Đề thi học kỳ I môn Giải tích 1 - Ca 3 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.
Môn học: Giải tích 1.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 3
Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim
x→0
√
1 + 2 t a n x− ex + x2
a r c s in x− s in x .
Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong y = e
1
x .
Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y =
s in 2 x
s in 3 x
.
Câu 4 : Tính tích phân suy rộng
∫ +∞
2
dx
x · √x2 + x− 1
Câu 5 : Giải phương trình vi phân ( x2 − 3 y2 ) dx+ 2 xydy = 0 với điều kiện y ( 2 ) = 1 .
Câu 6 : Giải phương trình vi phân y′′ − 4 y′ + 4 y = c o s h ( x ) .
Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trị riêng, véctơ riêng.


dx
dt
= 4 x + y + z
dy
dt
= 2 x + 5 y + 2 z
dz
dt
= x + y + 4 z
Câu 1(1 điểm). Khai triển:
√
1 + 2 t a n x− ex + x2 = 2x3
3
+ o( x3 ) ; a r c s in x− s in x = x3
3
+ o( x3 )
→ I = lim
x→0
√
1 + 2 t a n x− ex + x2
a r c s in x− s in x = limx→0
2x3
3
+ o( x3 )
x3
3
+ o( x3 )
= 2 .
Câu 2(1.5 điểm). Tập xác định x = 0 , đạo hàm: y′ = − 1
x2
e1/x
→ y′ ≤ 0 ∀x = 0 . Hàm giảm trên toàn mxđ, không có cực trị
lim
x→0+
e1/x = +∞, lim
x→0−
e1/x = 0 , tiệm cận đứng x = 0 , lim
x→∞
e1/x = 1 , tiệm cận ngang y = 1 .
Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ.
Câu 3(1.5đ). Miền xác định x = kπ
3
, k ∈ Z. Điểm gián đoạn loại 1, khử được: x = mπ; điểm gián
đoạn loại 2: x =
kπ
3
, k không chia hết cho 3 .
Câu 4 (1.5đ) Đặt
√
x2 + x− 1 = t+ x→ x = t
2 + 1
1 − 2 t → dx =
−2 ( t2 − t− 1 ) dt
( 2 t− 1 ) 2 .
Đổi cận: t =
√
x2 + x− 1 − x;x = 2 → t = √5 − 2 , x = +∞ → t = lim
x→+∞
(
√
x2 + x− 1 − x) = 1
2
−→ I =
∫ 1/2
√
5−2
2 dt
t2 + 1
= a r c t a n
1
2
Câu 5(1.5đ). 2 y′ = 3
y
x
− x
y
, đặt u =
y
x
, → y′ = u+ xu′ → 2 u
u2 − 1 du =
dx
x
→ ln |u2 − 1 | = ln |x|+ ln C ⇔ |u2 − 1 | = C|x| ⇔ u2 − 1 = C1x⇔ y2 = C1x3 + x2
1 -CA 3.
Điều kiện y ( 2 ) = 1 ⇔ C1 = − 8
3
. Nghiệm của ptrình: y2 +
8 x3
3
− x2 = 0
Câu 6(1.5đ). Ptrình đặc trưng k2 − 4 k + 4 = 0 ⇔ k = 4 → y0 = C1e2x + C2 · x · e2x.
Tìm nghiệm riêng: yr = yr1 + yr2 , với yr1 =
ex
2
là nghiệm riêng của y′′ − 4 y′ + 4 y = e
x
2
;
yr2 =
e−x
1 8
là nghiệm riêng của y′′ − 2 y′ + y = e
−x
2
. Kết luận: ytq = y0 + yr1 + yr2 .
Câu 7(1.5đ). Ma trận A =


4 1 1
2 5 2
1 1 4

. Chéo hóa A = PDP−1,
với P =


1 − 1 − 1
2 1 0
1 0 1

,D =


7 0 0
0 3 0
0 0 3

,
Hệ phương trình X ′ = A ·X ⇔ X ′ = PDP−1X ⇔ P−1X ′ = DP−1X ,đặt X = P−1Y , có hệ
Y
′
= DY ⇔ y′1 = 7 y1; y′2 = 3 y2; y′3 = 3 y3 → y1 ( t) = C1e7t; y2 ( t) = C2e3t; y3 ( t) = C3e3t
Kluận: X = PY ⇔ x1 ( t) = C1e7t − C2e3t − C3e3t; x2 ( t) = 2 C1e7t + C2e3t;x3 ( t) = C1e7t + C3e3t
2 -CA 3.