Giáo trình C - Chương 11: Nội suy và xấp xỉ hàm

f("So diem da cho n = "); 
 scanf("%d",&n); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("x[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
 } 
 x[0]=1.0; 
 printf("%4cBANG SO LIEU\n",' '); 
 printf("%8cx%30cy\n",' ',' '); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%4c%8.4f%23c%8.4f\n",' ',x[i],' ',y[i]); 
 ok=' '; 
 t=1; 
 while (t) 
 { 
 printf("Co sua so lieu khong(c/k): "); 
 scanf("%c",&ok); 
 if (toupper(ok)=='C') 
 { 
195
 printf("Chi so cua phan tu can sua i = "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("Gia tri moi : "); 
 printf("x[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
 } 
 if (toupper(ok)!='C') 
 t=0; 
 } 
 printf("CAC GIA TRI DA CHO"); 
 printf("\n"); 
 printf("X = "); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%c%8.3f",' ',x[i]); 
 printf("\n"); 
 printf("Y = "); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%c%8.3f",' ',y[i]); 
 printf("\n"); 
 a=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 a+=x[i]; 
 b=n; 
 c=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 c+=log(y[i]); 
 d=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 d+=x[i]*x[i]; 
 e=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 e+=x[i]*log(y[i]); 
 d1=a*a-d*b; 
 d2=c*a-e*b; 
 d3=a*e-c*d; 
 c=d2/d1; 
 a=d3/d1; 
 printf("\n"); 
 printf("He so A = %8.4f",exp(a)); 
 printf(" va so mu c = %8.4",c); 
 printf("\n"); 
 printf("\nBANG CAC GIA TRI TINH TOAN"); 
 printf("\n"); 
 printf("%5cx%28cy\n",' ',' '); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("%8.4f%21c%8.4f\n",x[i],' ',exp(a)*exp(c*x[i])); 
 } 
196
 getch(); 
 } 
Với các giá trị x,y đo đ−ợc theo bảng 
 x 0 2 4 6 8 10 12 
y 128
0 
635 324 162 76 43 19 
ta có n = 7 và tính đ−ợc theo ch−ơng trình các hệ số : A = 1285.44 va c = -0.3476 và hàm 
xấp xỉ sẽ là : f(x) = 1285.44 
3.Hàm dạng Axq : Khi các số liệu thể hiện một sự biến đổi đơn điệu ta cũng có thể dùng 
hàm xấp xỉ là y = Axq.Lấy logarit hai vế ta có : 
 lny = lnA + qlnx 
Theo điều kiện đạo hàm triệt tiêu ta có hệ ph−ơng trình : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
∑ ∑∑
∑ ∑
= ==
= =
n
1i
n
1i
ii
n
1i
ii
2
n
1i
n
1i
ii
ylnxlnxlnAlnxlnq
ylnAlnnxlnq
Giải hệ ph−ơng trình này ta có các hệ số A và q : 
Ch−ơng trình 11-6 
//xap_xi_x_mu; 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define max 11 
void main() 
 { 
 int i,n,t; 
 float x[max],y[max]; 
 char ok; 
 float a,b,c,d,e,f,d1,d2,d3; 
 clrscr(); 
 printf("PHUONG PHAP BINH PHUONG TOI THIEU"); 
 printf("\n"); 
 printf("So diem da cho n = "); 
 scanf("%d",&n); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("x[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
197
 } 
 x[0]=1.0; 
 printf("%4cBANG SO LIEU\n",' '); 
 printf("%8cx%30cy\n",' ',' '); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%4c%8.4f%23c%8.4f\n",' ',x[i],' ',y[i]); 
 ok=' '; 
 flushall(); 
 t=1; 
 while (t) 
 { 
 printf("Co sua so lieu khong(c/k): "); 
 scanf("%c",&ok); 
 if (toupper(ok)=='C') 
 { 
 printf("Chi so cua phan tu can sua i = "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("Gia tri moi : "); 
 printf("x[",i,"] = "); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
 } 
 if (toupper(ok)!='C') 
 t=0; 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("\nCAC GIA TRI DA CHO"); 
 printf("\n"); 
 printf("X = "); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%c%8.3f",' ',x[i]); 
 printf("\n"); 
 printf("Y = "); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%c%8.3f",' ',y[i]); 
 printf("\n"); 
 a=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 a+=log(x[i]); 
 b=n; 
 c=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 c+=log(y[i]); 
 d=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 d+=log(x[i])*log(x[i]); 
 e=0.; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 e+=log(x[i])*log(y[i]); 
198
 d1=a*a-d*b; 
 d2=c*a-e*b; 
 d3=a*e-c*d; 
 c=d2/d1; 
 a=d3/d1; 
 printf("\n"); 
 printf("He so A = %8.4f",exp(a)); 
 printf(" va so mu q = %8.4f\n",c); 
 printf("\n"); 
 printf("\nBANG CAC GIA TRI TINH TOAN\n"); 
 printf("%5cx%27cy\n",' ',' '); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("%8.4f%20c%8.4f\n",x[i],' ',exp(a)*exp(c*log(x[i]))); 
 } 
 getch(); 
 } 
Với các giá trị x,y đo đ−ợc theo bảng 
 x 1 2 4 5 6 
y 7.1 27.8 62.1 110 161 
ta có n = 5 và tính đ−ợc theo ch−ơng trình các hệ số : A = 7.1641 và q = 1.9531 và hàm xấp 
xỉ sẽ là : f(x) = 1285.44x1.9531 
4.Hàm l−ợng giác : Khi quan hệ y=f(x) có dạng tuần hoàn ta dùng hàm xấp xỉ là tổ hợp 
tuyến tính của các hàm sin và cosin dạng : 
 ∑ ∑
= =
ω+ω+=
n
1i
n
1i
ii0 )xisin(b)xicos(aa)x(f 
Để đơn giản tr−ớc hết ta xét hàm chỉ có một số hạng sin-cos,nghĩa là : 
 xsinbxcosaa)x(f 110 ω+ω+= 
Hàm S sẽ có dạng : 
 [ ]∑
=
ω+ω+−=
n
1i
2
110i )xsinbxcosaa(yS 
Theo điều kiện đạo hàm triệt tiêu ta có hệ ph−ơng trình đối với các hệ số dạng : 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ω
ω=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ωωωω
ωωωω
ωω
∑∑
∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑
xsiny
xcosy
y
b
a
a
xsinxsinxcosxsin
xsinxcosxcosxcos
xsinxcosn
1
1
0
2
2 
Do : 
0
n
xsinxcos
2
1
n
xcos
2
1
n
xsin
0
n
xcos
0
n
xsin
22
=ωω
=ω=ω
=ω=ω
∑
∑∑
∑∑
nên hệ ph−ơng trình có dạng đơn giản : 
199
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ω
ω=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∑∑
∑
xsiny
xcosy
y
b
a
a
2n00
02n0
00n
1
1
0
Giải hệ ta có : 
 ∑∑∑ ω=ω== xsinyn2bxcosyn2an
y
a 110 
Trong tr−ờng hợp tổng quát,một cách t−ơng tự ta có : 
∑∑∑ ω=ω== xisinyn2bxicosyn2an
y
a ii0 
Ch−ơng trình tìm các hệ số ai và bi đ−ợc thể hiện nh− sau : 
Ch−ơng trình 11-7 
//xap_xi_sin_cos; 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define max 11 
#define pi 3.15159 
void main() 
 { 
 int i,j,m,n,t; 
 float x[max],y[max],a[max],b[max]; 
 char ok; 
 float omg,t1; 
 clrscr(); 
 printf("PHUONG PHAP BINH PHUONG TOI THIEU"); 
 printf("\n"); 
 printf("Cho so so hang sin-cos m = "); 
 scanf("%d",&m); 
 printf("Cho chu ki T = "); 
 scanf("%f",&t1); 
 printf("So diem da cho n = "); 
 scanf("%d",&n); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("x[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
 } 
 x[0]=1.0; 
 printf("%4cBANG SO LIEU\n",' '); 
 printf("%8cx%30cy\n",' ',' '); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
200
 printf("%4c%8.4f%23c%8.4f\n",' ',x[i],' ',y[i]); 
 ok=' '; 
 t=1; 
 flushall(); 
 while (t) 
 { 
 printf("Co sua so lieu khong(c/k): "); 
 scanf("%c",&ok); 
 if (toupper(ok)=='C') 
 { 
 printf("Chi so cua phan tu can sua i = "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("Gia tri moi : "); 
 printf("x[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
 flushall(); 
 } 
 if (toupper(ok)!='C') 
 t=0; 
 } 
 printf("\nCAC GIA TRI DA CHO\n"); 
 printf("\n"); 
 printf(" X Y\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%c%8.3f%c%8.3f\n",' ',x[i],' ',y[i]); 
 printf("\n"); 
 a[0]=0.0; 
 omg=2*pi/t1; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 a[0]+=y[i]; 
 a[0]/=n; 
 for (j=1;j<=m;j++) 
 { 
 a[j]=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 a[j]+=y[i]*cos(j*omg*x[i]); 
 a[j]=2*a[j]/n; 
 } 
 for (j=1;j<=m;j++) 
 { 
 b[j]=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 b[j]+=y[i]*sin(j*omg*x[i]); 
 b[j]=2*b[j]/n; 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("TAN SO GOC OMEGA = %10.5f\n",omg); 
201
 printf("HE SO HANG\n"); 
 printf("a[0] = %8.4f\n",a[0]); 
 printf("CAC HE SO BAC CAO\n"); 
 printf("%5ccos%25csin\n",' ',' '); 
 for (i=1;i<=m;i++) 
 printf("%8.4f%21c%6.4f\n",a[i],' ',b[i]); 
 getch(); 
 } 
Với hàm cho bằng bảng số : 
x 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 1.2 1.3 
y 2.200 1.595 1.03
1 
0.72
2 
0.78
6 
1.20
0 
1.80
5 
2.36
9 
2.67
8 
2.614 
Chọn số hệ số sin-cos m = 1,số điểm cho tr−ớc n = 10,chu kì T = 15 ta nhận đ−ợc kết quả 
tính a0 = 1.7 ; a1 = 0.5 ; b1 = -0.8661 và ω = 4.18879.Nh− vậy hàm xấp xỉ có dạng : 
 f(x) = 1.7 + 0.5cos(4.18879x) - 0.8661sin(4.18879x) 
5.Hàm hữu tỉ : Khi quan hệ y = f(x) có dạng đ−ờng cong bão hoà hay dạng arctan,tan v.v ta 
dùng hàm xấp xỉ là hàm hữu tỉ dạng đơn giản : 
xb
ax
y += 
Lấy nghịch đảo của nó ta có : 
a
1
x
1
a
b
y
1 += 
Đặt 1/y = Y,1/x = X,b/a = B và 1/a = A ph−ơng trình trên sẽ có dạng : 
 Y = A + BX 
và là một đa thức bậc một.Do vậy ta có hệ ph−ơng trình đối với các hệ số A và B là : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
∑ ∑∑
∑ ∑
= ==
= =
n
1i
n
1i ii
2
i
n
1i i
n
1i
n
1i ii
yx
1
x
1
B
x
1
A
y
1
x
1
BnA
và từ đó tính đ−ợc a và b.Ch−ơng trình sau mô tả thuật toán trên 
Ch−ơng trình 11-.8 
//xap xi huu_ty; 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define k 11 
void main() 
 { 
 float x[k],y[k]; 
 float a,b,a1,b1,c,d,e; 
 int i,n,t; 
202
 char ok; 
 clrscr(); 
 printf("PHUONG PHAP BINH PHUONG TOI THIEU"); 
 printf("\n"); 
 printf("So diem da cho n = "); 
 scanf("%d",&n); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("x[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
 } 
 printf("%4cBANG SO LIEU\n",' '); 
 printf("%8cx%30cy\n",' ',' '); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%4c%8.4f%23c%8.4f\n",' ',x[i],' ',y[i]); 
 ok=' '; 
 t=1; 
 flushall(); 
 while (t) 
 { 
 printf("Co sua so lieu khong(c/k): "); 
 scanf("%c",&ok); 
 if (toupper(ok)=='C') 
 { 
 printf("Chi so cua phan tu can sua i = "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("Gia tri moi : "); 
 printf("x[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&x[i]); 
 printf("y[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&y[i]); 
 flushall(); 
 } 
 if (toupper(ok)!='C') 
 t=0; 
 } 
 printf("CAC GIA TRI DA CHO\n"); 
 printf("\n"); 
 printf("X = "); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%c%8.3f",' ',x[i]); 
 printf("\n"); 
 printf("Y = "); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%c%8.3f",' ' ,y[i]); 
 printf("\n"); 
 a=n; 
203
 b=0.0; 
 c=0.0; 
 d=0.0; 
 e=0.0; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 b+=1/x[i]; 
 c+=1/y[i]; 
 d+=1/(x[i]*x[i]); 
 e+=1/(x[i]*y[i]); 
 } 
 a1=(c*d-b*e)/(a*d-b*b); 
 b1=(a*e-b*c)/(a*d-b*b); 
 a=1/a1; 
 b=b1*a; 
 printf("\n"); 
 printf("Cac he so cua ham huu ty\n"); 
 printf("a = %10.5f b = %10.5f",a,b); 
 getch(); 
 } 
Với dãy số liệu đã cho : 
x 1 2 3 4 5 
y 0.333333
3 
0.5 0.6 0.66666 0.7142857 
ta nhận đ−ợc từ ch−ơng trình trị số a = 1 và b = 2