Giáo trình MATLAB cơ bản - Chương 2: Sử dụng Symbolic Math Toolbox

 u v x y 
syms u v x y 
S = solve(x+2*yu, 4*x+5*yv); 
sol = [S.x;S.y] 
và: 
A = [1 2; 4 5]; 
b = [u; v]; 
z = A\b 
cho: 
sol = 
[ -5/3*u+2/3*v] 
[ 4/3*u-1/3*v] 
z = 
[-5/3*u+2/3*v] 
[ 4/3*u-1/3*v] 
Nh− vậy ta có cùng một nghiệm cho dù ph−ơng pháp giải khác nhau. 
3. Giải ph−ơng trình vi phân:Hàm dsolve tính nghiệm bằng chữ của ph−ơng trình vi phân 
th−ờng.Các ph−ơng trình đ−ợc mô tả bằng các biểu thức chữ chứa các chữ cái D đẻ chỉ các đạo 
hàm.Kí hiệu D2,D3,. . ,Dn t−ơng ứng với đạo hàm cấp 1,cấp 2,..,cấp n.Nh− vậy D2y trong 
62
Symbolic Math Toolbox là 
2
2
dx
yd
. Biến phụ thuộc là biến đ−ợc xử lí bởi D và biến độc lập mặc 
định là t.Nh− vậy tên các biến kí tự không đ−ợc có D.Có thể dùng biến đọc lập khác bằng cách 
chỉ ra nó nh− là thông số cuối cùng trong lệnh dsolve.Điều kiện đầu có thể mô tả nh− là một 
ph−ơng trình phụ.Nếu điều kiện đầu không có,nghiệm sẽ chứa các hằng số tích phân C1,C2 
v.v.Cú pháp của dsolve đ−ợc mô tả trong bảng sau: 
Cú pháp Phạm vi 
y = dsolve(‘Dyt = y0*y’) Một ph−ơng trình ,một nghiệm 
[u,v] = dsolve('Du = v', 'Dv = u') Hai ph−ơng trình,hai nghiệm 
S = dsolve('Df=g','Dg=h','Dh=–f') 
S.f, S.g, S.h 
Ba ph−ơng trình,ra là cấu trúc 
Nghiệm 
1. Ví dụ 1:Ta dùng lệnh: 
dsolve('Dy=1+y^2') 
và có kết quả: 
ans = 
tan(t-C1) 
Để mô ta điều kiện đầu,ta dùng: 
y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1') 
và có: 
y = 
tan(t+1/4*pi) 
Chú ý là y ở trong vùng làm việc của MATLAB nh−ng biến độc lập t thì không.Nh− vậy lệnh 
diff(y,t) gây ra lỗi.Để đặt t vào vùng làm việc của MATLAB phải dùng syms t 
2. Ví dụ 2:Các ph−ơng trình phi tuyến có thể có nhiều nghiệm,thậm chí ngay cả khi đã cho điều 
kiện đầu. 
x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0') 
cho kết quả: 
x = 
[-sin(t)] 
[ sin(t)] 
3. Ví dụ 3:Đây là một ph−ơng trình bậc 2 với 2 điều kiện đầu.lệnh: 
y = simplify(dsolve('D2y=cos(2*x)y','y(0)=1','Dy(0)=0', 'x')) 
tạo ra: 
y = 
-2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x) 
Để giải ph−ơng trình : 
π=′′=′=
=
)0(u,1)0(u,1)0(u
u
dx
ud
3
3
ta dùng các lệnh sau: 
u = dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)=1','D2u(0) = pi','x') 
4. Hệ ph−ơng trình vi phân:Hàm dsolve có thể xử lí hệ ph−ơng trình vi phân.có hay không có 
điều kiện đầu.Ví dụ ta có hệ ph−ơng trình: 
63
 y’=3f + 4g 
 g’ = -4f + 3g 
Để giải hệ ta dùng lệnh: 
S = dsolve('Df = 3*f+4*g', 'Dg = 4*f+3*g') 
Nghiệm đ−ợc tính và trả về d−ới dạng cấu trúc S: 
S = 
 f: [1x1 sym] 
 g: [1x1 sym] 
Ta có thể xác định giá trị của f và g bằng lệnh: 
f = S.f 
f = 
 exp(3*t)*(cos(4*t)*C1+sin(4*t)*C2) 
g = S.g 
g = 
 -exp(3*t)*(sin(4*t)*C1-cos(4*t)*C2) 
Nếu ta cho cả điều kiện đầu thì viết: 
[f,g] = dsolve('Df=3*f+4*g, Dg =4*f+3*g', 'f(0) = 0, g(0) = 1') 
f = 
exp(3*t)*sin(4*t) 
g = 
exp(3*t)*cos(4*t) 
Bảng sau mô tả một vài ví dụ và cú pháp của Symbolic Math Toolbox. 
64
Ph−ơng trình vi phân Lệnh MATLAB 
1)0(y
e)t(y4
dt
dy t
=
=+ − 
y = dsolve('Dy+4*y = exp(-t)','y(0) = 1') 
0)(y,0)0(y
e)x(y4
dx
yd x2
2
2
=π=
=+ − 
y = dsolve('D2y+4*y = exp(-2*x)', 'y(0)=0', 'y(pi) = 
0', 'x') 
)32(K
1
)3(y,0)0(y
)x(xy
dx
yd
3
1
2
2
π==
=
(ph−ơng trình Airy) 
y = dsolve('D2y = x*y','y(0) = 0', 
'y(3) = besselk(1/3, 2*sqrt(3))/pi', 
'x') 
Đ7. Biến đổi tích phân 
1. Biến đổi Fourier và Fourier ng−ợc: 
 a. Biến đổi Fourier:Biến đổi Fourier dùng đê biến dổi ph−ơng trình vi phân thành 
ph−ơng trình đại số.Cú pháp: 
F = fourier(f) 
 F = fourier(f,v) 
 F = fourier(f,v,u) 
F = fourier(f) là dạng biến đổi Fourier của biến kí tự vô h−ớng f với biến độc lập mặc 
định là x.Kết quả trả về mặc định là hàm theo w.Biến đổi Fourier thực hiện trên hàm của x và 
trả về hàm của w: 
 f = f(x) ⇒ F = F(w) 
Nếu f = f(t) thì biến đổi trả về F = F(t).Hàm F(w) đ−ợc định nghĩa: 
∫
∞
∞−
−= dxe)x(f)w(F iwx 
F = fourier(f,v) làm cho F là hàm của v thay vì của w.Trong đó: 
∫
∞
∞−
−= dxe)x(f)v(F ivx 
F = fourier(f,v,u) làm cho f là hàm của u và F là hàm của v thay cho biến mặc định x và 
w: 
∫
∞
∞−
−= due)u(f)v(F ivu 
Ta có thể xem các biến đổi Fourier trong bảng sau: 
65
Biến đổi Fourier Lệnh MATLAB 
2xe)x(f −= 
∫
∞
∞−
−− π== 4/wiwx 2edxe)x(f)w](f[F 
f = exp(-x^2) 
fourier(f) cho: 
pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2) 
we)w(g −= 
∫
∞
∞−
−
+== 2
iwt
t1
2
dte)w(g)t](g[F 
g = exp(-abs(w)) 
fourier(g) cho 
2/(1+t^2) 
|x|xe)x(f −= 
∫
∞
∞−
−
+−== u22
ixu
)u1(
i4
dxe)x(f)u](f[F
f = x*exp(-abs(x)) 
f = x*exp(-abs(x)) cho 
-4*i/(1+u^2)^2*u 
 b. Biến đổi Fourier ng−ợc:Khi biết hàm ảnh Fourier dùng biến đổi Fourier ng−ợc ta tìm 
đ−ợc hàm gốc.Cú pháp: 
f = ifourier(F) 
f = ifourier(F,u) 
f = ifourier(F,v,u) 
f = ifourier(F) là biến đổi Fourier ng−ợc của một đối t−ợng kí tự vô h−ớng F với biến 
mặc định là w.Kết quả là hàm của x: 
F = F(w) ⇒ f = f(x) 
Nếu F = F(x) , ifourier trả lại hàm của t f = f(t).Trong đó: 
∫
∞
∞−π
= dwe)w(F
2
1
)x(f iwx 
f = ifourier(F,u) làm cho f thành hàm của u thay ví của biến mặc định x.Trong đó: 
∫
∞
∞−π
= dwe)w(F
2
1
)u(f iwu 
f = ifourier(F,v,u) coi F là hàm của v và f là hàm của u thay cho accs biến mặc định w và 
x. 
∫
∞
∞−π
= dve)u(F
2
1
)u(f ivu 
Biến đổi Fourier ng−ợc Lệnh MATLAB 
2
2
a4
w
e)w(f = 
2)ax(iwx1 e
a
dwe)w(f)x](f[F −
∞
∞−
− ∫ π==
|x|e)x(g −=
syms a real 
f = exp(-w^2/(4*a^2)) 
F = ifourier(f) 
F = simple(F) cho 
ha*exp(-x^2*a^2)/pi^(1/2) 
g = exp(-abs(x)) 
66
|x|e)x(g −= 
∫
∞
∞−
−
+
π==
2
itx1
t1
dxe)x(g)t](g[F 
ifourier(g) cho 
1/(1+t^2)/pi 
1e2)w(f |w| −= − 
)t1(
)t1)(t(2
dwe)w(f)t](f[F
2
iwt1
+π
−πδ−
== ∫
∞
∞−
−
f = 2*exp(-abs(w)) - 1 
simple(ifourier(f,t)) cho 
(2-pi*Dirac(t)-pi*Dirac(t)*t^2)/ 
(pi+pi*t^2) 
2. Biến đổi Laplace và Laplace ng−ợc: 
 a. Biến đổi Laplace:Biến đổi Laplace dùng biến đổi ph−ơng trình vi phân thành ph−ơng 
trình đại số.Cú pháp: 
laplace(F) 
laplace(F,t) 
laplace(F,w,z) 
L = laplace(F) là biến đổi Laplace của hàm kí tự vô h−ớng F với biến độc lập t.Mặc định 
trả lại là hàm của s.Biến đổi Laplace đ−ợc áp dụng cho hàm của t và trả lại hàm của s. 
F = F(t) ⇒ L = L(s) 
Nếu F = F(s) Laplace trả lại hàm của t.Trong đó: 
∫
∞
−=
0
stdte)t(F)s(L 
L = laplace(F,t) làm cho L thành hàm của t thay cho biến mặc định s. 
∫
∞
−=
0
txdxe)x(F)t(L 
L = laplace(F,w,z) làm cho L thành hàm của z và F là hàm của t thay cho các biến mặc định s 
và t. 
 ∫
∞
−=
0
zwdwe)w(F)z(L 
Biến đổi Laplace Lệnh MATLAB 
4t)t(f = 
∫
∞
− ==
0
5
st
s
24
dte)t(F]f[L 
f = t^4 
laplace(f) cho 
24/s^5 
s
1
)s(g = 
∫
∞
− π==
0
st
s
dse)s(g)t](g[L 
g = 1/sqrt(s) 
laplace(g) cho 
1/(s^(1/2))*pi^(1/2) 
ate)t(f −= f = exp(-a*t) 
laplace(f) cho 
67
∫
∞
−
+== 0
tx
ax
1
dte)t(f)x](f[L 
1/(x+a) 
 b. Biến đổi Laplace ng−ợc:Khi có ảnh của hàm,ta có thể tìm lại hàm gốc bằng biến đổi 
Laplace ng−ợc.Cú pháp: 
F = ilaplace(L) 
F = ilaplace(L,y) 
F = ilaplace(L,y,x) 
F = ilaplace(L) là biến đổi Laplace ng−ợc của một đối t−ợng kí tự vô h−ớng L với biến mặc định 
là s.Trả về mặc định là hàm của t. 
 L = L(s) ⇒ F = F(t) 
Nếu L = L(t), ilaplace trả về hàm của x. 
 ∫
∞+
∞−
=
ic
ic
stdse)s(L)t(F 
F = ilaplace(L,y) làm cho F là hàm của y thay cho biến mặc định t. 
 ∫
∞+
∞−
=
ic
ic
sydse)y(L)y(F 
F = ilaplace(L,y,x) coi F là hàm của x và L là hàm của y thay cho biến mặc định t và s. 
 ∫
∞+
∞−
=
ic
ic
xydye)y(L)x(F 
Biến đổi Laplace ng−ợc Lệnh MATLAB 
2s
1
)s(f = 
∫
∞+
∞−
− =π=
ic
ic
st1 tdse)s(f
i2
1
]f[L 
f = 1/s^2 
ilaplace(f) cho 
t 
at
1
)t(g −= 
∫
∞+
∞−
− =π=
ic
ic
axxt1 xedte)t(g
i2
1
]g[L 
g = 1/(t-a) 
ilaplace(g) cho 
x*exp(a*x) 
22 au
1
)u(f −= 
ax
ic
ic
ax
xu1
ae2
1
ae2
1
due)u(g
i2
1
]f[L −
∞+
∞−
− ∫ −=π=
f = 1/(u^2-a^2) 
ilaplace(f) cho 
1/(2*a*exp(a*x))-1/(2*a*exp(-a*x)) 
3. Biến đổi z và z ng−ợc: 
a. Biến đổi z:Thực hiện phép biến đổi z trên hệ thống rời rạc để đ−a ph−ơng trình vi phân 
về ph−ơng trình đại số.Cú pháp: 
F = ztrans(f) 
68
F = ztrans(f,w) 
F = ztrans(f,k,w) 
F = ztrans(f) là phép biến đổi z của kí hiệu vô h−ớng f với biến độc lập mặc định n.Mặc định trả 
về hàm của z.Biến đổi z đ−ợc định nghĩa: 
∑∞=
0
nz
)n(f
)z(F 
Trong đó n là biến kí hiệu của f.Nếu f = f(z) thì ztrans trả về hàm của w F = F(w). 
F = ztrans(f,w) làm cho f thành hàm của w thay cho biến mặc định z. 
 ∑∞=
0
nw
)n(f
)w(F 
F = ztrans(f,k,w) coi f là hàm của k 
∑∞=
0
nk
)k(f
)w(F 
Biến đổi z Lệnh MATLAB 
4n)n(f = 
5
23
0n
n
)1z(
)1z11z11z(z
z)n(f]f[Z −
+++== ∑∞
=
−
f = n^4 
ztrans(f) cho 
z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5 
za)z(g = 
wa
w
w)z(g]g[Z
0z
z
−−== ∑
∞
=
− 
g = a^z 
ztrans(g) cho 
-w/(a-w) 
ansin)n(f = 
2
0n
n
wacosw21
asinw
w)n(f]f[Z +−== ∑
∞
=
− 
f = sin(a*n) 
ztrans(f) 
w*sin(a)/(1-2*w*cos(a)+w^2) 
 b. Biến đổi z ng−ợc:Khi có ảnh của biến đổi z ta có thể tìm lại gốc của nó nhờ biến đổi z 
ng−ợc.Cú pháp: 
f = iztrans(F) 
f = iztrans(F,k) 
f = iztrans(F,w,k) 
f = iztrans(F) là biến đổi z ng−ợc của đối t−ợng kí hiệu F với biến độc lập z.Mặc định trả về 
hàm của n: 
∫
=
− =π= R|z|
1n ,....2,1ndzz)z(F
i2
1
)n(f 
Trong đó R là số d−ơng đ−ợc chọn sao cho hàm F(z) là giải tích trên và ngoài vòng tròn | z | = 
R.Nếu F = F(n) iztrans trả về hàm của k: f = f(k). 
f = iztrans(F,k) coi f là hàm của k thay cho biến mặc định n. Trong đó k là đối t−ợng kí hiệu vô 
h−ớng. 
f = iztrans(F,w,k) coi F là hàm của w thay vì của biến mặc định. 
Biến đổi z ng−ợc Lệnh MATLAB 
69
2)2z(
z2
)z(f −= 
∫
=
−− =π= R|z|
n1n1 2ndzz)s(f
i2
1
]f[Z 
f = 2*z/(z-2)^2 
iztrans(f) cho 
n*2^n 
1n2n
)1n(n
)n(g
2 ++
+= 
k
R|z|
1k1 1dnn)n(g
i2
1
]f[Z −=π= ∫=
−− 
g = n*(n-1)/(n^2+2*n+1) 
iztrans(g) cho 
(-1)^k 
az
z
)z(f −= 
∫
=
−− =π= R|z|
k1k1 adzz)z(f
i2
1
]f[Z 
f = z/(z-a) 
iztrans(f) cho 
a^k 
z2z2
z
exe2x
)ex(x
)z,x(f +−
−= 
∫
=
−− =π= R|x|
kz1k1 edxz)z,x(f
i2
1
]f[Z 
f = x*(x-exp(z))/(x^2-2*x*exp(z) + exp(2*z)) 
iztrans(f) cho 
exp(z)^k