Đề thi học kỳ I môn Cơ sở tự động - Năm học 2011-2012 - Đại học Bách khoa TP. Hồ Chí Minh

 trữ biên và pha của hệ hở. (1 điểm) 
b) Hãy thiết kế khâu )(sGC 
để hệ kín sau hiệu chỉnh ổn định và có sai số xác lập không đổi so với khi 
chưa hiệu chỉnh. Xác định độ dự trữ biên và pha sau khi hiệu chỉnh? (1.5 điểm) 
Bài 3: (3.5 ñieåm) Cho heä thoáng ñieàu khieån coù sô ñoà khoái nhö hình 2. 
0.1
( )
0.1 1
se
G s
s



, ( )C
z a
G z K
z b



, 0.1secT  
a) Cho 0.5, 0a b   , xác định K để hệ kín ổn định? (0.75 điểm) 
b) Cho 0, 0.5a b   , xác định K để đáp ứng hệ kín có độ vọt lố bằng 9.5%? (0.75 điểm) 
c) Cho 5.0 ,5.0  ba , vẽ quỹ đạo nghiệm số khi  0K . (1 điểm) 
GC(z) 
r(k) 
y(k) 
+  G(s) 
Hình 2 
ZOH 
T 
GC(s) 
R(s) Y(s) 
+  
G(s) 
Hình 1 
d) Cho 0.5, 0.5, 1a b K    , ngõ vào r(k) là hàm nấc đơn vị, các điều kiện đầu bằng 0. Tính và vẽ đáp ứng 
ngõ ra y(k) (k=010). Xác định POT, tqđ(2%) ? (1 điểm) 
Bài 4: (3.5 ñieåm) Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân sau với các tham số ở bảng 1. 
 a
a a a b m a
m
m m m i a
di
L R i K v
dt
d
J B K i
dt




  

  

a) Xác định phương trình trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái, ngõ ra và ngõ vào như sau: 
1 2, , ,m a m ax x i y u v     . (0.5 điểm) 
b) Xác định luật điều khiển ( ) ( ) ( )u t r t Kx t 
để đáp ứng ngõ ra thỏa: POT = 9.5%, tqđ(5%) = 0.5 giây. 
Tính ngõ ra xác lập? Cho ngõ vào là hàm nấc đơn vị. (1.5 điểm) 
c) Cho luật điều khiển ˆ( ) ( ) ( )u t r t Kx t  với K tìm được ở câu b và ˆ( )x t là trạng thái ước lượng của ( )x t . 
Tính độ lợi của bộ ước lượng trạng thái biết rằng bộ ước lượng có các cực bằng 10. Viết phương trình 
trạng thái mô tả bộ ước lượng sau khi thiết kế (1.5 điểm) 
----------------------------------------------------------------------------- 
 (Heát) 
 CNBM 
Bảng 1. Giá trị tham số 
Tham số Giá trị Đơn vị 
Ra 2.000  
La 0.500 H 
Kb 0.015 --- 
Ki 0.015 --- 
Bm 0.200 Nms 
Jm 0.020 kg.m2 
 ĐÁP ÁN 
Câu 1: (2.5 điểm) 
1.a. (0.75 điểm) 
Xác định K để 10
v
K  
0 0
lim ( ) ( ) lim 10
( 5)( 10)
v c
s s
K
K G s G s
s s s 
  
 
10 500
50
v
K
K K    
(0.25 đ)
Phương trình đặc trưng: 
3 2
1 ( ) ( ) 0
500
1 0
( 5)( 10)
15 50 500 0
c
G s G s
s s s
s s s
 
 
 
   
( 13.9)( 0.51 5.96)( 0.51 5.96) 0s s j s j     
2/ 1
.100% 76.43%
0.085
4
5.98 7.84n s
POT e
t s
 



    
  
   

(0.5 đ)
1.b. (1.25 điểm) Thiết kế GC(s): 
2
exp 100% 9.5%
1
POT


 
  
   
4 4
2sec
0.6*
  s
n n
t
 
0.6
3.33
n



 
 
(0.25 đ)
Cặp cực quyết định: 
2
1,2 1 2 2.66      n ns j j   
(0.25 đ)
Để hệ thống sau hiệu chỉnh nhận cặp cực 1,2 2 2.66  s j là cực của hệ kín ta chọn bộ điều khiển sớm pha. 
(1 / )
( ) ( 1)
(1 / )

 

C C
s T
G s K
s T


Góc pha cần bù : 
* 0 0 0 0 0
0
180 arg arg( 5) arg( 10) 180 126.9 41.6 18.4
* 6.9
s s s

           

(0.25 đ) 
Từ điểm 1,2 2 2.66  s j kẻ nửa đường thẳng đến điểm zero 
1
4s
T
    ,từ đó ta kẻ tiếp nửa đường 
thắng tạo bởi góc cần bù 0* 6.9  ,cắt trục thực tại điểm cực B. Tính tọa độ cực 
1
s OB
T
    
Áp dụng phương pháp hình học 
1
4.55 4.55OB s
T
       (0.25 đ) 
Vậy : 
4
( )
4.55



C C
s
G s K
s 
 Tính KC : 
1
1
( ) ( ) 1
4 1
* 1
4.55 ( 5)( 10)
C s s
C
s s
G s G s
s
K
s s s s





  
121.6CK 
(0.25 đ) 
 Kết luận : 
4
( ) 121.6
4.55



C
s
G s
s
1.c. (0.5 điểm) Tính hệ số tốc độ sau hiệu chỉnh: 
0 0
4 1
lim ( ) ( ) lim121.6 * 2.14
( 4.55) ( 4)( 10)
V c
s s
s
K G s G s
s s s s 

  
  
(0.25 đ)
Nhận xét: Khâu hiệu chỉnh sớm pha cải thiện đáp ứng quá độ (độ vọt lố, thời gian quá độ giảm) nhưng lại 
có khuyết điểm là làm tăng sai số xác lập (hệ số vận tốc giảm). Để làm giảm sai số xác lập như phải sử dụng 
thêm khâu hiệu chỉnh trễ pha. (0.25 đ) 
Câu 2: (2.5 điểm) 
2.a (1.0 điểm) Xác định độ dự trữ biên và pha 
 Vẽ biểu đồ Bode : (0.5 đ) 
Hàm G(s) gồm các khâu 
+ Khâu tỉ lệ với K = 10 
+ Hai khâu quán tính bậc nhất có tần số gãy 1 = 1/T = 1/50 = 2*10
-2
 rad/sec 
+ Khâu trễ với T = 40 sec 
+ Công thức tính góc pha : 
 1( ) 2 (50 ) 40tg      
+ Khi  < 1  vẽ đường song song trục hoành có L() = 20 lgK = 20 lg10 = 20 dB 
+ Khi   1  vẽ đường có độ dốc -40 dB/dec 
 Xác định độ dự trữ biên và độ dự trữ pha: xem đường màu Tím G(s) trên biểu đồ Bode, xác định được : 
0 0 0 0
( ) 9.88 10 0
180 ( ) 180 281 101 0C
GM L dB
M

 
      
       
(0.5 đ) 
Vậy, khi chưa hiệu chỉnh thì hệ kín không ổn định. 
2.b (1.5 điểm) Thiết kế GC(s). 
 Dựa vào biểu đồ Bode có thể thấy chọn khâu bù trễ pha sẽ thích hợp hơn. 
B1. Yêu cầu sai số xác lập không đổi  KC = 1 (0.25 đ) 
B2. Do KC = 1  dùng lại biểu đồ Bode đã vẽ 
B3. Tần số cắt mới 
0 *
1( ' ) 180c M      
 Yêu cầu hệ thống ổn định  M* > 0  chọn M* = 400 và  = 50. 
 (chú ý: SV chọn giá trị M* khác cũng được chấp nhận) 
  0 0 0 01( ' ) 180 40 5 135c        
 Biểu đồ Bode suy ra : ' 0.02c  rad/sec (0.25 đ) 
B4. Tính  
 1( ' ) 20lgcL    
 Biểu đồ Bode ta có : 1( ' ) 15cL   dB 
 20lg 15 lg 0.75 0.1778         (0.25 đ) 
B5. Chọn zero 
1 1
' 0.02 0.002 500c T
T T
 
 
    
(0.25 đ) 
B6. Tính T 
 4
1 1
0.1778 0.002 3.556 10 2812T
T T


      
(0.25 đ) 
B7. Vẽ lại biểu đồ Bode với khâu bù trễ pha (xem đường màu Đỏ GNEW(s)) 
500 1
( )
2812 1
C
s
G s
s



 Độ dự trữ biên và pha sau khi hiệu chỉnh 
0 0 0 0
( ) 4.99 5 0
180 ( ) 180 131 49 0C
GM L dB
M

 
    
      
(0.25 đ) 
Vậy, khâu trễ pha GC(s) đạt yêu cầu thiết kế. 
Câu 3: (3.5 điểm) 
( ) 0.632
( )
( 0.368)
h
G s
G z
s z z
 
  
 
 (0.5 đ) 
3.a. 0.5, 0a b   (0.75đ) 
- PTĐT v ng kín: 
0.5 0.632
1 0
( 0.368)
z
K
z z z

 

3 20.368 0.632 0.316 0z z Kz K    (0.25đ) 
- Thay 
1
1
w
z
w



3 2
1 1 1
0.368 0.632 0.316 0
1 1 1
w w w
K K
w w w
       
        
       
3 2(1.368 0.948 ) (3.368 1.58 ) (2.632 0.316 ) (0.632 0.316 ) 0K w K w K z K        (0.25đ) 
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh giải ra: 
0 1.5K  (0.25đ) 
3.b. 0, 0.5a b   (0.75 đ) 
- PTĐT v ng kín: 
0.632
1 0
0.5 ( 0.368)
z
K
z z z
 
 
2 0.868 0.632 0.184 0z z K    (1) (0.25 đ) 
- 
2
exp 9.5% 0.6
1
POT



 
    
  
- PTĐT mong muốn:    * 0.061,2 cos sin cos(0.08 ) sin(0.08 )z r j e j
       
* *
1 2( )( ) 0z z z z   
2 22 cos . 0z r z r   (2) (0.25 đ) 
- Cân bằng (1) và (2): 
0.06
0.12
92 cos(0.08 ) 0.868
0.250.632 0.184
e
KK e




  
 
  
 (0.25 đ) 
3. c. 0.5, 0.5a b   (1.0 đ) 
- PTĐT v ng kín: 
0.5 0.632
1 0
0.5 ( 0.368)
z
K
z z z

 
 
- Cực: 1 2 30.5, 0, 0.368p p p    
 Zero: 1 0.5z  (0.25đ) 
- Tiệm cận: 
0.32
 / 2
OA
 
 
 
- Điểm tách nhập: 
0.26z   (0.25đ) 
- Giao điểm Đ S với v ng tr n đơn vị: 
 0.29 0.95z j   (0.25đ) 
(nếu SV không tìm giao điểm cũng chấp nhận, 
nếu có tìm giao điểm thì được thêm 0.25 điểm) 
- Vẽ hình (0.5đ) 
3.d. 0.5, 0.5a b   (1đ) 
- Hàm truyền v ng kín: 
3 2
( ) ( ) 0.632 0.316
( )
1 ( ) ( ) 0.132 0.448 0.316
c h
k
c h
G z G z z
G z
G z G z z z z

 
   
 (0.25đ) 
- Đáp ứng ngõ ra: 
( ) 0.132 ( 1) 0.448 ( 2) 0.316 ( 3) 0.632 ( 2) 0.316 ( 3)y k y k y k y k r k r k           
(0) 0, (1) 0, (2) 0.632,
(3) 0.233, (4) 0.002, (5) 0.411
(6) 0.334, (7) 0.088, (8) 0.285
y y y
y y y
y y y
  
  
  
 (0.25đ) 
- Hình vẽ (0.25đ) 
- Chất lượng hệ thống (0.25đ) 
0.632 0.25
100% 153%
0.25
POT

  
(2%) 2.4qdt s 
Câu 4: (3.5 điểm) 
4.a Phương trình trạng thái 
1
2
1 1
2
2
 0
1
a
m i
m m
b a
a
a a
x
x i
x Ax Bu
Cx
B K
J Jx x
u
K R x
x L
L L







 

 
                             
 
 (0.25 đ) 









403.0
75.010
A ; B=
0
2
 
 
 
;  1 0C  (0.25 đ) 
4.b Luật điều khiển u(t)=r(t)-Kx(t) 
Hệ số tắt và tần số dao động tự nhiên: 
cos( ( )) 0.6
1
ln( )
3
6 10
s
acrtg
POT
T


 
 
   
 (0.25 đ) 
Phương trình đặc trưng mong muốn: 
2 2 22 12 100 0s s s s       (0.25 đ) 
Phương trình đặc trưng của hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái: 
1 2
2
2 1 2
10 -0.75
0.03+2k s+4+2k
det( ) (14 2 ) 0.15 20 40.002 0 
s
sI A BK
sI A BK s k s k k
 
    
 
        
 (0.25 đ) 
Cân bằng hai phương trình trên ta được: 
2
1 2
14 2 12
1.5 20 40.02 =100
[ 53.32 1]
k
k k
K
 
 
  
 (0.25 đ) 
Tính giá trị xác lập: (0.5 đ) 
1
20 0
xl
( ) ( )
s+2 0.75
0 0.015-106.6 s+10 1
lim lim
2 0.212 100
x
xl
s s
xl
sI A BK X BU X sI A BK BU
x sX s
s s s
y C

 
      
 
                

4.c. 
PTĐT của sai số ước lượng: 
0)det(  LCAsT 
Trong đó: 
 






2
1
l
l
L 
Suy ra: 
 


























 01
403.0
75.010
0
0
det)det(
2
1
l
l
s
s
LCAsT
 
















403.0
75.010
det
2
1
sl
ls
0)10(4)03.0(75.0)14( 121
2  llsls
 (0.5đ)
PTĐT mong muốn: 
 2 20 100 0s s   (0.25đ) 
Cân bằng hệ số, ta được: 
 












97.47
6
2
1
l
l
L
 (0.5đ)
PTTT mô tả bộ ước lượng sau khi thiết kế: 
 LyxBKLCAx  ˆ)(ˆ 
 
   
ˆ ˆ
10 0.75 6 0 6
ˆ1 0 53.3 1
0.03 4 47.97 2 47.97
16 0.75 6
ˆ
154.6 2 47.97
e ex A K C BK x K y
x y
x y
   
         
                     
     
           
(0.25đ)