Đề tài Sử dụng phần mềm Matlab để xây dựng đường cong Bezier, đường cong B-Spline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline

	Tiểu luận môn học sau được trình bày làm 2 phần:
	- Phần 1. Cơ sở lý thuyết: bao gồm các kiến thức chung nhất về mô hình toán học và cách xây dựng đường cong Bezier, đường cong B-spline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline.
	- Phần 2. Bài tập: sử dụng phần mềm Matlab để xây dựng đường cong Bezier, đường cong B-spline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline 
	Trong quá trình thực hiện tiểu luận, tác giả chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của TS. Bùi Quý Lực, Bộ môn Máy - Ma sát, Khoa Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà nội và các ý kiến đóng góp của các bạn trong lớp.Trong qua trình làm tác giả không thể tránh được những thiếu sót, rât mong được sự đóng góp của thầy cô và các bạn để có thể hoàn thiện tốt hơn.
	Hà nội, ngày 19 tháng 8 năm 2009
	 Học viên
	Vũ Quang Lương
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
	Để tạo thành các khối vật thể trong không gian 3D, trong kĩ thuật người ta sử dụng các đường cong phẳng. Trong toán học, các đoạn cong được biểu diễn bằng một hàm ẩn, hàm tường minh hoặc một hàm tham số. Hàm để mô tả đường cong được gọi là mô hình toán học của đường cong. Có nhiều hàm để mô tả các đường cong nhưng người ta sử dụng rộng rãi hàm đa thức vì hàm này dễ làm việc và linh hoạt trong việc mô tả nhiều loại đường cong kỹ thuật.
	Để xây dựng đoạn cong trên cơ sở điểm đã biết, người ta phải dựa vào một hàm nào đó và gọi nó là hàm cơ sở. Sử dụng hàm đa thức chuẩn làm hàm cơ sở có ưu việt là dễ dàng định nghĩa và đánh giá. Khảo sát hàm bậc ba:
r(u) = (x(u), y(u), z(u))
= a + bu + cu2 + du3
Thể hiện dưới dạng ma trận:
	(1)
	Hay r(u) = UA với 0£u£1.
	Trong đó U là véc tơ cơ sở và A là véc tơ hệ số.
1.1. Mô hình toán học đường cong Berier.
Chúng ta trình bày cách xây dựng đường cong Bezier trên cơ sở đường cong Ferguson với các điều kiện mút V0, V1, V2, V3 trong đó:
V0 - điểm bắt đầu đoạn đường cong, tương ứng với điểm P0.
V1 - điểm nằm trên véc tơ tiếp tuyến điểm đầu đường cong và bằng V0 + t0/3 chỉ ra trên hình 1. 
V2 - điểm nằm trên véc tơ tiếp tuyến điểm cuối đường cong và bằng V3 - t1/3;
V3 - Điểm cuối của đoạn cong ứng với đỉnh P1.
	Điểm cuối của đường cong Bezier với điều kiện mút được viết như sau:
	V0 = P0; V1 = V0 + t0/3; V2 = V3 - t1/3; V3 = P1
Hình 1. Ví dụ đường cong Bezier bậc 3
	Để có thể dùng phương pháp xây dựng đường cong bậc ba Ferguson vào xây dựng đường cong Bezier khi biết các điều kiện mút của nó, chúng ta phải tìm môtis quan hệ giữa điều kiện mút của đường cong bậc 3 Ferguson P0, P1, t0, t1, và điều kiện mút của đường cong Bezier V0, V1, V2, V3 có nghĩa là ta phải có:
V0 = P0 
V3 = P1
Xác định t0 theo V1 ta nhận được:
V1 = V0 + t0/3
3V1 = 3V0 - t0
t0 = 3(V1-V0)
Xác định t1 theo V2 ta có: 
V2 = V3 - t1/3
3V3 = 3V2 - t1
t1 = 3(V2-V3)
Kết quả biến đổi ta nhận được hệ phương trình tuyến tính:
V0 = P0 
V3 = P1
t0 = 3(V1-V0)
t1 = 3(V2-V3)
Thể hiện dưới dạng ma trận:
	(4)
Thay (4) vào (2) ta nhận được đường cong Bezier bậc ba.
r(u)	= U C S
	= U C L R	(5)
	Với 0£u£1	
	Đặt M = C L
=
	Và R = 
	Phương trình (5) được gọi là phương trình đường cong Bezier.
	Phương trình trên cũng có thể biểu diễn dưới dạng hàm đa thức:
	r(u) = (U M) R
	= B0,3(u)V0 + B1,3(u)V1 + B2,3(u)V2 + B3,3(u)V3
	= 
	trong đó:
	B0,3(u) = (1-u)3
	B1,3(u) = 3u(1-u)2
	B2,3(u) = 3u2(1-u)
	B3,3(u) = u3
	Bi,3(u) được gọi là đa thức Bezier bậc 3
	Đa thức Bezier tương đương với số hạng trong khai triển nhị phân (u+v)n, với v = 1 - u.
	Dạng chung của đa thức Bezier bậc n được viết như sau:
	Đa thức trên được gọi là hàm cơ sở Bezier dùng để định nghĩa đường cong Bezier bậc n với n+1 điểm điều khiển.
	 với 0£u£1
	Chúng ta có thể tiến hành các phép như là tăng bậc, giảm bậc hàm Bezier.
Ví dụ: đường cong Berier bậc ba
Chương trình trên Matlab
hold off;
% Vi tri vecto
P = [80 80;
 	 150 100;
 	 300 250;
 	 450 20];
%P = [p1x p1y;
 %p2x p2y;
 %p3x p3y;
 %p4x p4y]
X = [0 0 0 0 1 1 1 1+eps]; 
tmin=0;
tmax=1;
n = 3;
Bs = zeros(51,2);
for i = 1:51
 t = tmin + (tmax-tmin)*(i-1)/50;
 for j = 1:(n+1)
 Bs(i,:) = Bs(i,:) + P(j,:)*bsplinebasis(j,4,t,X); 
 end
end
plot(Bs(:,1),Bs(:,2),P(:,1),P(:,2),'-*r','LineWidth',2);
title ( 'Duong cong Berier bac ba')
grid on
Ta sẽ có được biên dạng đường cong Berier bậc ba như sau:
1.2. Mô hình toán học đường cong B-spline đồng nhất
	Để hiểu được đặc trưng hình học của một đường cong B-spline bậc 3 cần phải biết cấu trúc hình học của đường cong này.Giả sử, bốn đỉnh điều khiển của đường cong bậc ba này được ký hiệu V0, V1, V2, V3.Ta định nghĩa như sau:
 Là điểm giữa của V0 và V1
 Là điểm giữa của V1 và V2
 Là điểm nằm ở một phần ba của đoạn thẳng V1 và M0
 Là điểm nằm ở một phần ba của đoạn thẳng V2 và M1
Ta xây dựng đoạn cong r(u) thoả mãn điều kiện sau:
Đoạn cong bắt đầu từ điểm P0 và điểm cuối là P1
Vectơ tiếp tuyến t0 ở điểm P0 là bằng ( M0-V0)
Vectơ tiếp tuyến t1 ở điểm P1 là bằng ( M1-V1)
Điểm mút P0 và P1 của đoạn cong biểu diễn theo các đỉnh điều khiển như sau:
Điểm đầu P0 của đoạn cong B-spline r(u) được dánh giá như sau
 Hay 	(1-a)
Đánh giá r(u) tại điểm cuối P1 ứng với u = 1
Biểu diễn tại P1:	 	(1-b)
Ta có , do đó ta xác định tiếp tuyến t0: 
Hay 	(2-a)
Tương tự ta có: 
Hay 	(2-b)
Tử các phương trình (1-a), (1-b), (2-a), (2-b) ta có hệ phương trình tuyến tính
Chuyển sang dạng ma trận ta được:
	Thay kết quả tìm được vào đường cong Ferguson ta tìm được cách biểu diễn đường cong B-spline đồng nhất bậc 3
	r(u) 	=U C S
	= U C K R	Với 0 ≤ u ≤ 1 	
	= U (C K) R
	U = [1 u u2 u3 ]
C – ma trận hệ số Ferguson 
	R = [V0 V1 V2 V3 ]T 
Trong đó N- hệ số đường cong B-spline bậc ba
Đường cong B-spline đồng nhất bậc ba viết dưới dạng biểu thức đại số như sau:
Đặt:
Đường cong B-spline viết dưới dạng biểu thức đại số:
Tập phương trình đại số Si,3(u) với i = 0,B-spline đồng nhất bậc ba hay còn gọi là hàm hỗn hợp B-spline. 
- Ví dụ: đường cong B-spline bậc 3
%function bspline(P,n)
hold off;
% Vi tri vecto
P = [0 20 0;
 10 40 150 ;
 30 -70 20];
%P = [p1x p1y p1z;
 %p2x p2y p2z;
 %p3x p3y p3z];
X = [0 0 0 1 1 1+eps]; 
tmin=0;
tmax=1;
n = 2;
Bs = zeros(51,3);
for i = 1:51
 t = tmin + (tmax-tmin)*(i-1)/50;
 for j = 1:(n+1)
 Bs(i,:) = Bs(i,:) + P(j,:)*bsplinebasis(j,n+1,t,X); 
 end
end
plot3(Bs(:,1),Bs(:,2),Bs(:,3),P(:,1),P(:,2),P(:,3),'-*r','LineWidth',2);
%axis([500 0 0 500]);
title('B-Spline bac ba');
grid on
Ta sẽ có một đường B-spline bậc ba như sau:
1.3. Mảnh mặt Berier
	Bây giờ chúng ta xây dựng mảnh mặt Bezier từ các đường cong Bezier tương tự như phương pháp hình thành mảnh mặt Ferguson đã nêu trên. Giả thiết rằng chúng ta có mảng 4x4 đỉnh điều khiển được bố trí như trên hình 4.
Hình 4. Mảnh mặt Bezier bậc 3
	Các đỉnh điều khiển liên kết với nhau bằng đa thức Bernstein, mảnh mặt Bezier bậc 3 được xác định như sau:
	(10)
	= U M B MT VT
Trong đó: 	U = 
	và	V = 
	M = 
	M được gọi là ma trận hệ số Bezier
	B là ma trận hệ số điều khiển Bezier.
	Phương trình mảnh mặt Bezier tổng quát bậc n và m điều khiển như sau:
	(11)
	Trong đó:
	Trong CAD/CAM người ta thường sử dụng mảnh mặt Bezier bậc m=n=5 hoặc m=n=7. Khi bậc m=n=5 số đỉnh điều khiển cần thiết là 36.
	Chúng ta có thể tiến hành tăng hoặc giảm bậc của phương trình mảnh mặt tam giác Bezier.
Ví dụ bề mặt Berierbậc 2
pr = 20;
 P = zeros(3,3,3); 
 P(1,1,:) = [0 3 -1]; 
 P(1,2,:) = [0 7 5];
 P(1,3,:) = [0 6 1];
 P(2,1,:) = [2 3 1];
 P(2,2,:) = [3 10 -2];
 P(2,3,:) = [1 7 0];
 P(3,1,:) = [2 3 1];
 P(3,2,:) = [4 5 0];
 P(3,3,:) = [5 7 3];
n = 2;
m = 2;
% Knot vectors
X = [0 0 0.5 1+eps 1+eps];
Y = [0 0 0.5 1+eps 1+eps];
Q = zeros(pr+1,pr+1);
R = zeros(pr+1,pr+1);
S = zeros(pr+1,pr+1);
for g = 1:(pr+1)
 u = (g-1)/pr;
 for h = 1:(pr+1)
 v = (h-1)/pr;
 for i = 1:(n + 1)
 for j = 1:(m + 1)
 Q(g,h)=Q(g,h)+ P(i,j,1)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y);
 R(g,h)=R(g,h)+ P(i,j,2)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y);
 S(g,h)=S(g,h)+ P(i,j,3)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y);
 end
 end
 end
end
hold off;
surf(Q,R,S,'EdgeColor','none', 'FaceAlpha', 1);
hold on;
surf(P(:,:,1) ,P(:,:,2), P(:,:,3),'FaceColor', 'none','LineWidth',1.0);
title('Be mat Bezier bac hai');
1.4. Mảnh mặt B-spline đồng nhất
	 Mặt B-spline đồng nhất bậc ba của hai biến u và v được biểu diễn bởi phương trình sau:
	Với 0 ≤ u ≤ 1
	= U N B NT VT
Trong đó:	U = [ 1 u u2 u3 ]
	V = [ 1 v v2 v3 ]
Mặt B-spline đồng nhất được thể hiện dưới hình sau:
V
03
V
13
V
23
V
33
V
32
V
22
V
12
V
02
V
01
V
00
V
10
V
11
V
21
V
31
V
30
V
20
v
u
Măt cong B-spline đồng nhất bậc hai được em như là tích tensor của đường cong B-spline đồng nhất bậc hai r(u) = U N2 R. Mặt đồng nhất B-spline có thể có bậc của hai biến u và v khác nhau. Ví dụ mặt B-spline có biến u hoặc biến v bậc hai, phương trình được biểu diễn như sau:
r(u)= U N B N2T VT 	Với 0 ≤ u ≤ 1 
Trong đó:
	U = [ 1 u u2 u3 ]
	V = [ 1 v v2 v3 ]
Ví dụ mảnh mặt B-spline :
pr = 20;
% cac diem
P = zeros(4,3,3)
 P(1,2,:) = [2 1 2]; 
 P(1,3,:) = [1 3 4];
 P(1,4,:) = [1 7 3];
 P(2,1,:) = [2 1 1];
 P(2,2,:) = [2 -5 3];
 P(2,3,:) = [2 -4 1];
 P(2,4,:) = [1 10 6];
 P(3,1,:) = [2 2 1];
 P(3,2,:) = [3 2 0];
 P(3,3,:) = [5 9 2];
 P(3,4,:) = [2 3 -1];
 P(4,1,:) = [1 2 1];
 P(4,2,:) = [4 3 2];
 P(4,3,:) = [3 5 5];
 P(4,4,:) = [4 6 8];
n = 3;
m = 3;
% Knot vectors
X = [0 0 0 0.5 1+eps 1+eps 1+eps];
Y = [0 0 0 0.5 1+eps 1+eps 1+eps];
Q = zeros(pr+1,pr+1);
R = zeros(pr+1,pr+1);
S = zeros(pr+1,pr+1);
for g = 1:(pr+1)u
 u = (g-1)/pr;
 for h = 1:(pr+1)
 v = (h-1)/pr;
 for i = 1:(n+1)
 for j = 1:(m + 1)
 Q(g,h)=Q(g,h)+ P(i,j,1)*bsplinebasis(i,n-1,u,X)*bsplinebasis(j,m-1,v,Y);
 R(g,h)=R(g,h)+ P(i,j,2)*bsplinebasis(i,n-1,u,X)*bsplinebasis(j,m-1,v,Y);
 S(g,h)=S(g,h)+ P(i,j,3)*bsplinebasis(i,n-1,u,X)*bsplinebasis(j,m-1,v,Y);
 end
 end
 end
end
hold off;
surf(Q,R,S,'EdgeColor','none', 'FaceAlpha', 1);
hold on;
surf(P(:,:,1) ,P(:,:,2), P(:,:,3),'FaceColor', 'none','LineWidth',1.0);
title('Manh mat B-Spline ');