ đồ khối, trước hết ta phải thay đổi tất cả tín 
hiệu và các phép toán trong hệ thống bằng biểu diễn dạng phasor, sau đó tính đáp ứng tần số 
như trên. 
Ví dụ: 
Tìm đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển nhiệt độ có hồi tiếp sau: 
Chương III 
- 71 - 
Chương III 
- 72 - 
Ta tính được trễ nhóm là: 
df
)f(Hd
2
1)f(t g
∠
π−= 
Như vậy, trễ nhóm tỷ lệ với âm của độ dốc của đáp ứng pha tại tần số sóng mang. 
Trong hầu hết các trường hợp thì đáp ứng pha là một đường cong. Điều này nghĩa là độ dốc 
của đáp ứng pha không phải là một hằng số trong khoảng tần số của tín hiệu điều chế. Do đó, 
tín hiệu điều chế sẽ bị méo cũng như bị trễ thời gian. Độ méo sẽ nhỏ nếu f∆ đủ nhỏ để cho 
độ dốc của đáp ứng pha gần bằng hằng số trong khoảng f- f∆ đến f+ f∆ . 
Ví dụ: 
Tìm trễ nhóm của mạch lọc thông thấp RC đối với tần số: 
(a) RC2/1f π= 
(b) RC/1f π=