Giáo trình C - Chương 10: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

1x
06.101.02.12.03.1x
2.101.001.02.1x
1
3
1
2
1
1
 1
2
2
2
3
2
1 2 01 106 01 0 948 0 9992
1 3 0 2 0 9992 01 0 948 100536
1 4 0 2 0 9992 0 2 100536 0 999098
x
x
x
= − − =
= − − =
= − − =
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
ì ì
ì ì
ì ì
, . . . . .
, . . . . .
, . . . . .
và cứ thế tiếp tục . Ch−ơng trình mô tả thuật toán Gauss - Seidel nh− sau : 
170
Ch−ơng trình 10-8 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define max 6 
void main() 
 { 
 float b[max],x[max]; 
 float a[max][max]; 
 int i,j,k,n,dem,t1; 
 float t,s,d,w,epsi; 
 char tl; 
 clrscr(); 
 printf("Cho so an so n = "); 
 scanf("%d",&n); 
 printf("Cho cac phan tu cua ma tran a : \n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 { 
 printf("a[%d][%d] = ",i,j); 
 scanf("%f",&a[i][j]); 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Ma tran a ma ban da nhap\n"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 printf("%10.5f",a[i][j]); 
 printf("\n"); 
 } 
 printf("\n"); 
 t1=1; 
 flushall(); 
 while (t1) 
 { 
 printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?"); 
 scanf("%c",&tl); 
 if (toupper(tl)=='C') 
 { 
 printf("Cho chi so hang can sua : "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("Cho chi so cot can sua : "); 
 scanf("%d",&j); 
 printf("a[%d][%d] = ",i,j); 
171
 scanf("%f",&a[i][j]); 
 flushall(); 
 } 
 if (toupper(tl)=='K') 
 t1=0; 
 } 
 printf("Ma tran a\n"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 printf("%15.5f",a[i][j]); 
 printf("\n"); 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("b[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&b[i]); 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Ma tran b"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]); 
 printf("\n"); 
 t1=1; 
 flushall(); 
 while (t1) 
 { 
 printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?"); 
 scanf("%c",&tl); 
 if (toupper(tl)=='C') 
 { 
 printf("Cho chi so hang can sua : "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("b[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&b[i]); 
 flushall(); 
 } 
 if (toupper(tl)=='K') 
 t1=0; 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Ma tran b"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]); 
 printf("\n"); 
172
 printf("Cho so lan lap k : "); 
 scanf("%d",&k); 
 printf("\n"); 
 w=1; 
 epsi=1e-8; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 x[i]=0.0; 
 dem = 0; 
 do 
 { 
 dem=dem+1; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 s=0.0; 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 s=s+a[i][j]*x[j]; 
 d=x[i]; 
 x[i]=(1-w)*d+w*(-s+a[i][i]*d+b[i])/a[i][i]; 
 t=fabs(d-x[i]); 
 } 
 } 
 while ((demepsi*fabs(x[n]))); 
 if (t<epsi*fabs(x[n])) 
 { 
 printf("Nghiem sau %d lan lap la :\n",dem); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("x[%d] = %12.8f\n",i,x[i]); 
 } 
 else 
 { 
 printf("Khong dat do chinh xac sau %d lan lap\n",k); 
 printf("Nghiem cua lan lap cuoi cung la : \n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("x[%d] = %12.8f\n",i,x[i]); 
 } 
 getch(); 
 } 
Đ7. Ph−ơng pháp Cramer 
 Một tr−ờng hợp riêng của hệ ph−ơng trình , trong đó số ph−ơng trình bằng số ẩn , nghĩa 
là hệ có dạng : 
 11 1 12 2 13 3 1n 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
n n
n n n nn n n
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
...
...
...
......
trong đó A= (aij) là một ma trận không suy biến . một hệ ph−ơng trình nh− vậy có tên là hệ 
thống Cramer 
173
Định lí Crame : Hệ thống Crame có nghiệm duy nhất đ−ợc cho bởi công thức : 
i
i
x
A
A
n= =
( )
(i ,..., )1
trong đó A(i) là ma trận nhận đ−ợc từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột B=[ b1 ,...,bn]T 
 Nh− vậy để giải hệ bằng ph−ơng pháp Cramer chúng ta lần l−ợt tính các định thức 
của ma trận và ma trận thay thế rồi tìm nghiệm theo công thức Cramer. Ch−ơng trình sau mô 
tả thuật toán này, 
Ch−ơng trình 10-.9 
// Cramer; 
#include 
#include 
#include 
#define max 50 
void main() 
 { 
 float r[max][max],a[max][max]; 
 float b[max],x[max]; 
 float delta[max]; 
 int i,j,k,l,t,n,ok1,ok2,t1; 
 float c,d; 
 char tl; 
 clrscr(); 
 printf("Cho so an cua phuong trinh n = "); 
 scanf("%d",&n); 
 printf("Cho cac phan tu cua ma tran a : \n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 { 
 printf("a[%d][%d] = ",i,j); 
 scanf("%f",&a[i][j]); 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Ma tran a ma ban da nhap\n"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 printf("%10.5f",a[i][j]); 
 printf("\n"); 
 } 
 printf("\n"); 
 t1=1; 
 flushall(); 
 while (t1) 
 { 
174
 printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?"); 
 scanf("%c",&tl); 
 if (toupper(tl)=='C') 
 { 
 printf("Cho chi so hang can sua : "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("Cho chi so cot can sua : "); 
 scanf("%d",&j); 
 printf("a[",i,",",j,"] = "); 
 scanf("%f",&a[i][j]); 
 flushall(); 
 } 
 if (toupper(tl)=='K') 
 t1=0; 
 } 
 printf("Ma tran a \n"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 printf("%10.5f",a[i][j]); 
 printf("\n"); 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 printf("b[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&b[i]); 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Ma tran b ma ban da nhap\n"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]); 
 printf("\n"); 
 t1=1; 
 flushall(); 
 while (t1) 
 { 
 printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?"); 
 scanf("%c",&tl); 
 if (toupper(tl)=='C') 
 { 
 printf("Cho chi so hang can sua : "); 
 scanf("%d",&i); 
 printf("b[%d] = ",i); 
 scanf("%f",&b[i]); 
 flushall(); 
 } 
175
 if (toupper(tl)=='K') 
 t1=0; 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Ma tran b\n"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 printf("%10.5f",b[i]); 
 printf("\n"); 
 //thay b vao tung cot cua a de tinh cac dinh thuc 
 for (k=0;k<=n;k++) 
 { 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 for (j=1;j<=n;j++)//thay cot b vao a 
 if (i==k) 
 r[j][i]=b[j]; 
 else 
 r[j][i]=a[j][i]; 
 //tinh dinh thuc 
 d=1.0; 
 i=1; 
 ok2=1; 
 while (ok2&&(i<=n)) 
 { 
 if (r[i][i]==0.0) 
 { 
 ok1=1; 
 t=t+1; 
 while (ok1&&(t<=n)) 
 if (r[t][i]!=0) 
 { 
 for (j=i;j<=n;j++) 
 { 
 c=r[i][j]; 
 r[i][j]=r[t][j]; 
 r[k][j]=c; 
 } 
 d=-d; 
 ok1=0; 
 } 
 else 
 t=t+1; 
 if (k>n) 
 { 
 printf("\n"); 
 printf("** MA TRAN SUY BIEN **"); 
 ok2=0; 
 d=0.0; 
 } 
176
 } 
 if (r[i][i]!=0) 
 { 
 c=r[i][i]; 
 for (j=i+1;j<=n;j++) 
 r[i][j]=r[i][j]/c; 
 for (t=i+1;t<=n;t++) 
 { 
 c=r[t][i]; 
 for (j=i+1;j<=n;j++) 
 r[t][j]=r[t][j]-r[i][j]*c; 
 } 
 } 
 i=i+1; 
 } 
 if (ok2) 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 d=d*r[i][i]; 
 delta[k]=d; 
 } 
 if (delta[0]==0.0) 
 printf("He da cho vo nghiem\n"); 
 else 
 { 
 printf("\nNGHIEM CUA HE :\n"); 
 printf("\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 { 
 x[i]=delta[i]/delta[0]; 
 printf("x[%d] = %10.5f\n",i,x[i]); 
 } 
 } 
 getch(); 
 } 
Đ8. Hệ ph−ơng trình số phức 
 Giả sử ta có một hệ ph−ơng trình dạng số phức dạng AX = B trong đó A = C + jD , B 
= E +jF và X = Y + jZ . Ta viết lại ph−ơng trình d−ới dạng : 
 (C + jD)(Y + jZ) = (E +jF) 
Nhân biểu thức về trái và cân bằng phần thực với phần thực và phần ảo với phần ảo ta 
nhận đ−ợc hệ mới : 
 ⎩⎨
⎧ + F = CZ DY E =DZ - CY 
Nh− vậy chúng ta nhận đ−ợc một hệ gồm 2n ph−ơng trình số thực . Giải hệ này và kết hợp 
các phần thực à phần ảo ta nhận đ−ợc nghiệm của hệ ph−ơng trình ban đầu . Ch−ơng trình 
giải hệ ph−ơng trình nh− vậy cho ở d−ới đây : 
177
Ch−ơng trình 10-10 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define max 20 
void main() 
 { 
 int i,j,k,l,n,m; 
 float s,t,a[max][max],b[max][max],x[max]; 
 clrscr(); 
 printf("Cho so an so cua phuong trinh n = "); 
 scanf("%d",&n); 
 printf("Cho phan thuc cua cac he so,ke ca ve phai\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 for (j=1;j<=n+1;j++) 
 { 
 printf("a[%d][%d] = ",i,j); 
 scanf("%f",&a[i][j]); 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Cho phan ao cua cac he so,ke ca ve phai\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 for (j=1;j<=n+1;j++) 
 { 
 printf("b[%d][%d] = ",i,j); 
 scanf("%f",&b[i][j]); 
 } 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 a[i][2*n+1]=a[i][n+1]; 
 for (i=n+1;i<=2*n;i++) 
 a[i][2*n+1]=b[i-n][n+1]; 
 for (i=n+1;i<=2*n;i++) 
 for (j=1;j<=n;j++) 
 a[i][j]=b[i-n][j]; 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 for (j=n+1;j<=2*n;j++) 
 a[i][j]=-b[i][j-n]; 
 for (i=n+1;i<=2*n;i++) 
 for (j=n+1;j<=2*n;j++) 
 a[i][j]=a[i-n][j-n]; 
 m=2*n; 
 for (k=1;k<=m-1;k++) 
 { 
 s=0.0; 
178
 for (i=k;i<=m;i++) 
 { 
 t=fabs(a[i][k]); 
 if (s<=t) 
 { 
 s=t; 
 l=i; 
 } 
 } 
 for (j=k;j<=m+1;j++) 
 { 
 s=a[k][j]; 
 a[k][j]=a[l][j]; 
 a[l][j]=s; 
 } 
 if (fabs(a[k][k]/a[1][1])<=1e-08) 
 { 
 printf("Ma tran suy bien\n"); 
 getch(); 
 exit(1); 
 } 
 for (i=k+1;i<=m;i++) 
 { 
 s=a[i][k]/a[k][k]; 
 a[i][k]=0.0; 
 for (j=k+1;j<=m+1;j++) 
 a[i][j]-=s*a[k][j]; 
 } 
 } 
 x[m]=a[m][m+1]/a[m][m]; 
 for (i=m-1;i>=1;i--) 
 { 
 s=a[i][m+1]; 
 for (j=i+1;j<=m;j++) 
 s-=a[i][j]*x[j]; 
 x[i]=s/a[i][i]; 
 } 
 printf("\n"); 
 printf("Nghiem phuc cua he\n"); 
 for (i=1;i<=n;i++) 
 if (x[i+n]<0) 
 printf("%10.5f-%10.5fj\n",x[i],fabs(x[i+n])); 
 else 
 printf("%10.5f+%10.5fj\n",x[i],x[i+n]); 
 getch(); 
 } 
 Dùng ch−ơng trình này giải hệ ph−ơng trình : 
179
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 7 2 4 1 3 4 2 8 36
5 6 2 5 3 4 10
4 5 1 2 5 6 13 3
2 4 1 2 3 10 6
+ + − + + − + + = +
− + + + − + = +
+ + + + − − + = −
+ + − + − = − +
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
j x j y j z j r j
j x j z j r j
j x j y j z r j
j x j y j r j
Ta nhận đ−ợc các nghiệm x = 2 + 3j ; y = 1 - 2j ; z = -1 + 4j và r = 1- j 
 Ngoài các ph−ơng pháp nêu trên ta thấy rằng từ hệ ph−ơng trình AX = B ta có thể tìm 
nghiệm X của hệ bằng cách viết lại ph−ơng trình d−ới dạng X = B/A =A-1B với A-1 là ma 
trận nghịch đảo của A . Do vậy tr−ớc hết ta cần tìm A-1 và sau đó tính tích A-1B.