Giáo trình MATLAB cơ bản - Chương 1: MATLAB cơ bản

µm contour(z,n) vµ contour(z,v) cho phÐp ta chØ râ sè l−îng møc contour hay mét møc 
contour cÇn vÏ nµo ®ã víi z lµ ma trËn sè liÖu, n lµ sè ®−êng contour vµ v lµ vec t¬ c¸c møc 
contour. MATLAB kh«ng ph©n biÖt gi÷a ®¹i l−îng vec t¬ mét phÇn tö hay ®¹i l−îng v« 
h−íng. Nh− vËy nÕu v lµ vec t¬ mét phÇn tö m« t¶ mét contour ®¬n ë mét møc hµm contour 
sÏ coi nã lµ sè l−îng ®−êng contour chø kh«ng ph¶i lµ møc contour. Nh− vËy,contour(z,v) 
còng nh− contour(z,n). §Ó hiÓn thÞ mét ®−êng ®¼ng møc ta cÇn cho v lµ mét vec t¬ cã 2 phÇn 
tö víi c¶ hai phÇn tö b»ng møc mong muèn.V Ý dô ®Ó t¹o ra mét ®−êng ®¼ng møc 3D cña 
hµm peaks 
VÝ dô : 
 xrange = -3:.125:3; 
 yrange = xrange; 
 [X,Y] = meshgrid(xrange,yrange); 
21
 Z = peaks(X,Y); 
 contour3(X,Y,Z) 
§Ó hiÓn thÞ mét møc ë Z = 1, ta cho v lµ [1 1] 
 v = [1 1] 
 contour3(X,Y,Z,v) 
Hµm ginput cho phÐp ta dïng chuét hay c¸c phÝm mòi tªn ®Ó chän c¸c ®iÓm vÏ. Nã tr¶ vÒ 
to¹ ®é cña vÞ trÝ con trá. VÝ dô sau sÏ minh ho¹ c¸c dïng hµm ginput vµ hµm spline ®Ó t¹o ra 
®−êng cong néi suy hai biÕn. 
VÝ dô : Ta t¹o mét M-file cã tªn contourm.m nh− sau : 
 disp('Left mouse button picks points') 
 disp('Right mouse button picks last points') 
 axis([0 10 0 10]) 
 hold on 
 x=[]; 
 y=[]; 
 n=0; 
 but=1; 
 while but==1 
 [xi,yi,but]=ginput(1); 
 plot(xi,yi,'go') 
 n=n+1; 
 x(n,1)=xi; 
 y(n,1)=yi; 
 end 
 t=1:n; 
 ts=1:0.1:n; 
 xs=spline(t,x,ts); 
 ys=spline(t,y,ts); 
 plot(xs,ys,'c-'); 
 hold off 
§6. C¸c ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh 
1. HÖ ph−¬ng tr×nh ®Çy ®ñ:Ta xÐt hÖ ph−¬ng tr×nh Ax = B. §Ó t×m nghiÖm cña hÖ ta dïng 
lÖnh MATLAB: 
 x= inv(A)*B 
hay: 
 x = A\B 
2. HÖ ph−¬ng tr×nh cã Ýt ph−¬ng tr×nh h¬n sè Èn(underdetermined): Khi gi¶i hÖ trªn ta 
®· dïng nghÞch ®¶o ma trËn. Nh− vËy ta chØ nhËn ®−îc kÕt qu¶ khi ma trËn A vu«ng(sè 
ph−¬ng tr×nh b»ng sè Èn sè vµ ®Þnh thøc cña A ph¶i kh¸c kh«ng). HÖ cã sè ph−¬ng tr×nh Ýt 
h¬n sè Èn hay ®Þnh thøc cña ma trËn A cña hÖ ®Çy ®ñ b»ng 0 gäi lµ hÖ underdetermined. Mét 
hÖ nh− vËy cã thÓ cã v« sè nghiÖm víi mét hay nhiÒu biÕn phô thuéc vµo c¸c biÕn cßn l¹i. 
Víi mét hÖ nh− vËy ph−¬ng ph¸p Cramer hay ph−¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o kh«ng dïng 
®−îc. Khi sè ph−¬ng tr×nh nhiÒu h¬n sè Èn ph−¬ng ph¸p chia tr¸i còng cho nghiÖm víi mét 
vµi Èn sè ®−îc cho b»ng 0. Mét vÝ dô ®¬n gi¶n lµ ph−¬ng tr×nh x + 3y = 6. Ph−¬ng tr×nh nµy 
cã rÊt nhiÒu nghiÖm trong ®ã cã mét nghiÖm lµ x = 6 vµ y = 0: 
 a = [ 1 3]; 
 b = 6; 
22
 x = a\b 
 x = 
 6 
 0 
Sè nghiÖm v« h¹n cã thÓ tån t¹i ngay c¶ khi sè ph−¬ng tr×nh b»ng sè Èn. §iÒu nµy x¶y ra khi 
| A | = 0. Víi hÖ nµy ta kh«ng dïng ®−îc ph−¬ng ph¸p Cramer vµ ph−¬ng ph¸p ma trËn 
nghÞch ®¶o vµ ph−¬ng ph¸p chia tr¸i cho th«ng b¸o lµ ma trËn A suy biÕn. Trong tr−êng hîp 
nh− vËy ta cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p gi¶ nghÞch ®¶o ®Ó t×m ®−îc mét nghiÖm gäi lµ nghiÖm 
chuÈn minimum. 
VÝ dô: Cho hÖ ph−¬ng tr×nh 
 x + 2y + z = 8 
 0x + y + 0z = 2 
 x + y + z = 6 
Khi dïng phÐp chia tr¸i ta nhËn ®−îc: 
 y=a\b 
 Warning: Matrix is singular to working precision. 
y = 
 Inf 
 Inf 
 Inf 
NÕu ta dïng ph−¬ng ph¸p gi¶ nghÞch ®¶o th× cã: 
 a = [1 2 1;0 1 0;1 1 1] 
b = [8;2;6] 
 x = pinv(a)*b 
 x = 
 2.00000000000000 
 2.00000000000000 
 2.00000000000000 
Mét hÖ còng cã thÓ cã v« sè nghiÖm khi cã ®ñ sè ph−¬ng tr×nh. VÝ dô ta cã hÖ: 
 2x - 4y + 5z = -4 
 -4x -2y +3z = 4 
 2x + 6y -8z = 0 
Trong hÖ nµy ph−¬ng tr×nh thø 3 lµ tæng cña hai ph−¬ng tr×nh trªn nªn hÖ thËt sù chØ cã 2 
ph−¬ng tr×nh. Tãm l¹i mét hÖ muèn cã nghiÖm duy nhÊt ph¶i cã c¸c ph−¬ng tr×nh ®éc lËp. 
ViÖc x¸c ®Þnh c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ cã ®éc lËp hay kh«ng kh¸ khã, nhÊt lµ ®èi víi hÖ cã 
nhiÒu ph−¬ng tr×nh. Ta ®−a ra mét ph−¬ng ph¸p cho phÐp x¸c ®Þnh hÖ ph−¬ng tr×nh cã 
nghiÖm vµ liÖu nghiÖm ®ã cã duy nhÊt hay kh«ng. Ph−¬ng ph¸p nµy ®ßi hái sù hiÓu biÕt vÒ 
h¹ng cña ma trËn. 
 Ta xem xÐt ®Þnh thøc cña ma trËn sau: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
379
2106
143
NÕu ta lo¹i trõ mét hµng vµ mét cét cña ma trËn chóng ta cßn l¹i ma trËn 2×2. Tuú theo hµng 
vµ cét bÞ lo¹i ta cã 9 ma trËn con. §Þnh thøc cña c¸c ma trËn nµy gäi lµ ®Þnh thøc con. VÝ dô 
nÕu ta bá hµng 1 vµ cét 1 ta cã: 
 44
37
210 =− 
23
C¸c ®Þnh thøc con cã thÓ dïng ®Ó x¸c ®Þnh h¹ng cña ma trËn. H¹ng cña ma trËn ®−îc ®Þnh 
nghÜa nh− sau: Mét ma trËn A m×n cã h¹ng r ≥ 1 nÕu vµ chØ nÕu ®Þnh thøc cña A chøa mét 
®Þnh thøc r × r vµ mäi ®Þnh thøc con vu«ng cã r+1 hµng hay h¬n b»ng 0. 
 §Ó x¸c ®Þnh h¹ng cña ma trËn ta cã lÖnh rank 
VÝ dô: 
 a = [ 3 -4 1;6 10 2;9 -7 3]; 
 rank(a) 
 ans = 
 2 
HÖ ph−¬ng tr×nh Ax = B cã m ph−¬ng tr×nh vµ n Èn cã nghiÖm nÕu vµ chØ nÕu rank(A) = 
rank([A B]). Gäi h¹ng cña A lµ r, nÕu r = n th× nghiÖm lµ duy nhÊt. NÕu r<n th× hÖ cã v« sè 
nghiÖm vµ r Èn cã thÓ biÓu diÔn nh− lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña n-r Èn cßn l¹i mµ gi¸ trÞ cã thÓ 
chän bÊt k×. 
VÝ dô: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 
 3x - 2y + 8z = 48 
 -6x + 5y + z = -12 
 9x + 4y + 2z = 24 
Ta viÕt: 
 a = [ 3 -2 8;-6 5 1;9 4 2]; 
 b = [ 48;-12;24]; 
 rank(a) 
 ans = 
 3 
 rank([a b]) 
 ans = 
 3 
VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: 
 x = a\b 
 x = 
 2 
 -1 
 5 
VÝ dô: Gi¶i hÖ 
 2x - 4y + 5z = -4 
 -6x - 2y + 3z = 4 
 2x + 6y - 8z = 0 
Ta viÕt: 
 a = [ 2 -4 5;-6 -2 3;2 6 -8]; 
 b = [ -4;4;0]; 
 rank(a) 
 ans = 
 2 
 rank([a b]) 
 ans = 
 2 
VËy hÖ cã v« sè nghiÖm. Mét trong c¸c nghiÖm lµ: 
x=pinv(a)*b 
x = 
24
 -1.21481481481481 
 0.20740740740741 
 -0.14814814814815 
3. HÖ ph−¬ng tr×nh overdetermined: HÖ ph−¬ng tr×nh trong ®ã sè ph−¬ng tr×nh ®éc lËp 
nhiÒu h¬n sè Èn gäi lµ hÖ overdetermined. §èi víi hÖ nµy ph−¬ng ph¸p Cramer vµ ph−¬ng 
ph¸p nghÞch ®¶o ma trËn kh«ng dïng ®−îc. Tuy nhiªn mét sè hÖ cho nghiÖm ®óng x¸c ®Þnh 
b»ng phÐp chia tr¸i. §èi víi c¸c hÖ kh¸c kh«ng cã nghiÖm chÝnh x¸c. Khi r = rank(a) = 
rank([a b]) hÖ cã nghiÖm vµ nÕu r = n nghiÖm lµ duy nhÊt. Khi rank(a) ≠ rank([a b]) hÖ 
kh«ng cã nghiÖm. 
VÝ dô: Gi¶i m¹ch ®iÖn gåm 3 nh¸nh nèi song song: nh¸nh 1 cã tæng trë Z1 = 5+2j vµ nguån 
e = 100 sin(314t + 300), nh¸nh 2 cã tæng trë Z2 = 3+4j vµ nh¸nh 3 cã tæng trë 5+6j. Ta viÕt 
ph−¬ng tr×nh cña m¹ch ®iÖn theo dßng nh¸nh. Sau ®ã rót ra ma trËn A vµ B. C¸c lÖnh 
MATLAB: 
a = [1 1 1;5+2*i 3+4*i 0;0 -(3+4*i) 5+6*i] 
e =100*exp(i*(30*pi/180)) 
b=[0;e;0]; 
i=a\b 
i = 
 25.25569272231586 +19.27124163998603i 
-15.63482777750950 -11.44276084484129i 
 -9.62086494480636 - 7.82848079514474i 
§7. Néi suy 
1. Néi suy hµm 1 biÕn:MATLAB dïng hµm interp1(x,y,xi,)víi x, lµ gi¸ trÞ 
cña hµm t¹i nh÷ng ®iÓm ®· cho vµ xi lµ gi¸ trÞ mµ t¹i ®ã ta cÇn néi suy ra gi¸ trÞ yi.<ph−¬ng 
ph¸p> cã thÓ lµ mét trong c¸c gi¸ trÞ sau : 
 ‘nearest’- ph−¬ng ph¸p nµy ®Æt gi¸ trÞ néi suy vµo gi¸ trÞ ®· cho gÇn nhÊt, Ph−¬ng 
ph¸p nµy nhanh nh−ng kÕt qu¶ kÐm chÝnh x¸c nhÊt 
VÝ dô : 
 x = [ 1 2 3 4 5 ]; 
 y = [ 5.5 43.1 128 290.7 498.4 ]; 
 yi = interp1(x,y,1.6,'nearest') 
 yi = 
 43.1000 
 ‘linear’- ph−¬ng ph¸p nµy coi ®−êng cong ®i qua 2 ®iÓm cho tr−íc lµ ®−êng th¼ng. 
VÝ dô : 
 yi = interp1(x,y,1.6,'linear') 
 yi = 
 28.0600 
 ‘spline”- dïng ph−¬ng ph¸p néi suy spline 
VÝ dô : 
 yi = interp1(x,y,1.6,'spline') 
 yi = 
 24.9782 
 ‘cubic’- ph−¬ng ph¸p nµy coi ®−êng cong qua 2 ®iÓm lµ ®−êng cong bËc 3 
VÝ dô : 
 yi = interp1(x,y,1.6,'cubic') 
 yi = 
25
 22.3840 
2. Néi suy hµm hai biÕn: Hµm interp2 thùc hiÖn néi suy hµm 2 biÕn. D¹ng hµm tæng qu¸t : 
 ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,) 
 Z - ma trËn ch÷ nhËt chøa gi¸ trÞ cña hµm 2 biÕn 
 X,Y - m¶ng cã cïng kÝch th−íc,chøa gi¸ trÞ x,y ®· cho 
 XI,YI- m¶ng chøa gi¸ trÞ cÇn néi suy 
C¸c gåm : ‘nearest’,’linear’,’cubic’ 
3. Néi suy m¶ng nhiÒu chiÒu: 
 interp3 néi suy hµm 3 biÕn 
 interpn néi suy hµm nhiÒu biÕn 
§8. TÝch ph©n vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n 
1. TÝch ph©n: §Ó tÝnh tÝch ph©n ta dïng hµm quad(tÝnh tÝch ph©n theo ph−¬ng ph¸p 
Simpson) vµ hµm quad8(tÝnh tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p Newton-Cotes). 
VÝ dô : 
 f = inline('1./((x-0.3).^2+0.01)+1./((x-0.9).^2+0.04)-6 '); 
 q = quad(f,0,1) 
 q = 
 29.8583 
 r = quad8(f,0,1) 
 r = 
 29.8583 
VÝ dô 
 y = sin(x) 
 quad(‘sin’,0,pi) 
 ans = 
 2.00001659104794 
 quad8('sin',0,pi) 
 ans = 
 1.99999999999989 
Ta còng cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p h×nh thanh ®Ó tÝnh tÝch ph©n: 
VÝ dô 
 y = sin(x) 
 x = [0:pi/100:pi]]; 
 y=sin(x); 
 trapz(x,y) 
 ans = 
 1.99983550388744 
2. Vi ph©n sè:§Ó tÝnh vi ph©n ta dïng diff 
VÝ dô 
 a = [ 1 4 2 5 7 4 8]; 
 diff(a) 
 ans = 
 3 -2 3 2 -3 4 
3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao y(n) = f(t,y,y’, . . , y(n-1)) cã thÓ ®−a vÒ 
hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 b»ng c¸ch ®Æt y1 = y ; y2 = y’ , . . , yn = y(n-1). Nh− vËy 
26
)y.,,.y,y,t(fy
....
yy
yy
n21n
32
21
=′
=′
=′
lµ hÖ cã n ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1. 
VÝ dô : 
 y’’’ - 3y” - y’y = 0 víi y(0) = 0 y’(0) = 1 y” = -1 
®−îc biÕn ®æi thµnh 
1233
32
21
yyy3y
yy
yy
+=′
=′
=′
víi ®iÒu kiÖn ®Çu : y1(0) = 0 y2(0) = 1 y3(0) = -1 
§Ó nhËp ph−¬ng tr×nh nµy vµo MATLAB ta dïng M-file f.m nh− sau : 
 function dy = f(t,y); 
 dy = [ y(2) ; y(3) ; 3*y(3)+y(3)*y(1)]; 
vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh b»ng lÖnh : 
 [ t , f] = solver (‘file’,tspan,y0) 
víi “file” lµ M-file chøa ODE 
 tspan lµ vec t¬ [ t0 tfinal] xac ®Þnh kho¶ng t×m nghiÖm 
 y0 lµ vec t¬ gi¸ trÞ ®iÒu kiÖn ®Çu. 
 solver lµ c¸ch gi¶i, th−êng dïng ph−¬ng ph¸p Runge-Kutta bËc 2/3(ode23) hay 
4/5(ode45) 
 [ t , y] = ode45[‘f’,[ 0 1],[0 ; 1 ; -1]) 
Mçi hµng trong vec t¬ nghiÖm t−¬ng øng víi mét thêi ®iÓm trong vec t¬ cét t. Nh− vËy trong 
vÝ dô trªn, y(:,1) lµ nghiÖm, y(:,1) lµ ®¹o hµm bËc nhÊt cña nghiÖm vµ y(:,2) lµ ®¹o hµm bËc 
hai cña nghiÖm. 
VÝ dô: T×m dßng qua ®é khi ®ãng m¹ch RC nèi tiÕp vµo nguån mét chiÒu biÕt tÝch sè RC = 
0.1, ®iÖn ¸p nguån lµ 10V vµ ®iÖn ¸p ban ®Çu trªn tô lµ 2V. 
 Ph−¬ng tr×nh cña m¹ch lµ: 
 e(t) = RC C
C u
dt
du + 
Thay sè vµo ta cã: 
 0.1u′ + u = 10 
 u′ = -10u + 100 
Ta cã c¸c lÖnh MATLAB: 
 function uc=rc(t,u) 
 uc=-10*u+100; 
 [t,u]=ode45('rc',[0 4],2); 
 plot(t,u,'-o')