Đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc

ng bộ ba số là 
Vậy . 
Câu 2: Tồn tại hay không một ma trận thực vuông cấp sao cho 
 .
/ 
Giải: 
Cách 1: Giả sử tồn tại ma trận thỏa mãn yêu cầu đề bài. Kí hiệu ( ) là đa thức đặc trưng của ma trận . 
Theo định lí Caley-Hamilton ta có: 
 (1đ) 
Bằng quy nạp: (1đ) 
1/ Xét : . Khi đó 
.
/ .
/ ( ) (1đ) 
2/ Xét : 
Đặt .
/, từ giả thiết suy ra . Vậy 
 (
) (1đ) => 
 ( ) 
(1đ) 
Kết luận: không tồn tại ma trận thỏa mãn điều kiện bài Toán. 
Cách 2: Giả sử tồn tại ma trận thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đặt .
/ (1đ). Ta có: 
 (
 ( ) 
( ) 
) .
/ (1đ) 
Theo giả thiết, ta có: ( ) (1đ) 
1/ Xét : 
 (
 ( ) 
) .
/ (1đ) 
2/ Xét hay : khi đó 
mt 
11 
 .
/ .
/ (1đ) 
Kết luận: không tồn tại ma trận thỏa mãn điều kiện bài Toán. 
Câu 3: Cho là các ma trận vuông cấp sao cho giao hoán với và , (ma trận đơn vị) và 
 ( ) 
a) Chứng minh rằng 
b) Nếu có thêm điều kiện hãy chứng tỏ ( ) ( ) 
Giải: 
a) Theo giả thiết, ta có: 
 ( ) 0
( )10
( )1 
Suy ra 0
( )1 và 0
( )1 là nghịch đảo của nhau nên chúng giao hoán 
[
( )][
( )] [
( )][
( )] 
Nhân phân phối lại, ta được . 
b) Nếu có thêm điều kiện thì 
=> ( ) ( ) ( ) ( )( ) 
Ta có: 
 ( ) ( ) ,( ) ( )- 
 ( ) ( ) ,( )( )- 
Câu 4: Tính , trong đó 
(
 )
Giải: Đổi chỗ các dòng, cột, ta thấy ma trận đồng dạng với ma trận 
(
 )
Ma trận của phép biến đổi tuyến tính (không suy biến) là: 
(
 )
mt 
12 
Khi đó ma trận . Ta có ( ) 
Trong đó (
) .
/ 
Ta có ( ) . Do đó 
(
 )
Câu 5: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp sao cho với mọi ma trận vuông cấp , ta đều có ( 
 ) 
Giải: 
Chọn ma trận , ta có ( ) => ( ) => do ( ). 
Giả sử ( ) , ta chọn ma trận tam giác trên 
( ) 
{
 ( ) 
 ( ) 
 ( )
Khi đó ta thu được . Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử bất kì của về vị trí góc 
trái trên cùng và lặp lại phép chứng minh trên ta được . 
Vậy ma trận cần tìm là ma trận . 
Câu 6: Thí sinh chọn một trong hai câu sau: 
a) Giải hệ phương trình: 
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
2 2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
     
       

      

      
      

      
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
b) Ứng với mỗi đa thức ( ) với hệ số thực và có nhiều hơn một nghiệm thực, gọi ( ) là khoảng cách 
nhỏ nhất giữa hai nghiệm thực bất kì của nó. Giả sử các đa thức với hệ số thực ( ) và ( ) ( ) 
đều có bậc và có nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng ( ) ( ) 
Giải: 
a) Từ hai phương trình đầu: Từ phương trình 3, 4: 
=> 
Từ phương trình 1, 3: . Từ phương trình 2, 4: 
=> 
Vậy ta có => 
mt 
13 
b) Gọi nghiệm của ( ) là sao cho . Ta chứng minh bằng phương pháp 
phản chứng. Giả sử ( ) ( ) trong đó là hai nghiệm gần nhau nhất trong số các 
nghiệm của ( ) ( ). Khi đó không là nghiệm của ( ) nên 
 ( )
 ( )
 ( )
 ( )
 ( ) 
Đặt ( ) ( )( ) ( ). Suy ra 
 ( )
 ( )
 ∑
 ( ) 
Dễ dàng nhận thấy hàm số 
 ( )
 ( )
 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Kết hợp với ( ) suy ra 
tồn tại duy nhất sao cho ( ). Khi đó Hay . 
Dễ dàng kiểm tra được ( )( ) và do đó 
Như vậy, ta có 
 ( )
 ( )
 ∑
∑
 ( ) 
mt 
14 
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVIII NĂM 2010 
Môn thi: Đại số 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu 1: Cho là các ma trận vuông cấp với hệ số thực sao cho 
 ( ) ( ) ( ) 
a) Chứng minh rằng ( ) . 
b) Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có 
 ( ) ( ) ( ) 
Giải: 
a) Nhận xét rằng định thức ( ) ( ) là một đa thức bậc của có nghiệm nên 
 ( ) . Định thức ( ) ( ) cũng là đa thức bậc của . Mà ( ) ( ) 
 . Do đó ta cũng có ( ) . 
- Với thì ( ) 
- Với thì ( ) ( ) ( ) 
- Với thì ( ) ( ) ( ) 
- Với thì ta có ( ) . 
 / .
/ 
Vậy ( ) . 
b) Chọn ( ) 
(
 )
 và 
Khi đó ( ) ( ) ( ) nhưng ( ) 
Câu 2: Cho * + * + * + là các dãy số thực được xác định bởi và 
{
Chứng minh rằng là số nguyên chia hết cho 
 . 
Giải: 
Đặt (
) (
) ( ). Ta có => 
Đa thức đặc trưng của là: ( ) ( )( ). Do đó chéo hóa được và 
 (
)(
)(
) 
Suy ra : 
Tính toán ta được 
 . 
mt 
15 
Câu 3: 
a) Chứng minh rằng ứng với mỗi số nguyên dương, biểu thức có thể biểu diễn dưới dạng 
đa thức ( ) bậc không quá của các biến . 
b) Hãy tìm tổng các hệ số của đa thức ( ). 
Giải: 
a) Ta chứng minh đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) là đa thức bậc 
không quá của các biến 
- Với : ( ) 
- Với : ( ) 
- Với : ( ) 
- Giả sử đẳng thức đúng với , ta chứng minh nó cũng đúng với , tức là 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có các đa thức ( ) ( ) ( ) bậc không 
quá của các biến . Suy ra ( ) là các đa thức bậc không quá của các biến . 
b) Ta có ( ) 
 . Ta tìm tổng các hệ số của ( ) tức là tìm 
 ( ). Từ định lí Viete, là nghiệm của phương trình 
 . Từ đó chỉ việc 
chọn , ta được ( ) . 
Câu 4: Xác định các đa thức thực ( ) thỏa mãn điều kiện 
 ( ) ( ) ( ) 
Giải: Ta nhận thấy đa thức hằng ( ) và ( ) thỏa mãn bài Toán. Ta chứng minh các đa thức bậc 
dương không thỏa. Chú ý rằng đẳngthức trong bài Toán cũng đúng với giá trị phức. 
Giả sử là một nghiệm (thực hoặc phức) của ( ). Nếu thì ( ) 
 ( ), trong đó ( ) 
Thế vào điều kiện đã cho, ta thu được: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Điều này mâu thuẫn ( ) 
Vậy . Ta có thể giả thiết modulo | | có giá trị lớn nhất trong các nghiệm của ( ). Khi đó 
và √( )
 √ cũng là nghiệm. Do đó | 
 | | | và |√( )
 √ | 
Đặt : 
| 
 | | | 
 ( ) ( ) 
Thay vào tiếp, ta lại có ( ) 
|√( )
 √ | 
 ,( ) - 
 ( )( ) ( ) ( ) 
mt 
16 
Theo ( ), ta có: 
*( 
)
+ 
Mâu thuẫn với ( ). 
Câu 5: Chọn một trong hai câu sau: 
5a) Cho là ma trận thực, vuông cấp , có vết là và . Tìm đa thức đặc trưng và đa thức 
tối tiểu của . 
5b) Cho là các ma trận thực, vuông cấp , trong đó khả nghịch và đồng thời giao hoán . Giả sử 
 ( ) . Chứng minh giao hoán với nhau. 
Giải: 
5a) Cách 1: Tính trực tiếp 
Vì nên tồn tại vector khác sao cho các vector dòng còn lại đều biểu diễn tuyến tính được qua nó. 
Do đó ma trận có dạng sau: 
(
 )
Đặt 
(
 )
(
 )
 . 
Khi đó và 
• Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Vậy đa thức tối tiểu của là ( ) . 
• Tính định thức ( ) ( ) 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mt 
17 
|
|
|
|
|
|
|
|
Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng: 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Vậy đa thức đặc trưng của là ( ) ( ) 
Cách 2: Vì hay ( ) nên có đúng vector riêng ứng với . Do vậy mà giá trị 
riêng còn lại là một số thực. Từ đó chéo hóa được và trên đường chéo chỉ có một phần rử khác là .Suy ra 
ngay đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu. 
5b) Từ giả thiết, suy ra ( ) hay ( )( ) 
Do khả nghịch và đồng thời giao hoán cả nên ( )( ) ( ) ( ) 
Suy ra ( ) ( ) là nghịch đảo của nhau nên 
 ( ) ( ) ( )( ) 
 ( )( ) 
 ( ) 
Vậy ( ) ( ) tức . 
mt 
18 
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIX NĂM 2011 
Môn thi: Đại số 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: Xét không gian trên trường số thực , chứng minh rằng tập hợp * 
+ độc lập tuyến tính trong 
không gian các hàm liên tục ( ) 
Giải: Giả sử ta có hệ thức tuyến tính: 
 (2đ) 
Chia 2 vế cho 
 và lấy giới hạn suy ra 
Quy nạp được . (3đ) 
Bài 2: Cho 3 dãy số * + * + * + xác định như sau: và {
 . Tính . 
Giải: Đặt (
) (
) Khi đó 
 (1đ) 
Đa thức đặc trưng của là ( ) ( )( )( ) nên có 3 gtr (1đ) 
Cách 1: ( ) ( ) suy ra (1đ) 
Lập hpt cho bằng cách thay các giá trị đặc biệt của t và giải ta tìm được ( 
 ) (1đ) 
Suy ra 
( ) (1đ) 
Cách 2: Chéo hóa kèm ma trận biến đổi cơ sở (2đ) 
Tính (1đ) 
Bài 3: Cho các ma trận thực vuông cùng cấp . Đặt . Chứng minh rằng nếu ma trận giao 
hoán với cả hai ma trận và thì tồn tại số nguyên dương sao cho (với là ma trận không cấp ) 
Giải: 
* Chứng minh quy nạp ( ) (2đ) 
Với : ok 
Giả sử ta có , ta chứng minh ( ) 
Thật vậy 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
* Lấy ( ) 
 là đa thức bậc bất kì. 
Ta có ( ) 
 ( ) 
Từ ( ) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) (1đ) 
mt 
19 
Xét đa thức đặc trưng của : ( ) ( ) 
Ta có ( ) (2đ) 
Theo ( ) ta có ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
Lại chọn ( ) ( ) và nhờ vào tính giao hoán của , ta có ( ) ( ) ( ) 
Tiếp tục quá trình này ta được: ( )
 . 
Bài 4: Tìm điều kiện cần và đủ đối với các tham số sao cho nếu đa thức ( ) bậc có n nghiệm 
thực (kể cả bội) thì đa thức ( ) ( ) ( ) cũng có nghiệm thực. 
Giải: 
 * Điều kiện cần: lấy ( ) suy ra hoặc 
 ⁄ 
 ⁄ (1đ) 
Qua giới hạn suy ra (1đ) 
* Điều kiện đủ: bổ đề ( ) ( ) ( ) có đủ nghiệm thực (1đ) 
Để chứng minh, xét ( ) 
 ( ) cũng có nghiệm thực, nên ( ) có nghiệm thực nên ( ) có 
 nghiệm thực. (1đ) 
Áp dụng lần nữa, ( ) ( ) có nghiệm thực từ đó chọn thích hợp để là điều kiện 
đủ. (1đ) 
Bài 5: Hai sinh viên A và B chơi trò chơi như sau: Cho một bảng vuông ô, . Mỗi lượt, A chọn một số 
nguyên điền vào vị trí ( ) nào đó (tùy chọn nhưng không lặp lại). Sau đó B được quyền chỉnh sửa giá trị đó 
bằng cách giữ nguyên hoặc thêm bớt 1 đơn vị. Trò chơi kết thúc sau khi điền xong bảng để nhận được ma trận 
 . B khẳng định luôn có cách để nhận được ma trận khả nghịch và không có điểm bất động (tức là không có 
vector để ). 
Khẳng định của B đúng hay sai? Hãy chứng minh nhận định của bạn. 
Giải: B chọn ( ) ( ) . (2đ) 
| | ( ) ( ) (1đ) 
Nếu có vector riêng tương ứng với 1 thì có thể chọn nên vector đồng dư ̅ (tức là các 
phần tử đều lấy mod 3) là vector riêng (1đ) 
Nhưng | | chỉ có giá trị riêng là . (1đ) 
Bài 6: Thí sinh chọn một trong hai câu sau: 
6a. Tìm điều kiện của các tham số để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 
{
 ( ) ( 
 ) ( 
 ) ( 
 ) 
( ) ( 
 ) ( 
 ) ( 
 ) 
( ) ( 
 ) ( 
 ) ( 
 ) 
( ) ( 
 ) ( 
 ) ( 
 ) 
6b. Cho ma trận .
/. Hãy tính 
mt 
20 
Giải: 
6a) Định thức tương ứng bằng 
 (
) (
) (
) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Trong đó , ( )( )( )( )- => đôi một phân biệt (1đ) 
6b) Cách 1: √ (
) (2đ) => √ 
(
) (2đ) 
=> (1đ) 
Cách 2: 
Đặt .
/ .
/ => 
.
/ 
Khi đó: 
 .
/ (
( ) 
 ( ) 
)
.
/ √ 
.
/ .
/ √ 
=>