Giáo trình Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 2: Điều khiển phi tuyến - Huỳnh Thái Hoàng

x
x
x  













)(.
)(
)(
1
xf
x
x
x



 hL
hL
k
fk
f
)(.
)(
)( xg
x
x
x



hL
hLL
k
fk
fg
với:
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 114
Định nghĩa mặt trượt
 Sai số: )()()( tytyte d 
 Bài toán điều khiển tín hiệu ra y(t) bám theo tín hiệu đặt yd(t) được 
chuyển thành bài toán tìm tín hiệu điều khiển u(t) sao cho σ  0
Trong đó ki được chọn sao cho
là đa thức Hurwitz; vị trí nghiệm của (s) = 0 quyết định đặc tính 
quá độ quá trình e(t)0 khi  = 0
12
2
1
1 ...)( 
  nn
nn kskskss
ekekeke nn
nn
12
)2(
1
)1( ... 
   Đặt:
σ =0 gọi là mặt trượt, 
(s) gọi là đa thức đặc trưng của mặt trượt
12
2
1
1 ...
1

  nn
nn ksksks
E(s)σ(s)
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 115
Hàm Lyapunov
ekekeke nn
nn
12
)2(
1
)1( ... 
   Do
 Chọn hàm Lyapunov: 2
2
1
V
 Để σ  0 cần chọn tín hiệu điều khiển u(t) sao cho 0V
  V Đạo hàm hàm Lyapunov:
nên ekekeke nn
nn 
12
)1(
1
)( ... 
 
ubay n )()()( xx  Chú ý rằng:
ekekekubay nn
nn
d

12
)1(
1
)( ...)()( 
  xx
 ekekekyy nn
nnn
d

12
)1(
1
)()( ... 
 
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 116
Luật điều khiển trượt
 Chọn u(t) sao cho: (K>0))( signK
 )(sign...)(
)(
1
12
)1(
1
)( Kekekekya
b
u nn
nn
d  
 x
x

ekekekubay nn
nn
d

12
)1(
1
)( ...)()( 
  xx
 Với luật điều khiển trên, ta có:
  V )(signK K
0V 0
 σ  0
 e  0
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 117
Quỹ đạo pha của hệ thống điều khiển trượt
e
Quỹ đạo pha lý tưởng của 
hệ bậc 2 chuyển động trên 
mặt trượt về gốc tọa độ
e
0
e
Quỹ đạo pha thực tế dao động 
quanh mặt trượt về gốc tọa độ, 
gây nên hiện tượng chattering
e
0
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 118
Trình tự thiết kế bộ điều khiển trượt bám quỹ đạo
 Bước 1: Biểu diễn quan hệ vào ra của đối tượng phi tuyến dưới dạng
ubay n )()()( xx 
 Bước 2: Chọn mặt trượt ekekeke nn
nn
12
)2(
1
)1( ... 
  
Trong đó ki được chọn sao cho
là đa thức Hurwitz; nghiệm của càng nằm xa trục ảo thì 
e(t)0 càng nhanh khi  = 0
12
2
1
1 ...)( 
  nn
nn kskskss
0)(  s
 Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển trượt:
 )(sign...)(
)(
1
12
)1(
1
)( Kekekekya
b
u nn
nn
d  
 x
x
trong đó K>0. K càng lớn thì càng nhanh. 0
 Bước 4: Thiết kế bộ lọc thông thấp tín hiệu vào để đảm bảo tín hiệu 
chuẩn yd(t) khả vi bị chặn đến bậc n.
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 119
Chú ý
 Có nhiều phiên bản điều khiển trượt khác nhau tùy theo mô tả toán 
học của đối tượng phi tuyến và yêu cầu điều khiển.
 Nguyên tắc cơ bản khi thiết kế luật điều khiển trượt là:
 Định nghĩa tín hiệu trượt là hàm của sai số bám hoặc trạng thái 
của hệ thống.
 Chọn hàm Lyapunov là hàm toàn phương của mặt trượt
 Chọn tín hiệu ĐK sao cho đạo hàm của hàm Lyapunov luôn âm
 Có thể thay hàm sign() bằng hàm sat() hoặc các hàm trơn để giảm 
hiện tượng chattering 
x
sign(x)
1
1
x
sat(x)
1
1
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 120
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
 Giải:
u
ml
x
ml
B
x
l
g
y
2221
1
)sin( 
1xy  
 Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTVP:
m
u
l

+
0
)(sin)()(2 tumgltBtml   
 Cho 
 Hãy thiết kế bộ điều khiển trượt để điều 
khiển góc lệch của con lắc bám theo tín 
hiệu đặt.
)(1.0 kgm )(1 ml )(01.0 N.m.s/radB
 Bước 1: Tính đạo hàm của tín hiệu ra
 Đặt các biến trạng thái là , tín hiệu ra là   21 ; xx 1xy 
21 xxy  
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 121
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
với
221
)sin()( x
ml
B
x
l
g
a x
2
1
)(
ml
b x
 ubay ).()( xx  (1)
u
ml
x
ml
B
x
l
g
y
2221
1
)sin( 
 Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển trượt
 )(sign)(
)(
1
1 Kekya
b
u d  x
x
với yye d 
 Bước 2: Biểu thức mặt trượt: eke 1 
Đa thức đặc trưng của mặt trượt: 01  ks
Chọn cực của mặt trượt tại 500, suy ra: 5001 k
Chọn: 1000K
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 122
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
 Bước 4: Thiết kế bộ lọc tín hiệu vào
Chọn bộ lọc thông thấp bậc 2 để tín hiệu yd(t) khả vi bị chặn đến đạo 
hàm bậc 2. Hàm truyền của bộ lọc là:
2)103.0(
1
)(


s
sGLF
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 123
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
Mô phỏng hệ thống điều khiển trượt
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 124
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
Mô phỏng khối điều khiển trượt
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 125
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn là xung vuông
 Tín hiệu ra của đối tượng bám theo tín hiệu chuẩn r(t) rất tốt
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 126
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn là xung vuông
 Bộ điều khiển trượt rất bền vững với sai số mô hình. Khi khối lượng 
vật nặng tăng 10 lần (=1kg) chất lượng điều khiển gần như không bị 
ảnh hưởng
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 127
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn là xung vuông
 Khuyết điểm của bộ điều khiển trượt là hiện tượng “chattering” (= tín 
hiệu điều khiển dao động với tần số cao). Hiện tượng này có thể làm 
giảm tuổi thọ các cơ cấu cơ khí
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 128
Điều khiển trượt – Thí dụ 1
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn là xung vuông
 Khi thay thế hàm sign() bằng hàm sat(), hiện tượng chattering bị loại 
bỏ hoàn toàn, trong khi đó tính bền vững và chất lượng điều khiển của 
hệ thống điều khiển trượt vẫn đảm bảo
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 129
Điều khiển trượt – Thí dụ 2








)()(
)(
)(
)()( 2
2
2
tutRi
dt
tdi
L
ty
ti
Mg
dt
tyd
M
u(t) là điện áp cấp cho cuộn dây [V]
(tín hiệu vào)
y(t) là vị trí viên bi [m] (tín hiệu ra)
i(t) là dòng điện qua cuộn dây [A]
M = 0.01 kg là khối lượng viên bi
g = 9.8 m/s2 là gia tốc trọng trường
R = 30  là điện trở cuộn dây
L = 0.1 H là điện cảm cuộn dây
Hệ nâng bi trong từ trường
0.4m d=0.03m
y(t)
i(t)
u(t)
M
R, L
 PT vi phân mô tả đặc tính động học hệ nâng bi trong từ trường:
 Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển trượt để điều khiển vị trí viên bi bám 
theo tín hiệu đặt có dạng hình sin hoặc xung vuông
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 130
Điều khiển trượt – Thí dụ 2








)()(
)(
)(
)()( 2
2
2
tvtRi
dt
tdi
L
ty
ti
Mg
dt
tyd
M
 Bước 1: Lấy đạo hàm tín hiệu ra, ta được
 Giải: 
 Đặt biến trạng thái: )()(),()(),()( 321 titxtytxtytx  
 Phương trình trạng thái:
)()()( 21 txtxty  
)()( 2 txty  
2
1
1
2
31332)(
Mx
xxxxx
ty




2
1
2
2
3133 )(
1
2
Mx
xxxtu
L
x
L
R
x 







)(
1
33
1
2
3
2
21
tu
L
x
L
R
x
Mx
x
gx
xx






1
2
3
Mx
x
g 
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 131
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
với
2
1
21
2
3 )2()(
MLx
LxRxx
a

x
1
32)(
MLx
x
b x
 ubay ).()( xx  (1)
Chọn: 50K
2
1
2
2
3133 )(
1
2
Mx
xxxtu
L
x
L
R
x
y








 )(sign)(
)(
1
21 Kekekya
b
u d  x
x
 Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển trượt
 Bước 2: Biểu thức mặt trượt ekeke 21  
100,20 21  kk
với yye d 
Đa thức đặc trưng của mặt trượt: 021
2  ksks
Chọn cặp cực của đa thức đặc trưng là 10, 10 
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 132
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
 Bước 4: Thiết kế bộ lọc tín hiệu vào
Chọn bộ lọc thông thấp bậc 3 để tín hiệu yd(t) khả vi bị chặn đến đạo 
hàm bậc 3. Hàm truyền của bộ lọc là:
3)11.0(
1
)(


s
sGLF
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 133
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
Mô phỏng hệ thống điều khiển trượt hệ nâng vật trong từ trường
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 134
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
Mô phỏng khối điều khiển trượt
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 135
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn là xung vuông
 Vị trí viên bi bám theo tín hiệu chuẩn yd(t) rất tốt
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
y
(t
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
2
4
6
8
u
(t
)
y
d
(t)
y(t)
23.52 23.54 23.56 23.58 23.6 23.62 23.64 23.66 23.68 23.7
2.5
3
3.5
u
(t
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
2
4
6
8
u
(t
)
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 136
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn là xung vuông
 Khuyết điểm của bộ điều khiển trượt là hiện tượng “chattering” (= tín 
hiệu điều khiển dao động với tần số cao). 
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 137
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn là xung vuông
 Khi thay thế hàm sign() bằng hàm sat(), hiện tượng chattering bị loại 
bỏ hoàn toàn, trong khi đó tính bền vững và chất lượng điều khiển của 
hệ thống điều khiển trượt vẫn đảm bảo
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
y
(t
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
2
4
6
8
u
(t
)
y
d
(t)
y(t)
16 February 2012 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 138
Điều khiển trượt – Thí dụ 2
Kết quả mô phỏng khi tín hiệu chuẩn hình sin
 Vị trí viên bi bám theo tín hiệu chuẩn yd(t) rất tốt, không có hiện 
tượng chattering khi sử dụng hàm sat() thay thế hàm sign()
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
y
(t
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
2
4
6
u
(t
)
y
d
(t)
y(t)
16 February 2012 © H. T. Hoàng - HCMUT 139
Sau khi học xong chương 2, sinh viên phải có khả năng:
 Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến
 Khảo sát tính ổn định của hệ phi tuyến dùng định lý Lyapunov
 Thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa
 Thiết kế bộ điều khiển trượt
Tổng kết chương