Đề thi học kỳ I môn Giải tích 1 - Ca 2 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.
Môn học: Giải tích 1.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 2
Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim
x→0
s in x− ln ( s in x+
√
1 + x2 )
t a n x− x c o s 2 x .
Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong y = ( 1 + x)
1
1+x .
Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y = lg ( x2 + 3 x ) .
Câu 4 : Giải phương trình vi phân y′ − y
x
= − ln x
x
với điều kiện y ( 1 ) = 1 .
Câu 5 : Giải phương trình vi phân y′′ − 2 y′ + y = s in h ( 2 x) .
Câu 6 : Tính tích phân suy rộng
∫ +∞
1
dx
x13/3 · 3
√
1 + x2
Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trị riêng, véctơ riêng.


dx
dt
= 5 x + y + z
dy
dt
= 2 x + 6 y + 2 z
dz
dt
= x + y + 5 z
Đáp án
Câu 1(.5 điểm). Khai triển: s in x+ ln ( s in x+
√
( 1 + x2 ) = x
3
6
+ o( x3 ) ; t a n x− x c o s 2 x = 4x3
3
+ o( x3 )
→ I = lim
x→0
s in x+ ln ( s in x+
√
( 1 + x2 )
t a n x− x c o s 2 x = limx→0
x3
6
+ o( x3 )
4x3
3
+ o( x3 )
=
1
8
.
Câu 2(1.5 điểm). Tập xác định x > − 1 , đạo hàm: y′ = ( 1 + x ) 1/(x+1) · 1
(1+x)2
( 1 − ln ( x+ 1 ) )
→ y′ ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e − 1 . Hàm tăng trên ( 0 , e − 1 ) , giảm trên ( e − 1 ,+∞ ) , cực đại tại
x = e− 1 , fcd = e1/e
lim
x→−1+
( x+ 1 ) 1/(x+1) = 0 , không có tiệm cận đứng, lim
x→+∞
( x+ 1 ) 1/(x+1) = 1 , tiệm cận ngang y = 1 .
Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ.
Câu 3(1.0đ). Miền xác định x 0 , y liên tục trên toàn MXĐ, không có điểm gián đoạn.
Câu 4(1.5đ). y = e−
∫
p(x)dx
(∫
q ( x) · e
∫
p(x)dxdx+ C
)
;y = e
∫
1/xdx
(∫ − ln x
x
· e
∫
−1/xdxdx+ C
)
y = x
(∫ − ln x
x2
dx+ C
)
= x
(
ln x+1
x
+ C
)
; y ( 1 ) = 1 ⇔ C = 0 → y = ln x+ 1 .
Câu 5(1.5đ). Ptrình đặc trưng k2− 2 k+ 1 = 0 ⇔ k = 1 → y0 = C1ex+C2 ·x · ex. Tìm nghiệm riêng:
yr = yr1 + yr2 , với yr1 =
e2x
2
là nghiệm riêng của y′′ − 2 y′ + y = e
2x
2
yr2 =
−e−2x
1 8
là nghiệm riêng của y′′ − 2 y′ + y = −e
−2x
2
. Kết luận: ytq = y0 + yr1 + yr2 .
1 -CA 2.
Câu 6 (1.5đ)
∫ +∞
1
dx
3
√
x13 + x15
⇔
∫ +∞
1
dx
x5 3
√
1 + 1
x2
. Đặt t = 3
√
1 + 1
x2
⇔ t3 = 1 + 1
x2
I =
∫ 1
3
√
2
−3
2
t( t3 − 1 ) dt = − 3
2 0
· 3
√
4 +
9
2 0
Câu 7(1.5đ). Ma trận A =


3 1 1
2 4 2
1 1 3

. Chéo hóa A = PDP−1,
với P =


1 − 1 − 1
2 1 0
1 0 1

,D =


8 0 0
0 4 0
0 0 4

,
Hệ phương trình X ′ = A ·X ⇔ X ′ = PDP−1X ⇔ P−1X ′ = DP−1X ,đặt X = P−1Y , có hệ
Y
′
= DY ⇔ y′1 = 8 y1; y
′
2 = 4 y2; y
′
3 = 4 y3 → y1 ( t) = C1e8t; y2 ( t) = C2e4t; y3 ( t) = C3e4t
Kluận: X = PY ⇔ x1 ( t) = C1e8t − C2e4t − C3e4t; x2 ( t) = 2 C1e8t + C2e4t;x3 ( t) = C1e8t + C3e4t
2 -CA 2.