Giáo trình Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 2: Điều khiển tối ưu

y nhieân 
khoâng trieät tieâu ñöôïc phöông sai nhieãu. 
 Sô ñoà moâ phoûng tröôøng hôïp x(0)=[1 0]T; r(t)=u-1(t-1) coù nhieãu heä 
thoáng: 
Keát quaû moâ phoûng khi coù nhieãu heä thoáng với giaù trò trung bình 5.0=µ 
phöông sai 0001.0=λ : 
0 10 20 30 40 50 60
-2
-1
0
1
2
KET QUA MO PHONG
x1
r
0 10 20 30 40 50 60
-1
-0.5
0
0.5
1
SAI SO
error
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 246 Trang 
Nhaän xeùt: Bieán traïng thaùi x1(t) luoân baùm theo tín hieäu vaøo r(t) trieät tieâu 
ñöôïc nhieãu trung bình trôû veà traïng thaùi xaùc laäp x1=1,tuy nhieân khoâng 
trieät tieâu ñöôïc phöông sai nhieãu 
Ñeå coù cô sôû so saùnh ta moâ phoûng trong tröôøng hôïp tín hieäu vaøo laø hình 
sin hoaëc xung vuoâng. 
Sô ñoà moâ phoûng hoaøn toaøn gioáng nhö treân chæ khaùc khoái nguoàn. 
Keát quaû moâ phoûng khi coù nhieãu ño với giaù trò trung bình 5.0=µ phöông 
sai 0001.0=λ tín hieäu vaøo laø xung vuoâng: 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
KET QUA MO PHONG
x1
r
Nhaän xeùt: Bieán traïng thaùi x1(t) baùm theo ñöôïc tín hieäu vaøo nhöng coù 
thôøi gian oån ñònh töông ñoái lôùn. Coù theå hieäu chænh ñeå giaûm thôøi gian oån 
ñònh nhöng sẽ taêng ñoä voït loá. Traïng thaùi ban ñaàu ôû möùc ñuùng baèng giaù 
trò trung bình cuûa nhieãu. 
Keát quaû moâ phoûng khi coù nhieãu ño với giaù trò trung bình 5.0=µ phöông 
sai 0001.0=λ tín hieäu vaøo laø hình sin: 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
KET QUA MO PHONG
x1
r
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 247 Trang 
Nhaän xeùt: Bieán traïng thaùi x1(t) baùm theo tín hieäu r(t). Traïng thaùi ban 
ñaàu ôû möùc ñuùng baèng giaù trò trung bình cuûa nhieãu. 
Keát quaû moâ phoûng khi coù nhieãu heä thoáng với giaù trò trung bình 5.0=µ 
phöông sai 0001.0=λ tín hieäu vaøo laø xung vuoâng: 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
KET QUA MO PHONG
x1
r
Nhận xét: Bieán traïng thaùi x1(t) baùm theo ñöôïc tín hieäu vaøo nhöng coù 
thôøi gian oån ñònh töông ñoái lôùn. Coù theå hieäu chænh ñeå giaûm thôøi gian oån 
ñònh nhöng sẽ taêng ñoä voït loá. Traïng thaùi ban ñaàu ôû möùc ñuùng baèng giaù 
trò trung bình cuûa nhieãu. Traïng thaùi ban ñaàu x1(t)=0; 
Keát quaû moâ phoûng khi coù nhieãu heä thoáng với giaù trò trung bình 5.0=µ 
phöông sai 0001.0=λ tín hieäu vaøo laø hình sin: 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
KET QUA MO PHONG
x1
r
Nhận xét: Bieán traïng thaùi x1(t) baùm theo tín hieäu r(t). Traïng thaùi ban 
ñaàu baèng 0. 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 248 Trang 
 2. Hệ rời rạc 
Xét hệ vô hướng : 
với chỉ tiêu chất lượng : 
( )12 2 21 12 2
−
=
= + +∑
N
i N N k k
k i
J s x qx ru 
a = 1.05 , b = 0.01 , q = r = 1 , x0 = 10 , N = 100 . Chúng ta sẽ xét hai trường 
hợp sN = 5 và sN = 500 bằng chương trình dex ñể tìm các quỹ ñạo tối ưu . 
Chương trình : 
function [x,u,K,S] = dex 
a = 1.05; 
b = 0.01; 
q = 1; 
r = 1; 
x0 = 10; 
s = 5; 
N = 100; 
S(N+1) = s; 
for k = N:-1:1 
 K(k) = ( a * b * s ) / ( r + s * b^2 ); 
 s = q + ( r * s * a^2 ) / ( r + s * b^2 ); 
 S(k) = s; 
end 
x(1) = x0; 
for k = 1:N 
 u(k) = -K(k) * x(k); 
 x(k+1) = a * x(k) + b * u(k); 
end 
1+ = +k k kx ax bu
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 249 Trang 
Giá trị tuần tự sk (sN = 5) 
ðộ lợi hồi tiếp tối ưu Kk (sN = 5) 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 250 Trang 
Quỹ ñạo trạng thái tối ưu xk* (sN = 5) 
Giá trị tuần tự sk (sN = 500) 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 251 Trang 
ðộ lợi hồi tiếp tối ưu Kk (sN = 500) 
Quỹ ñạo trạng thái tối ưu xk* (sN = 500) 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 252 Trang 
CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 
1. Trình bày phương pháp biến phân cổ ñiển Euler_Lagrange cho các 
trường hợp : không có ñiều kiện ràng buộc , có ñiều kiện ràng buộc và khi 
tín hiệu ñầu vào bị hạn chế . 
2. Chỉ tiêu chất lượng ở ví dụ 2.13 có dạng : 
( )2 2
0
J dt
∞
= Ψ + Ψ∫ & 
Hãy chứng minh hàm biến số phụ Ψ ñược xác ñịnh từ ñiều kiện cực tiểu của 
J như sau : 
0Ψ + Ψ =& 
3. Phát biểu nguyên lý tối ưu của Bellman . Trình bày ý tưởng giải quyết bài 
toán tối ưu của phương pháp quy hoạch ñộng . 
4. Trình bày nguyên lý cực tiểu của Pontryagin 
5. Phát biểu tiêu chuẩn ổn ñịnh thứ hai của Lyapunov . 
6. Ứng dụng Lyapunov trong bài toán LQR liên tục . 
7. Chứng minh ma trận Q là ma trận xác ñịnh dương: 
 313221
2
3
2
2
2
1 2624 xxxxxxxxxQ −−+++= 
8. Chứng minh ma trận Q là ma trận xác ñịnh âm: 
 313221
2
3
2
2
2
1 242113 xxxxxxxxxQ −−+−−−= 
9. Viết một số hàm Lyapunov cho hệ thống sau: 
 











−
−
=





2
1
2
1
32
11
x
x
x
x
&
&
 Xác ñịnh tính ổn ñịnh của hệ thống. 
10. Xác ñịnh tính ổn ñịnh của trạng thái cân bằng cho hệ thống sau: 
14
22
212
211
−−=
+−−=
xxx
xxx
&
&
11. Xác ñịnh tính ổn ñịnh của trạng thái cân bằng cho hệ thống sau: 
13
3212
211
323
3
xx
xxxx
xxx
=
−−−=
+=
&
&
&
12. Tìm ñiểm (x,y) thuộc parabol : 
2 3 6y x x= + − 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 253 Trang 
sao cho khoảng cách từ (x , y) ñến ñiểm có toạ ñộ (2,2) là ngắn nhất . Tính 
khoảng cách ñó . 
13. a. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với chu vi p. Nghĩa là tìm x 
và y thoả mãn cực ñại hoá hàm : 
( , )L x y xy= 
với ñiều kiện ràng buộc : ( , ) 2 2 0f x y x y p= + − = 
 b. Tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất với diện tích cho trước là 2a . 
Nghĩa là cực tiểu hoá hàm : 
( , ) 2 2L x y x y= + 
với ñiều kiện ràng buộc : 2( , ) 0f x y xy a= − = 
14. Cho hệ thống : 
uxx 





+





=
3
1
01
22.
Tìm các giá trị tối ưu , ,x u L∗ ∗ ∗ thoả mãn cực tiểu chỉ tiêu chất lượng : 
1 0 2 11 1
0 2 1 12 2
T TL x x u u
   
= +   
   
15. Cho hệ thống : 
2
2
d y
u
dt
= 
Tìm tín hiệu ñiều khiển u thoả mãn cực tiểu chỉ tiêu chất lượng : 
1
2
1
1
2
J u u dtµ ρ
−
 
= + 
 
∫ && 
với các ñiều kiện ñầu : 
( 1) (1) 0
( 1) (1) 0
y y
y y
− = =
− = =& &
16. Cho hệ thống : 
Cho R = 1Ω, L = 1H. 
 a. Tìm phương trình trạng thái của hệ thống . 
 b. Tìm ñiều khiển tối ưu ñể cực tiểu chỉ tiêu chất lượng J : 
L
ui
L
R
dt
di
+
−
=
 i: dòng ñiện 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 254 Trang 
1
2
0
J u dt= ∫ 
với x(0) = 0 và x(1) = 2 . 
 c. Tìm quỹ ñạo trạng thái tối ưu . 
17. Cho hệ thống : 
2
1k k k kx x u u+ = + 
với chỉ tiêu chất lượng: 
1
2
0
0
N
N k k
k
J x x u
−
=
= +∑ 
Cho N = 2 . Tín hiệu ñiều khiển chỉ nhận các giá trị : 1ku = hoặc 1ku = − . 
xk nhận các giá trị -1, 0, 1, 2 . 
 a. Sử dụng phương pháp quy hoạch ñộng ñể tìm luật ñiều khiển hồi tiếp 
trạng thái tối ưu . 
 b.Với 0 2x = , hãy tìm tổn hao tối ưu, luật ñiều khiển và quỹ ñạo trạng 
thái . 
18. Xét hệ tác ñộng nhanh có dạng sau : 
2
2
d x
x u
dt
+ = 
1u ≤ 
Tìm quỹ ñạo pha tối ưu ñể ñưa hệ về gốc toạ ñộ từ một ñiểm bất kỳ . 
19. Cho hệ thống : 
1 2
2
x x
x u
=
=
&
&
( )2 2 21 1 2 2
0
1 2
2
J x vx x qx u dt
∞
= + + +∫ 
với ( )2 0q v− > . 
 a. Tìm lời giải cho phương trình Riccati ñại số . 
 b. Tìm ñiều khiển tối ưu và hệ thống vòng kín tối ưu . 
 c. Vẽ quỹ ñạo nghiệm số của hệ thống khi q thay ñổi từ 0 ñến ∞ . Với 
giá trị nào của q thì hệ thống ổn ñịnh . 
 20. Cho hệ thống : 
1 1x x u= +& 
2 1 2x x x= − +& 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 255 Trang 
∫
∞
++=
0
22
2
2
1 )(2
1 dtruxxJ
với 
10
1
=r . 
 a. Tìm lời giải cho phương trình Riccati ñại số . 
 b. Tìm ñiều khiển tối ưu và hệ thống vòng kín tối ưu . 
21. Cho hệ thống : 
1 2
2 1 22
x x
x ax x u
=
= − − +
&
&
và chỉ tiêu chất lượng : 
( )2 2 21 2
0
1 2
2
J x x u dt
∞
= + +∫ 
 a. Vẽ quỹ ñạo nghiệm số của hệ hở khi a thay ñổi từ 0 ñến ∞ . Với giá 
trị nào của a thì hệ thống ổn ñịnh . 
 b. Với a = -8 tìm lời giải cho phương trình ñại số Riccati và hệ số K . 
22. Xét hệ rời rạc : 
1 2k k kx x u+ = + 
 a. Tìm lời giải xk với k = 0 ; 5 nếu x0 = 3 . 
 b. Xác ñịnh luật uk tổn hao năng lượng tối thiểu ñể ñưa hệ thống từ x0 = 3 
về x5 = 0 . Vẽ quỹ ñạo trạng thái tối ưu. Chỉ tiêu chất lượng hệ hở 
(q=0): 
1
2
0
1
2
−
=
= ∑
N
k
k
J u 
 c. Tìm luật hồi tiếp trạng thái Kk tối ưu sao cho chỉ tiêu chất lượng J ñạt cực 
tiểu : 
( )42 2 25
0
5 0.5 k k
k
J x x u
=
= + +∑ 
Tính hàm tổn thất J tối ưu với k = 0 ; 5 . 
23. Xét hệ rời rạc : 
1k k kx ax bu+ = + 
( )13 3 3
0
1 1
3 3
−
=
= + +∑
N
N N k k
k
J s x qx ru 
với xk , uk là vô hướng . 
 a. Tìm phương trình trạng thái, phương trình ñồng trạng thái và ñiều kiện 
tĩnh . 
Chương 2: ðiều khiển tối ưu 
 256 Trang 
 b. Khi nào thì ta có thể tìm ñược luật ñiều khiển tối ưu uk . Với ñiều kiện 
ñó , hãy khử uk trong phương trình trạng thái . 
 c. Tìm lời giải bài toán ñiều khiển vòng hở (trạng thái cuối xN cố ñịnh, 
0Ns = , q = 0 ) . 
24. Cho hệ thống ñược mô tả bởi hệ phương trình trạng thái: 
y v
v u
=

=
&
&
 1)( ≤tu 
Vẽ quỹ ñạo pha tối ưu ñưa hệ từ trạng thái ban ñầu về gốc tọa ñộ với thời 
gian ngắn nhất trong các trường hợp sau ñây: 
a. x1(0) = 4, x2(0) = 3 
b. x1(0) = 4, x2(0) =- 3 
c. x1(0) = -4, x2(0) = -3 
d. x1(0) = -4, x2(0) = 3 
1. Giải với luật ñiều khiển Bang Bang. 
2. Giải với luật ñiều khiển Bang off Bang, T = 45 s 
25. Moät taøu chôû haøng goàm ba loaïi sau : 
 Troïng löôïng w(lb) Giaù thaønh v($) 
 Maùy röûa cheùn 100 360 
 Maùy giaët 125 475 
 Tuû laïnh 250 1000 
Ñaët uk laø soá maùy ñöôïc taûi leân taøu cho ba loaïi treân : k=1,2,3 
 u1 = soá tuû laïnh ñöôïc chôû leân taøu , u2 = soá maùy giaët & u3 = soá maùy röûa 
cheùn. wk laø troïng löôïng ,vk laø giaù thaønh . 
Ñaët xk laø taûi troïng cho pheùp ñoái vôùi töøng loaïi haøng . 
Yeâu caàu haøm chæ tieâu J laø cöïc ñaïi: 
3
1
k k
k
J v u
=
=∑ 
Vôùi ñieàu kieän raøng buoäc laø taûi troïng ( W ) toái ña taøu ñöôïc pheùp chôû laø 
730 lb 
3
1
k k
k
w u W
=
≤∑ 
 1. Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi 
 2. Tìm chieán löôïc taûi haøng toái öu nhaèm ñaït J max.