Điều khiển máy bay bằng phương pháp backstepping

uật không tuyến tính ổn định, và trong một xác minh có ích, nó có thể được giữ lại trong hệ thống lặp đóng. Điều này dẫn đến độ chắc chắn trong lỗi của mô hình và tác động điều khiển ít hơn có thể cần để điều khiển hệ thống.
Một điểm yếu của backstepping cũng như là phản hồi tuyến tính là chúng thiếu hỗ trợ để đối mặt với sự dư thừa bộ dẫn động. Các định luật điều khiển chỉ ra tác động điều khiển nào cần phải thực hiện, nhưng không phải làm thế nào để thực hiện nó. Vì lý do trình diển, cũng như lý do an toàn, máy bay hiện đại thông thường bị quá dẫn động trong trường hợp có một vài kết hợp của độ lệch điều khiển bề mặt sẽ cho ra phản hồi tương tự.
Trong tài liệu này, chúng em giới thiệu một sự thay thế cho bộ điều khiển riêng rẽ, một bộ điều khiển backstepping được dùng để đạt được cân bằng toàn cục với điều khiển lặp nội bao gồm tỉ lệ góc của máy bay và điều khiển lặp ngoại bao gồm góc tấn công, góc trượt và góc bên mà không có giả sử đo hai lần để phân tách đặc tính động chậm và nhanh, sau đó một bộ điều khiển bám vận tốc riêng biệt sử dụng backstepping bậc một được đề cập.
MÔ HÌNH MÁY BAY
Trong mô hình dưới đây, nz, hay tốc độ góc, q, tạo ra biến điều khiển thích hợp theo chiều dọc. nz cũng được biết như là nhân tố tải, là gia tốc được kinh nghiệm trực tiếp bởi người phi công. Nó được biểu thị như bội số của gia tốc trọng trường g. nz ghép đôi với góc tấn công, α, xuất hiện tự nhiên trong biểu thức mô tác đặc tính động của máy bay. Vì thế góc tấn công trong thiết kế điều khiển cũng thông thường, trong trường hợp riêng cho tiếp cận không tuyến tính.
Trong hướng ở bên, tỉ lệ quay và trượt hệ thống điều khiển được phân bổ. Góc trượt, β, được chỉ ra ở hình. Thông thường, β = 0 được mong muốn vì thế máy bay bay thẳng theo chiều gió với vận tốc zero dọc theo trục y của máy bay. Tuy nhiên, có những trường hợp mà góc trượt là cần thiết, như khi hạ cánh trong khi bù của gió mặt bên.
Vật thể điều khiển và định nghĩa hệ thống tọa độ, trong hình cả α và β đều dương
Với tỉ lệ quay điều khiển hệ thống, phải chọn lựa một hệ trục để vật thể có thể quay xung quanh. Trước hết ta xem xét một lựa chọn dễ quan sát nhất là trục x của thân, xb. Xem xét góc quay 90 độ, chúng ta nhận ra góc tấn công khởi tạo sẽ trở thành góc trượt tại điểm cuối của sự xoay và ngược lại. Góc tấn công lớn không được cho phép, trong khi góc trượt lớn nhất có thể chấp nhận trong khi xoay là từ 3 đến 5 độ. Để loại bỏ ảnh hưởng này, chúng ta có thể cài đặt xoay quanh trục x của gió, xw. α và β không thay đổi trong suốt quá trình xoay. Điều này được biết như vector vận tốc xoay. Với giả sử thông thường rằng một sự xoay được thực hiện tại góc trượt zero, điều này tương đương với một sự quay cân bằng trục, được thực hiện quanh trục x ổn đinh, xs. Trong trường hợp này, vận tốc góc ps là một biến điều khiển.
ĐẶC TÍNH ĐỘNG CỦA MÁY BAY
Chúng ta giả sử rằng Trái Đất phẳng và cố định, và máy bay là một khối rắn. Đặc tính động có thể được mô tả bởi mô hình không gian trạng thái với 12 trạng thái bao gồm:
p = (pN pE h)T, vị trí của máy bay trong hệ tọa độ Trái Đất;
V = (u v w)T, vector vận tốc biểu thị hệ tọa độ thân máy bay;
Φ = (φ θ ψ)T, góc Euler mô tả hướng của máy bay;
ω = (p q r)T, vận tốc góc của máy bay;
Nhiệm vụ của điều khiển vị trí máy bay p thông thường được để lại hoàn toàn cho phi công. Điều duy nhất kết nối p với những biến trạng thái khác là thông qua độ cao phụ thuộc vào áp lực khí động học. Vì thế độ cao biến đổi chậm hơn những biến còn lại, nó có thể được xem như là một hằng số trong suốt thiết kế điều khiển, Vì vậy vị trí động học sẽ không được bàn đến ở đây.
Biểu thức chi phối ba vector trạng thái còn lại có thể được viết như sau:
	Biểu thức lực
	Biểu thức momen
	Biểu thức độ cao
với
m là khối lượng máy bay và I là ma trận momen quán tính. Biểu thức lực và momen sau ứng dụng định luật 2 Newton và biểu thức độ cao mở rộng từ quan hệ giữa hệ trục Trái Đất và thân máy bay.
F và M đại diện cho tổng lực và moomen, tác động trên máy bay tại trung tâm của trọng lực. Những lực này và momen xuất phát từ 3 nguồn chính, đó là
trọng lực
lực của máy bay
ảnh hưởng khí động học
Ta có:
F = FG + FE + FA
M = ME + MA
ta sẽ khảo sát mỗi thành phần trên và biễu diễn chúng trên hệ trục tọa độ
Trọng lực
Trọng lực chỉ đưa ra một phân bố lực vì nó tác động lên máy bay tại trung tâm của trọng lực. Điều này cho ta:
Lực của máy bay
Lực của máy bay được kí hiệu là FT.
Cũng giả sử là động cơ được cài đặt sao cho điểm đẩy nằm trên mặt phẳng xz của thân máy bay, độ lệch từ trung tâm của trọng lực bởi ZTP trên trục z của hệ trục thân máy bay dẫn đến
Ảnh hưởng của khí động học
Ảnh hưởng của khí động học phụ thuộc vào tương tác giữa thân máy bay và dòng khí tới. Kích thước và hướng của ảnh hưởng khí động học được xác định bởi khối lượng khí bị lệch hướng bởi máy bay theo những hướng khác nhau. Khối lượng khí bị lệch hướng được quyết định bởi:
tốc độ và khối lượng riêng không khí (VT, ρ);
hình dạng của máy bay (δ, S, c, b);
hướng của máy bay liên quan đến dòng khí (α, β);
Áp lực khí động học
q = 0.5ρ(h)VT2
so sánh sự phụ thuộc của mật độ không khí và sự phụ thuộc phần lớn của tốc độ, S là diện tích cánh, và l đề cập đến chiều dài của cánh liên kết với momen. CF và Cm là hệ số khí động học. Chúng khó được tính toán chính xác nhưng có thể ước lượng và được viết bởi một tổng những phần tử, mỗi cái so sánh sự phụ thuộc của một hay nhiều biến ở trên.
Trong hệ trục tọa độ gắn với thân máy bay, ta có biểu thức
Chúng được minh họa trên hình sau. Lực khí động học cũng được biểu diển trên hệ trục tọa độ gió, ta có:
với hệ số nâng và lực bên, CL và CY phụ thuộc phần lớn vào α và β.
Mô hình cho điều khiển
Chúng ta sẽ thu thập công thức từ phần trước và viết kết quả trọng một mẫu phù hợp cho thiết kế điều khiên, được đặt tên như một hệ thống của công thức tích phân bậc một.
Hệ số động học CL và Cm như là hàm của α và δes. Ở hình dưới, vùng tô đậm đại diện cho sự phụ thuộc và δes.
Khai triển biểu thức ta có
Ở đây ta có:
Ở mục trước, α, β, và VT được đề cập như là biến điều khiển thích hợp. Chúng ta có thể viết lại biểu thức lực trong điều kiện những biến này được thực hiện những thay đổi sau trong biến.
Điều này cho ta:
với biểu thức trọng lực được cho bởi
Một tiếp cận thông thường với thiết kế điều khiển máy bay là điều khiển theo chiều dọc và chuyển động bên riêng biệt. Nếu không có chuyển động bên, biểu thức dọc trở thành
Ở đây, γ = θ – α là góc đường bay xác định bởi hướng của vector lực được chi ra trong hình sau
ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING
Lý thuyết
Cho hệ thống 
Với là các biến trạng thái và ngõ vào
Giả sử một luật điều khiển ảo sao cho 0 là một điểm cân bằng ổn định tiệm cận toàn cục của hệ thống.
Cho là một hàm điều khiển Lyapunov cho hệ con sao cho
Hàm điều khiển Lyapunov cho cả hệ thống là
Hơn nữa, luật điều khiển ổn định toàn cục thỏa mãn
là
Ví dụ
Cho hệ thống 
Giả sử coi là luật điều khiển ảo cho , viết lại phương trình (1)
Phương trình (3) là hệ thống bậc một với là ngõ vào. Chọn phương trình Lyapunov là
Theo đó,
Chọn thì 
Đặt
Phương trình (1) trở thành
Đạo hàm phương trình (5) kết hợp với phương trình (6) được
Phương trình Lyapunov tổng hợp:
Theo đó
Nếu 
thì
là số âm và được điều chỉnh về tiệm cận. Khi đó cũng đi tiệm cận về 0 để thỏa mãn phương trình (5)
Luật điều khiển để đưa và về 0 tiệm cận bằng phương pháp thiết kế Backstepping là
ÁP DỤNG BACKSTEPPING CHO THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BAY
Mục tiêu điều khiển
VT=VD
Để đơn giản, ta chỉ xét trường hợp điều khiển một biến như trên, do đó các thông số khác là hằng số. Ta có các phương trình sau:
Đặt 
Đặt
Từ cách đặt này, ta chuyển các phương trình động học ở trên về dạng
Trong trường hợp điều khiển , hàm sẽ chứa các thành phần âm như -L, có giá trị âm trong phần lớn miền hoạt động. Điểm then chốt của backstepping là chúng ta tận dụng được các hàm điều khiển ổn định sẵn có nếu ta không dừng các hàm đó, do vậy ta sẽ cần ít thông tin hơn, điều này khá quan trọng trong việc giữ tính bền vững cho hệ thống điều khiển.
Các bước thiết kế:
Bước 1: Ta tìm một biến điều khiển ảo cho hệ thống là phương trình (1). Không mất tính tổng quát, ta chọn biến ảo là x2, với luật điều khiển như sau:
Ta chọn tạm hàm Lyapunov . Để ổn định tại x1=0, cần thỏa điều kiện
Bước 2: 
Ta đặt 
Sau đó viết lại hệ phương trình (1), (2) như sau
Chọn hàm Lyapunov như sau
Với F(x1) là một hàm Lyapunov cho hệ thống của (1). Tức là 
Với U(x1) là xác định dương, Đạo hàm V theo thời gian, ta có
Có thể giảm độ phức tạp vế sau bằng cách chọn F sao cho trong ngoặc nhọn tự triệt tiêu nhau.
Suy ra
Để thì ψ phải thỏa mãn 
Ta có
Để thì u dương, làm mất ổn định vế. Nếu có giói hạn trên, u có thể chọn tuyến tính với .
Chọn
Với 
Làm cho 
Sơ đồ ổn định hóa
Sau tính toán, ta được luật điều khiển
Với
KẾT QUẢ THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG
Một số điều kiện giới hạn:
Lực đẩy FT của máy bay bị giới hạn, có giá trị tối đa là 12mg 
Do lực đẩy này bị giới hạn nên tốc độ đặt sẽ bị giới hạn.
Ta mô phỏng trong các trường hợp sau
Vận tốc đặt là hằng số
Vận tốc đặt VD=100m/s ; 
Trường hợp vận tốc đặt là 200(m/s), 
Vậy khi tốc độ đặt cao và góc khá nhỏ, kết quả điều khiển sẽ kém nhiều.
Vận tốc đặt thay đổi
Nhận xét: ta thấy, khi vận tốc thay đổi đột ngột, thì mô hình vẫn có thể bám khá tốt.
Trường hợp vận tốc đặt là hàm dốc
Nhận xét: khi là hàm dốc thì bộ điều khiển cơ bản bám khá tốt nhưng có một số thời điểm dao động khá lớn.
Kết luận
Nhóm đã tìm hiểu sơ lược mô hình cơ bản của máy bay.
Tìm hiểu lý thuyết về backstepping và áp dụng thiết kế bộ điều khiển bay đơn giản
Hạn chế:
Mới chỉ dừng lại ở thiết kế bộ điều khiển bay đơn giản, kiểm soát được ít thông số.
Một số thông số thiết kế mô hình còn chưa rõ ràng về số liệu.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ola H¨arkegard, Flight Control Design Using Backstepping.
F. Gavilan, R. Vazquez, A. Acosta, Output-Feedback Control of the Longitudinal light Dynamics Using Adaptative Backstepping
Nguyễn Thị Phương Hà, Huỳnh Thái Hoàng, Lý thuyết điều khiển nâng cao